CAPM - Dimostrazione modello CAPM PDF

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Dimostrazione modello CAPM ...

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Un investitore può decidere di investire una frazione della propria ricchezza in un portafoglio di attività finanziarie rischiose, e la parte rimanente in liquidità, ottenendo un tasso d'interesse privo di rischio (potrebbe in effetti anche prendere a prestito ricchezza al tasso privo di rischio al fine di finanziare il proprio investimento in un'attività rischiosa). In tal caso, il rendimento atteso del portafoglio sarà una combinazione lineare del rendimento privo di rischio e del rendimento del complesso delle attività finanziarie rischiose. Il CAPM afferma che il premio atteso per il rischio dovrebbe aumentare in modo proporzionale a beta, in modo che ogni investimento si collochi sulla CML (linea di mercato azionario inclinata positivamente). Il Capital Asset Princing Model si basa in particolare su due ipotesi base:  

la prima ipotesi prevede l’investimento delle proprie risorse in attività risk-free: un’attività finanziaria nella quale è possibile investire ottenendo un rendimento senza correre alcun rischio. la seconda ipotesi individua un portafoglio M formato da tutte le attività rischiose. Il portafoglio M è diversificato e si colloca sul tratto efficiente della frontiera.

Ogni investitore deciderà singolarmente dove collocare le proprie risorse finanziarie tra il portafoglio M e l’attività risk-free.

Sulla frontiera lineare giacciono i portafogli efficienti, ottenuti facendo variare i pesi dell’attività risk-free e del portafoglio M. Scegliendo M gli investitori possono posizionarsi sulla vera frontiera efficiente, considerando così tutte le attività possibili. Il portafoglio ottimale selezionato dal CAPM è, quindi, un portafoglio appartenente alla porzione efficiente della frontiera stessa. *Per frontiera dei portafogli si intende il luogo dei portafogli caratterizzati dalla minima varianza ammissibile per un dato livello di rendimento atteso; quindi agenti che preferiscono un rendimento atteso maggiore e una varianza minore (aventi, cioè preferenze di tipo media-varianza) sceglieranno portafogli appartenenti alla frontiera.

Il portafoglio più efficiente è il portafoglio di mercato. (tangenza tra la retta maggiormente inclinata e la frontiera dei portafogli efficienti) La frontiera lineare (Capital Market Line): insieme di portafogli in grado di offrire il più alto rendimento atteso per unità di rischio. Può essere individuata tramite la seguente equazione.

Dove:      

E(R_p) indica il rendimento atteso del portafoglio E(R_m) indica il rendimento atteso del portafoglio di mercato R_f indica il rendimento dell’attività priva di rischio \sigma_p indica il rischio del portafoglio \sigma_m indica il rischio del portafoglio di mercato P_a,b indica il coefficiente di correlazione fra i rendimenti dei due titoli.

La CML è valida per qualunque investitore in quanto indica la relazione di equilibrio tra il rendimento atteso e il rischio dei portafogli efficienti, in cui il rischio sistematico è il rischio totale. La relazione:

 extra-rendimento (al netto dell’investimento senza rischio) rappresenta cosiddetto premio per il rischio perché indica di quanto il rendimento atteso deve aumentare per spingere l’investitore ad assumere un’unità di rischio aggiuntiva coefficiente angolare della retta. (Market price risk MRP: misura il prezzo che l’investitore riceve per ogni unità di rischio in più sopportata) La CML permette d’individuare il livello di rendimento che dovrebbe essere associato a ciascun livello di rischio.  Frontiera migliore su cui tutti investono. Ogni investitore detiene un portafoglio efficiente, appartenente alla CML. La “posizione” del portafoglio dell’investitore (i.e., il fatto che esso sia “prossimo” al portafoglio non rischioso, piuttosto che al portafoglio di mercato) dipende dall’avversione al rischio: più l’investitore è avverso al rischio, più il suo portafoglio sarà spostato verso sinistra (combinazioni a minore rendimento atteso e minore volatilità). La SML, al contrario della CML valida unicamente per portafogli efficienti, esprime il rapporto di equilibrio rischio-rendimento di qualsiasi titolo o portafoglio. Nei portafogli efficienti individuati sulla CML, essendo perfettamente diversificati poiché investono in M, il rischio totale coincide con il rischio sistematico. Nel caso della SML invece è necessario

individuare il rischio sistematico del singolo titolo identificato nel coefficiente beta del titolo. Il coefficiente beta descrive quanto varia il rendimento del titolo in relazione al mercato.

Il CAPM è un modello finanziario che stabilisce una relazione tra rendimento atteso di un titolo (o più in generale di una attività rischiosa) e livello di rischio ad esso connesso, attraverso un unico fattore di rischio associato al singolo titolo, il rischio sistematico misurato attraverso l’indice beta. Beta misura quanto il valore del titolo si muova in sintonia con il mercato, è proporzionale alla covarianza tra rendimento del titolo e andamento del mercato; tale relazione è comunemente sintetizzata tramite la security market line (frontiera migliore su cui investire). In un mercato efficiente caratterizzato dalla presenza di investitori avversi al rischio, è logico assumere che un operatore accetti di investire in attività finanziarie rischiose solo se tale comportamento è compensato da un maggiore rendimento atteso rispetto ad un impiego certo.  premio per il rischio. Ma quanto dovrebbe ottenere come rendimento atteso un investitore che vuole acquistare una attività rischiosa? Si consideri innanzitutto che un individuo che detiene un solo titolo è interessato al rendimento atteso di quel titolo, e alla varianza (o deviazione standard) quale misura di tipo statistico del rischio del titolo stesso. In realtà gli operatori non effettuano investimenti singoli ma costruiscono portafogli di attività rischiose, e sono quindi interessati al contributo di ogni titolo al rendimento atteso e al rischio dell’intero portafoglio che detengono. Il rendimento atteso di un portafoglio di attività è pari alla media ponderata dei rendimenti dei singoli titoli che lo compongono. Il rischio di un portafoglio non è invece pari alla media ponderata della varianza (ossia dei rischi) dei singoli titoli in quanto è necessario considerare l’effetto diversificazione I rendimenti dei singoli titoli, infatti, dipendono l’uno dall’altro e tale relazione è espressa dalla covarianza. Il rischio di un portafoglio consta di una componente sistematica e di una specifica. Il rischio sistematico, nella prospettiva del CAPM, è riferito al rischio comune a tutte le attività finanziarie scambiate sul mercato - si tratta, appunto, del rischio di mercato. Il rischio specifico è invece associato alle caratteristiche delle singole attività finanziarie; per sua natura, può essere ridotto tramite la diversificazione, ossia compensando la rischiosità associata a fluttuazioni nel valore di una data attività finanziaria con quella derivante da movimenti di segno opposto nel valore di attività finanziarie alternative. Non è per contro possibile limitare il rischio di mercato tramite la diversificazione. Sarebbe controintuitivo attendersi che un investitore riceva un rendimento per essersi fatto carico di un rischio diversificabile - non è, salvo casi particolari, razionale esporre la propria ricchezza a più rischio del necessario. Conseguentemente, il rendimento richiesto per una data attività finanziaria, ossia il rendimento che compensa l'investitore per il rischio di cui si fa carico, deve essere legato alla rischiosità dell'attività stessa in un contesto di portafoglio - ossia, in termini del suo contributo alla rischiosità del portafoglio nel complesso. Nel contesto del CAPM, si osservi, tale rischiosità è rappresentata esclusivamente da una maggiore o minore varianza del rendimento del portafoglio (ossia, da una minore o maggiore prevedibilità). La conclusione è: gli investitori razionali detengono portafogli perfettamente diversificati. (portafoglio di mercato)

Se tutti detengono il portafoglio di mercato e beta è la misura del contributo di ogni singolo titolo al rischio del portafoglio di mercato, ne consegue che il premio per il rischio domandato dagli investitori sia proporzionale a Beta.  messaggio del CAPM Dunque, considerando un singolo titolo, deve essere vero che l’unico rischio remunerato dal mercato sia quello che il titolo avrebbe se introdotto in un portafoglio diversificato. Secondo il CAPM, il rendimento atteso (Ri) di un singolo titolo (ovvero di una attività rischiosa) è espresso dalla seguente relazione: Ri = Rf + ßi x (Rm-Rf). dove: Rf rappresenta il rendimento di un titolo privo di rischio; Rm rappresenta il rendimento del portafoglio di mercato, e ßi il rischio sistematico del titolo stesso. Il rendimento atteso di un titolo, secondo questo modello, è perciò costituito dal rendimento generato da un titolo risk free (ad esempio un titolo di Stato) maggiorato di un premio per il rischio (secondo addendo dell’equazione) il quale dipende da due fattori: prezzo per il rischio quantificato dalla differenza tra il rendimento di mercato e il rendimento privo di rischio; quantità di rischio misurata dal beta.

Si noti che secondo il CAPM l’investitore ottiene un maggiore rendimento atteso solo se accetta di assumersi un rischio sistematico maggiore (ossia un maggior beta); ciò significa che in un mercato efficiente viene remunerato. Il modello CAPM ci permette di trovare il rendimento atteso di un titolo n come la somma tra il tasso risk-free e un premio di rischio che esprima il rischio non diversificabile. Il premio dipenderà molto da un coefficiente beta che misura la reattività del rendimento di un titolo ai movimenti del mercato. Tanto maggiore è il coefficiente beta, tanto maggiore sarà il rendimento atteso dell’attività n, perchè possiede un maggior grado di rischio non diversificabile. Un investitore esigerà quindi un rendimento atteso più elevato per detenere un’attività finanziaria più rischiosa....