Calculo 2.clase Notacion Sigma PDF

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Summary

calculo integral antiderivadas intewgral directae integral por sustiticiòn
òr oartes por fracciones parciales calculo integral antiderivadas intewgral directae integral por sustiticiòn
òr oartes por fracciones parciales...

Description

NOTACION SIGMA ∑ es la letra griega mayúscula sigma, se denomina notación sigma o notación de suma. Las variables i,j,k se denominan índice de la suma, nos permite escribir escribir una en forma compacta . n

∑ ai

termino con este valor de i

a1 + a2 + a3+ . . . + an

i=1

Subíndice

Empieza con el valor indicado de i Nota : ai es la suma de todos los números de la forma ai ,cuando i asume los valores sucesivos de i=1,2,3,4,……,n PROPIEDADES DE LA NOTACION SIGMA Para m y n enteros positivos se tiene. n

n

c a k =c ∑ ak ∑ k=1 k=1

, donde c es cualquier constante

ak ± n

n

k=1 n

k=1

(¿ b k )=∑ ak ± ∑ bk ¿ ∑ k=1

n

∑ ak

=

k=1

m

n

k=1

k=m+1

∑ ak + ∑

ak , m˂n

FÓRMULAS DE SUMAS Para n un entero positivo y c cualquier constante tenemos n

∑ c =nc k=1

) ∑ k= n ( n+1 2 n

k=1 n

k 2= ∑ k=1

n ( n+1 )∗( 2 n+1 ) 6

2

∑ k 3= n ∗(4n+1 ) n

k=1

S =1+2+3+4+5+. . .+(n-3) +(n-2) +(n-1) +n S =n+(n-1) +(n-2) +(n-3) +(n-4)+. . . +4+3+2+1 2S=(n+1) +(n+1) +(n+1) +(n+1)+. . .+(n+1)+(n+1)+(n+1) 2S=n (n+1) n(n+1) 2

S=

Ejercicios 1) La suma de los diez primeros enteros pares positivos 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 10

10

k=1

k=1

∑ 2 k =2 ∑ k=2+ 4+6 +8 +10 +12 +14 + 16+18 +20 n ( n+1 ) 2

n=10 entonces n+1=10+1=11 luego

=110 10 (11 ) 2

=2

= (10)*(11)=110

2) la suma de los diez primeros enteros impares positivos 10

10

10

k=1

k=1

k=1

∑ ( 2 k −1 )=2 ∑ k −∑ 1 entonces2

[

]

n∗( n+1) 2 ( 10 )( 11 ) luego n∗c , −10∗1 entonces 110−10=100 2 2

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 100 3) la suma de los diez primeros enteros positivos 20

k=1+ 2 + 3+4 + 5+ 6 + 7 + 8+9+10 + 11 + 12 + 13 +14 + 15 + 16 + 17 + 18+ 19 + 20=210 ∑ k=1 20

∑ k= k=1

20 (21 ) 420 = =210 2 2 20

k +¿ ∑ 25= 4)

k=1 20

20∗21∗41 10∗20∗21 + +( 20∗25 ) =5470 2 2 20

20

20

∑ ( k +5 ) =∑ k 2 +10 k +25=∑ k 2+10 ∑¿ 2

k=1 20

∑ k 2= 11∗12∗23 6 k=1

k=1

k=1

k=1

5

5

30 = =15 ∑ k=1+2 +3+4 +5 =15 entonces si ∑ k = 5∗6 2 2

5)

k=1

k

k=1 3

2

(−1 ) ∗k=(−1 )∗(1 ) +(−1 ) ∗¿ ( 2) +(−1 ) ∗( 3)=−1+2−3=−2 3

6)

∑¿ k=1 2

k /k +1=1/ 2+1 / 3 =7/6 ∑ k=1

7)

5

∑

8)

( k2) k

k=4

−1=

16 25 139 52 42 = + = + 4 12 4−1 5−1 3

Ejercicios Desarrolla la suma indicada 5

1)

∑3 k k=1 5

2)

∑ (2 k−3) k=1 4

3)

coskπ ∑ k=1 kπ

4)

sen(¿)

1 2

5

¿ ∑ k=1 3 ∑ ( 10 )

k

10

5)

k=1 2

6)

6k ∑ k k=1 +1 4

7)

k

∑ 2k k=1 3

8)

1

k− ∑ k k=1 5

9.)

∑ j2−2 j j=2

4

∑ ( m+1) 2

10.)

m=1

Desarrollo 5

1.

∑3 k

= 3 + 6 + 9 + 12 +15 = 45

k=1

3.

4

4

4

4

4

k=1

k=1

k=1

k=1

k =1

∑ coskπ=∑ cosπ +∑ cos 2 π +∑ cos 3 π +∑ cos 4 π 4

10. ∑ ( m+1)

4

2

m =1

=

∑ ( m +2 m+1) 2

❑

2 m+¿

4

=

m=1

∑m

= -1+1-1+1 = 0

2

m=1

+

4

∑¿ m=1

Use la natación sigma para escribir la suma dada 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

3+5+7+9+11+13+15 1+2+4+8+16+32 2+4+8+16+32+64 1-2+4-8+16-32 1+4+7+10+ . . .+37 1+2+3+4+5+6 2+6+10+14+. . . +38 1/2+1/4+1/8/1/16 1 1 1 1 9) 1− + − + 2 3 4 5 1 1 1 1 10) 1− + − + 2 3 4 5 11) 1-1+1-1+1-1 12) 1+4+9+16+……… −1 2 3 4 5 + − + − 13) 2 3 4 5 6 14) 2+4+6+8+10 15) 1+√ 2+ √ 3+2+ √5+.. . .+3 −1 2 3 4 5 + − + − 16) 5 5 5 5 5 Desarrollo 7

3+5+7+9+11+13+15

=

2 k +1 ∑ k=1

4

1 ∑ m=1

−1 2 3 4 5 + − + − 2 3 4 5 6

5

=

k=1 n

1-1+1-1+1-1…

=

∑ (−1)k+1 k=1 n

1+4+9+16+……… =

(k )2 ∑ k=1

Encuentre el valor numérico 20

1)

2k ∑ k=1 6

2)

∑ (k 2 +3) k=1 5

3)

2 (6 k −k ) ∑ k=1

4)

∑ (−3 k )

50

k=0 10

5)

∑ k 3+ 4 k=0 3

6)

∑ 2 i3−5 i+3 i=1 10

7)

∑k k=1

8)

k (¿¿ 2−5) 6

∑¿ k=1 5

9)

πk ∑ 15 k=1 6

10)

(3−k 2) ∑ k=1

11)

3 k ∑ k=1

12)

∑ −2 k

3

7

k=1 8

13)

1 +2 k ∑ k k=1

∑ (−1)k kk+1

5

∑ k (3 k +5)

14)

k=1

k 3

(∑ ¿ ) 3

k=1

¿ k 3 +¿

15)

5

¿ ∑ k=1

El área bajo una gráfica o bajo una curva Sea f una función continua sobre [a,b] y f(x) ≥0 ∀x ∈ I El área bajo la gráfica f sobre el intervalo se define como n

A= lim

∑ F(xk )∆ x

n →∞ k=1

Área un triangulo

A

El área bajo una curva se obtiene como el recinto cerrado formado el eje positivo de las x y las rectas X=a y X=b esto se define : b

∫ F ( x ) dx = F ( X ) /¿

calculado entre ay b

= F(b) – F(a)

a

El área que existe bajo esa función. Ejemplos Encuentra el área bajo las siguientes funciones en el intervalo indicado 1) 2) 3) 4) 5) 6)

F(x) = 4 F(x) = 2 F(x) = x F(x) = 2x+1 F(x) = x2 F(x) = 2√ x

[0,4] [0,8] [0,4] [1,3] [0,3] [0,9]

7) 8)...