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CAPÍTULO 7: MCD-MCM

80

TEORÍA

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) El MCD de dos o más números es el mayor divisor que es común a dichos números. Ejemplo. Hallar el MCD de 12 y 18

4

 100  5 5

 200 20  10 2  5 2

2



1 1



5



5



1



1

5

 MCM(80; 100; 200)  20.22.5  400

12  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12

 ALGORITMO DE EUCLIDES Permite calcular el MCD de solamente dos números mediante divisiones sucesivas.

18  1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 Los números 12 y 18 tienen 4 divisores comunes, de los cuales "6" es el mayor, por lo tanto, el MCD(12; 18)  6 .

Ejemplo. Hallar el MCD de 56 y 32 COCIENTE DIVISORES RESIDUOS

NOTA:

CD COMUNES(12;18)  CDMCD(12;18) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) El MCD de dos o más números es el menor múltiplo que es común a dichos números.

56 24

1 32 8

1 24 0

3 8

 MCD(56; 32)  8 EJERCICIOS

Hallar el MCD y MCM de A, B y C A  24.72.13.17 B  3 2.7.13 4.19

Ejemplo. Hallar el MCM de 12 y 18

12  12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; ...

C  5.73.132.172.192

18  18 ; 36 ; 54 ; 72 ; 90 ; 108 ; ... Existen infinitos números que contienen tanto a 12 como a 18, pero el menor de ellos es 36, por lo tanto, el MCM(12;18)  36 . CÁLCULO DEL MCD Y MCM  DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA Se descompone canónicamente cada uno de los números y luego: A. El MCD es el producto de todos los factores primos comunes, con los menores exponentes. B. El MCM es el producto todos los factores primos existentes, con los mayores exponentes. Ejemplo. Hallar el MCD y MCM de A  2 3.3 4.52.7 B  2.35.53.11

MCD(A; B)  2.34 .52 MCM(A; B)  23 .35 .53 .7.11  DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA Hallar el MCD y MCM de 80, 100 y 200

80  100  200 2 40  50  100 2 20  25  50 5 4



5



10

!

SON PESI

 MCD(80; 100; 200)  2 2.5  20 NOTA:

4

80 MCD

5

100 MCD

10 

200 MCD

y

Si A  14 n 10 y B  10n 14 . Además: CD COMUNES(A; B)  44 . Hallar "n". Tres corredores A, B y C parten juntos de un mismo punto de un circuito de 3600m de longitud. Al corredor A le toma 48min completar una vuelta; a B, 72min; y a C, 60min. ¿Dentro de cuánto tiempo volverán a pasar, juntos, por la línea de partida? Se tienen ladrillos cuyas dimensiones son 18, 12 y 10cm, ¿cuántos ladrillos serán necesarios para formar el cubo compacto más pequeño posible? Hallar (a  b)

sabiendo que los cocientes sucesivos al

calcular el MCD de a(a  1)a y (a  1)b1 mediante el algoritmo de Euclides fueron: 1, 3 y 2....