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CORSO DI FINANZA AZIENDALE (ASSET PRICING E FINANZIAMENTO DELLE IMPRESE) – LAUREA MAGISTRALE PROFF. ANDREA SIGNORI, LORENZO CAPRIO DOCUMENTO N. 2 – ESERCIZI SU UTILITÀ ATTESA, CAPM E APT

Gli esercizi che seguono sono distinti in cinque sezioni: 1) l’utilizzo della tabulazione delle probabilità in una distribuzione normale standardizzata 2) il principio media-varianza 3) l’utilità attesa della ricchezza 4) il modello CAPM 5) il modello APT

Ciascuna sezione ha annesse anche le soluzioni degli esercizi proposti. Le soluzioni sono disponibili anche su separato file Excel (Documento n. 3), che è importante consultare per una migliore comprensione.

1. ESERCIZI SULL’UTILIZZO DELLA TABULAZIONE DELLE PROBABILITÀ IN UNA DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARDIZZATA

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Figura 1: tabulazione di una V.C. Normale Standard

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A) Dato un titolo azionario con distribuzione di probabilità dei rendimenti annui normale, in cui Rendimento atteso = 6%

scarto quadratico medio = 14%

Calcolate la probabilità di ottenere in un anno un rendimento: 1) compreso tra 6% e 13%; 2) compreso tra – 2% e 6% 3) compreso tra 3% e 10% 4) superiore al 16% 5) inferiore a –5% 6) compreso tra 9% e 20% 7) compreso tra –10% e 0% 8) compreso tra 1% e 3%

B) Dato un titolo azionario con distribuzione di probabilità dei rendimenti annui normale, in cui Rendimento atteso = 5%

scarto quadratico medio = 20%

Calcolate la probabilità di ottenere in un anno un rendimento: 1) compreso tra – 4% e 5% 2) superiore al 40% 3) compreso tra –36% e – 5% 4) compreso tra 20% e 35% 5) compreso tra 5% e 25%; 6) compreso tra – 3% e 30% 7) inferiore a –30% SOLUZIONI Esercizio A: 1) Siamo di fronte al problema di misurare la probabilità di rendimenti compresi tra la media e un rendimento superiore alla media, quindi l’area a destra della media compresa tra la media e z volte lo scarto quadratico medio. Il calcolo di z per 13% fornisce il risultato = 0,5. La probabilità da tabella corrispondente è 0,1915, che quindi rappresenta direttamente la probabilità che il rendimento cada nell’intervallo.

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2) Siamo di fronte al problema di misurare la probabilità di rendimenti compresi tra un rendimento inferiore alla media e la media, quindi l’area a sinistra della media compresa tra la media e z volte lo scarto quadratico medio. Il calcolo di z per -2% fornisce il risultato = 0,571429. La probabilità da tabella corrispondente (arrotondo a 0,57) è 0,2157, che quindi rappresenta direttamente la probabilità che il rendimento cada nell’intervallo. 3) Siamo di fronte al problema di misurare la probabilità di rendimenti compresi tra un rendimento inferiore alla media e un rendimento superiore, quindi troverò la probabilità sommando un’area a sinistra della media a un’area a destra della media. Il calcolo di z per 3% fornisce il risultato = 0,214286. La probabilità corrispondente è 0,0832, che quindi rappresenta l’area a sinistra della media. Il calcolo di z per 10% fornisce il risultato = 0,285714. La probabilità corrispondente è 0,1141, che quindi rappresenta l’area a destra della media. La probabilità che il rendimento cada nell’intervallo dato è pari a 0,0832 + 0,1141 = 0,1973 4) Siamo di fronte al problema di misurare la probabilità di rendimenti compresi tra un rendimento superiore alla media e infinito, quindi troverò la probabilità trovando l’area a destra della media compresa tra la media e quel rendimento, e sottraendo il risultato a 0,5 (cioè alla probabilità di rendimenti compresi tra la media e infinito). Il calcolo di z per 16% fornisce il risultato = 0,714286. La probabilità corrispondente è 0,2611. Ora, 0,5 – 0,2611 = 0,2389, che rappresenta quindi la probabilità che il rendimento sia superiore al valore dato. 5) Siamo di fronte al problema di misurare la probabilità di rendimenti compresi tra meno infinito e un rendimento inferiore alla media, quindi calcolerò la probabilità trovando l’area a sinistra della media compresa tra quel rendimento e la media, e sottraendo il risultato a 0,5 (cioè alla probabilità di rendimenti compresi tra - infinito e la media). Il calcolo di z per -5% fornisce il risultato = 0,785714. La probabilità corrispondente è 0,2852. Ora, 0,5 – 0,2852 = 0,2148, che rappresenta quindi la probabilità che il rendimento sia inferiore al valore dato. 6) Siamo di fronte al problema di misurare la probabilità di rendimenti compresi tra due rendimenti entrambi superiori alla media, quindi troverò la probabilità trovando prima il valore dell’area compresa tra la media e il maggiore dei due rendimenti, poi il valore dell’area compresa tra la media e il minore dei due rendimenti, e sottraendo quest’ultimo valore al primo. Il calcolo di z per 20% fornisce il risultato = 1; la probabilità corrispondente è 0,3413. Il calcolo di z per 9% fornisce il risultato = 0,214286; la probabilità corrispondente è 0,0832. La probabilità che il rendimento cada nell’intervallo dato è quindi pari a 0,3413 – 0,0832 = 0,2581. 4

7) Siamo di fronte al problema di misurare la probabilità di rendimenti compresi tra due rendimenti entrambi inferiori alla media, quindi troverò la probabilità trovando prima il valore dell’area compresa tra la media e il minore dei due rendimenti, poi il valore dell’area compresa tra la media e il maggiore dei due rendimenti, e sottraendo quest’ultimo valore al primo. Il calcolo di z per – 10% fornisce il risultato = 1,142857; la probabilità corrispondente è 0,3729. Il calcolo di z per 0 % fornisce il risultato = 0,428571; la probabilità corrispondente è 0,1664. La probabilità che il rendimento cada nell’intervallo dato è quindi pari a 0,3729 – 0,1664 = 0,2065. 8) Siamo di fronte a un problema concettualmente identico al precedente (anche se i rendimenti sono entrambi positivi, sono inferiori alla media). Il calcolo di z per 1% fornisce il risultato = 0,357143; la probabilità corrispondente è 0,1406. Il calcolo di z per 3% fornisce il risultato = 0,214286; la probabilità corrispondente è 0,0832. La probabilità che il rendimento cada nell’intervallo dato è quindi pari a 0,1406 – 0, 0832 = 0,0574. Esercizio B: 1) Vedi problema 2 in A. z = 0,45, p = 0,1736 2) Vedi problema 4 in A. z = 1,75, p = 0,5 – 0,4599 = 0,0401 3) Vedi problema 7 in A. z (-0,36) = 2,05, z (-0,05) = 0,5; p = 0,4798 – 0,1915 = 0,2883 4) Vedi problema 6 in A. z (0,35) = 1,5, z (-0,2) = 0,75 ; p = 0,4332 – 0,2734 = 0,1598 5) Vedi problema 1 in A. z = 1, p = 0,3413 6) Vedi problema 3 in A. z (-0,03) = 0,4, z (0,3) = 1,25; p = 0,1544 + 0,3944 = 0,5498 7) Vedi problema 5 in A. z = 1,75, p = 0,5 – 0,4599 = 0,0401.

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2) IL PRINCIPIO MEDIA –VARIANZA Esercizio 1) Il signor Rossi vuole investire la propria ricchezza in Borsa. Egli deve decidere se investire tutto il suo ammontare nel titolo X oppure nel titolo Y. Si conosce la seguente distribuzione di probabilità dei rendimenti dei due titoli: Px X Py Y 0,1 -10 0,2 2 0,4 5 0,5 3 0,3 10 0,2 4 0,2 12 0,1 30 Supponendo che il signor Rossi basi le proprie decisioni usando il principio della media-varianza, potete determinare quale dei due titoli sarà da lui acquistato ? Esercizio 2) Il signor Rossi vuole investire la propria ricchezza in Borsa. Egli deve decidere se investire tutto il suo ammontare nel titolo X oppure nel titolo Y. Si conosce la seguente distribuzione di probabilità dei rendimenti dei due titoli: Px X Py Y 0,1 0 0,1 -0,5 0,2 0,5 0,2 -0,25 0,4 1 0,4 1,5 0,1 2 0,1 3 0,2 3 0,2 4 Supponendo che il signor Rossi basi le proprie decisioni usando il principio della media-varianza, potete determinare quale dei due titoli sarà da lui acquistato ? SOLUZIONI (si vedano anche le soluzioni ai seguenti esercizi in formato Excel disponibili in Blackboard) Esercizio 1 Px X 0,1 -10 0,4 5 0,3 10 0,2 12

Py 0,2 0,5 0,2 0,1

Y 2 3 4 30

Rendimento atteso del titolo X = 6,4; Y = 5,7 Varianza dei rendimenti del titolo X = 37,84; Y = 63,37 Il titolo X è preferito al titolo Y perché ha un rendimento atteso più alto ed una varianza minore

Esercizio 2 Px X 0,1 0 0,2 0,5

Py 0,1 0,2

Y -0,5 -0,25 6

0,4 0,1 0,2

1 2 3

0,4 0,1 0,2

1,5 3 4

Rendimento atteso del titolo X = 1,3; Y = 1,6 Varianza dei rendimenti del titolo X = 0,96; Y = 2,48 In questo caso non c'è una soluzione univoca. La decisione dipende dalla funzione di utilità dell'investitore. 3) UTILITA’ ATTESA DELLA RICCHEZZA Esercizio 3) Supponete che il Signor Rossi abbia una funzione di utilità logaritmica U(W)= ln(W). Egli possiede una ricchezza iniziale di 2000 euro. Supponete che il Signor Rossi abbia la possibilità, scommettendo la ricchezza iniziale, di vincere 1000 euro con una probabilità del 50% o di perdere 1000 euro con una probabilità del 50%. Qual è il valore atteso della scommessa? Qual è l’utilità attesa per il Signor Rossi dalla scommessa? Esercizio 4) Supponete che il Signor Verdi abbia una funzione di utilità logaritmica così definita U(W)= ln(W). Egli possiede una ricchezza iniziale di 1000 euro. Supponete che il signor Verdi abbia la possibilità scommettere la sua ricchezza giocando ai dadi. In particolare, la scommessa prevede la possibilità di lanciare (una volta) un dado a sei facce, numerate da 1 a 6. Nel caso in cui escano numeri dispari il signor Verdi vincerà 50 Euro, nel caso in cui il dado si fermi sul 2 o sul 4 egli vincerà 400 euro, ed infine, nel caso in cui il dado si fermi sul numero 6 egli perderà 900 euro. Quale è il valore atteso della scommessa? Quale è l’utilità attesa proveniente dalla scommessa? Effettuerà il signor verdi la scommessa? Esercizio 5) Supponete che il Signor Rossi abbia una funzione di utilità esponenziale U ( w)  e w . Egli possiede una ricchezza iniziale di 2(mila) euro. Supponete che il signor Rossi abbia la possibilità, scommettendo la ricchezza iniziale, di vincere 1(x1000) euro con una probabilità del 5%, di vincere 0,4(x 1000) euro con una probabilità del 50% ed infine con una probabilità del 45% di perdere 0,3(x1000). Quale è il valore atteso della scommessa? Quale è l’utilità attesa per il Signor Rossi dalla scommessa? Accetterà il Signor Rossi la scommessa? Cambierebbe la vostra risposta se il signor rossi avesse una funzione di utilità di questo tipo, U (w)  e w ? Esercizio 6) In un gioco a premi vi partecipano 3 concorrenti (A, B, e C). Il concorrente A ha una funzione di utilità logaritmica (U(W)= ln(W)), il concorrente B ha una funzione di utilità esponenziale (U(W)= ew/1000) ed infine il concorrente C ha una funzione di utilità lineare (U(w)= 1,2w). Tutti e tre i concorrenti hanno accumulato un totale di 3000 euro fino a quel momento. A tutti viene data la possibilità di fermarsi e di vincere 3000 euro. Ogni giocatore è libero di fermarsi o di continuare indipendentemente dalle scelte degli altri (essi non possono sentire le scelte effettuate dagli altri). Agli stessi concorrenti viene anche prospettato di continuare il gioco. In questo caso essi avrebbero 7

la possibilità di vincere, 100 euro con una probabilità del 60%, 300 con una probabilità del 30% ed infine di perdere 1100 euro con una probabilità del 10%. Quali saranno le scelte effettuate dai tre concorrenti? Esercizio 7) Il signor Xy possiede un capannone (già completamente ammortizzato) per lo stoccaggio di materiale altamente infiammabile, il cui valore di mercato è pari a 500000 euro. Pur essendosi dotato di evoluti sistemi di sicurezza esiste una possibilità che il capannone si incendi e danneggi la merce. In particolare è stata stimata una probabilità del 3% che il capannone subisca un incendio tale da danneggiare irreparabilmente il 90% della merce (non più vendibile). Esiste inoltre una probabilità del 10% che divampi un incendio che danneggia il 40% della merce. Se il signor Xy possiede una funzione di utilità logaritmica, cosa potete dire in merito alla sua propensione al rischio? Quale sarà il livello dell’utilità attesa della ricchezza (supponendo che coincida con il valore della merce) del signor Xy? Quanto sarà disposto a spendere il signor Xy per assicurarsi completamente (sottoscrivendo un contratto per cui l’assicurazione rimborsa il valore di mercato della merce distrutta) contro il rischio di incendi ? SOLUZIONI (si vedano anche le soluzioni ai seguenti esercizi in formato Excel disponibili in Blackboard) Esercizio 3) Ricchezza iniziale W = 2000 Possibili output della scommessa: - 3000 con probabilità 0,5 - 1000 con probabilità 0,5 Funzione di utilità del signor xy → U(W)= LN(W) Valore atteso dalla scommessa E(W) → 2000 Utilità corrispondente al valore atteso della scommessa → 7,6 (Errore grave) Utilità attesa della scommessa E(U(W)) → 7,46 (Risposta corretta) 7,6>7,45 → Avverso al rischio Si ricordi: U(E(W))> E(U(W)) → Avverso al rischio U(E(W))= E(U(W)) → Neutrale al rischio U(E(W))< E(U(W)) → Amante del rischio Esercizio 4) Ricchezza iniziale W = 1000 Utilità situazione di partenza = 6,90 Possibili output della scommessa: - 1050 con probabilità 0,5 - 1400 con probabilità 0,3333 - 100 con probabilità 0,16667 Funzione di utilità del signor Verdi → U(W)= LN(W) Valore atteso dalla scommessa E(W) → 1008,33 Utilità attesa della scommessa E(U(W)) → 6,660544 8

Quindi non si effettuerà la scommessa dato che è maggiore l'utilità della situazione di partenza; anche se aumenta il valore atteso della ricchezza, l'incremento di rischio è tale da far preferire all'investitore di lasciar perdere, data la sua funzione di utilità che evidenzia l’avversione al rischio. Esercizio 5) Ricchezza iniziale W = 2 (X1000) Possibili output della scommessa: 1 con probabilità 0,05 0,4 con probabilità 0,5 -0,3 con probabilità 0,45 Funzione di utilità del signor xy: Utilità di partenza Valore atteso dalla scommessa E(W) Utilità generata U(E(W)) Valore atteso delle utilità E(U(W))

U(W)= -EXP(-W) -0,135 2,115 -0,121 -0,130

U(W)= EXP(W) 7,389 2,115 8,290 8,979

-0,121 > -0,130 → avverso al rischio 8,290 < 8,979 → propenso al rischio In questo caso la scommessa viene effettuata anche con la particolare funzione avversa al rischio considerata; a maggior ragione viene effettuata con la seconda funzione propensa al rischio: in questo caso è sufficiente accorgersi che il valore atteso della scommessa è maggiore del valore della ricchezza di partenza: a questo punto non ci sarebbe nemmeno bisogno di fare i calcoli, in quanto sicuramente l'investitore avverso al rischio preferisce la scommessa al medesimo valore certo (e a maggior ragione rispetto al valore, inferiore, della ricchezza di partenza). L'esercizio ci insegna che non necessariamente un investitore avverso al rischio rifiuta sempre una scommessa: la accetterà quando l'incremento di ricchezza è remunerativo, data la sua funzione di utilità, in misura tale da più che compensare l'incremento del rischio. E' quanto accade in questo esercizio, mentre non accadeva nel precedente. Esercizio 6) Ricchezza iniziale W = 3000) Possibili output della scommessa: 3100 con probabilità 0,6 3300 con probabilità 0,3 1900 con probabilità 0,1 Funzione di utilità del signor A → U(W) = LN(W) Funzione di utilità del signor B → U(W) = EXP(W) Funzione di utilità del signor C → U(W)=1,2W Senza bisogno di fare calcoli, possiamo subito dire che B e C effettueranno la scommessa. B è propenso al rischio, quindi sicuramente accetterà una scommessa il cui valore atteso è superiore al valore della ricchezza di partenza (e addirittura la preferirebbe al semplice regalo dell'incremento atteso di ricchezza conseguente alla scommessa). C è indifferente al rischio, quindi anch' egli preferisce una scommessa con valore atteso superiore alla ricchezza di partenza (anche se sarebbe 9

indifferente tra la scommessa e il regalo dell'incremento atteso di ricchezza conseguente alla scommessa). Nel caso di A non possiamo dare una risposta senza calcolare in concreto cosa preferirà. A B C Utilità ricchezza iniziale 8,006 20,086 3600 Valore atteso dalla scommessa E(W) 3040 3040 3040 Utilità della ricchezza attesa U(E(W)) 8,020 20,905 3648 Utilità attesa della ricchezza E(U(W)) 8,009 22,121 3648 Quindi A preferirà effettuare la scommessa ed abbiamo conferma che B e C la accetteranno.

Esercizio 7) Valore di mercato della merce nel capannone (W) = 500.000 Percentuale di merce rimasta intatta in magazzino: 0,1 con probabilità 0,003 (Valore del magazzino = 50.000); 0,6 con probabilità 0,1 (Valore del magazzino = 300.000); 1 con probabilità 0,87 (Valore del magazzino = 500.000). Funzione di utilità del signor xy → U(W) = LN(W) Utilità attesa della merce E(U(W)) = 13,002 Equivalente certo = 443.389,2 Ammontare massimo disposto a pagare per assicurarsi = 56.610,780 Pagando questa cifra, sarebbe indifferente tra assicurarsi o non assicurarsi; infatti avrebbe merce che varrebbe con certezza 500.000, a cui bisognerebbe dedurre il valore dell'assicurazione pari a 56.610,780. A questo punto possederebbe una ricchezza certa pari a 443.389, cui corrisponde un'utilità di 13,002 (l’equivalente certo di una scommessa è appunto la somma certa la cui utilità è pari all'utilità attesa della scommessa). Se invece l'assicurazione costasse meno, certamente la sottoscriverebbe. Se ad esempio costa 40.000, allora la sua ricchezza certa è pari a 460.000, cui corrisponde un’utilità di 13,039 superiore all'utilità attesa del magazzino senza assicurazione. 4) ESERCIZI SUL CAPM Innanzitutto lo studente dovrà essere in grado di risolvere i problemi sugli argomenti relativi alla diversificazione di portafoglio e al CAPM la cui soluzione è richiesta per superare l’esame di finanza aziendale di laurea triennale nella Facoltà di Economia dell’Università Cattolica. Esercizi riguardanti la parte che si dà per nota di questa materia sono quelli reperibili in coda ai capitoli IX e X del testo di Ross-Hillier-Westerfield-Jaffe-Jordan. Si tratta di esercizi piuttosto elementari, che implicano sapere applicare le relazioni fondamentali per la quantificazione del rendimento e del rischio dei portafogli, nonché applicare la relazione fondamentale del CAPM espressa dalla Security Market Line (SML), o Linea di mercato degli investimenti. Lo studente che, avendo superato l’esame, ha già acquisito i contenuti in questione, non dovrebbe quindi impiegare il proprio tempo per ripercorrere gli esercizi appena indicati, che vengono comunque richiamati a

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beneficio di chi avesse ancora incertezze in materia. Su questa parte del programma, che dovrebbe essere già nota, si suggerisce piuttosto di svolgere i seguenti esercizi, che servono a sottolineare aspetti particolarmente utili per comprendere alcune argomentazioni nuove.

Esercizio 8 Supponiamo che la varianza media del rendimento dei singoli titoli sia 50 e la covarianza media sia 10. Quale sarà la varianza attesa di un portafoglio equiponderato di 5, 10, 20, 50 e 100 titoli ? Quanti titoli è necessario tenere in portafoglio affinché il rischio di un portafoglio sia soltanto il 10% più del minimo ? Commento : questo esercizio serve a richiamare gli effetti della numerosità dei titoli inclusi in un portafoglio per la diversificazione del rischio, che è un punto molto importante anche per comprendere il modello APT. Sul Ross-Hillier-Westerfield-Jaffe-Jordan, il riferimento teorico per la soluzione di questo esercizio è al cap. 10 par. 6. Suggerimento per la soluzione: per calcolare la varianza attesa, utilizzate per ciascun singolo titolo la varianza e la covarianza media (ragionate come se tutti i titoli avessero quel medesimo valore di varianza e covarianza)

Un argomento poco sfruttato negli esercizi per l’esame di laurea triennale è quello riguardante le proprietà della “Linea del mercato dei capitali” (Capital Market Line, CML) di cui tratta il RHWJJ cap 10 par 7.1. Anche in questo caso, si tratta di un argomento che è bene riprendere dati gli argomenti del nostro corso. Si vedano gli esercizi seguenti.

Esercizio 9 In un mercato in cui vale il CAPM, il tasso privo di rischio a cui si può dare e prendere a prestito è pari al 5%. Il rendimento atteso del portafoglio di mercato è pari al 12%. Lo scarto quadratico medio del portafoglio di mercato è pari a 0,3. Che por...