Cálculo del número π - Calcular el numero π mediante la medicion de varios objetos redondos a los que PDF

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Calcular el numero π mediante la medicion de varios objetos redondos a los que se les halla el perimetro, radio,etc., practica de laboratorio....

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Cálculo del número 𝝅

Nombres de Integrantes del Grupo Programa de Ingeniería Agroecológica, Universidad de la Amazonia Recibido 1 de Octubre Resumen En este trabajo se calculó experimentalmente el valor aproximado de 𝜋 (pi). Para esto se midió el diámetro y el perímetro de varios objetos circulares cotidianos de distintos tamaños. Luego se aplicó el método de mínimos cuadrados para ajustar los respectivos pares ordenados con el fin de obtener la ecuación de una recta que al compararla con la ecuación de perímetro en función de diámetro permite deducir que la pendiente de esta es el valor aproximado de 𝜋. Finalmente se calcular los valores para la incertidumbre y el error relativos para determinar la precisión y exactitud del cálculo obtenido. Palabras Clave: número 𝜋, mínimos cuadrados, incertidumbre y error, precisión y exactitud. 1. Introducción: El número 𝜋 sirve esencialmente para calcular el área y el perímetro de cualquier circunferencia. Mediciones modernas han encontrado que las pirámides de Keops y Sneferu en Gizeh, Egipto, la relación de la altura h con la mitad del perímetro de la base p es 22/7 (=3,142857) número muy próximo a π. Este cálculo, se realizó en el año 3000 a.C. [1] La medición de Pi más reciente (noviembre de 2016) logró registrar 22,459,157,718,361 decimales [2] siendo el récord actual. El objetivo de este trabajo es obtener un valor experimental del número 𝜋, tomando como base diez mediciones y aproximando los resultados mediante el método de mínimos cuadrados.

2. Marco teórico:

Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática en la que dados un conjunto de pares ordenados, se intenta encontrar la función continua que mejor se aproxime a los datos [3]. Para ajustar los pares ordenados (x1,y1), (x2,y2),…,(xN,yN) a una recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, se considera a N como el número de pares de medidas. De la teoría de mínimos cuadrados se tiene que la formula general para saber cuál es la recta que mejor se ajusta a los N pares es: 𝜒 2 (𝑛, 𝑚)

𝑁

= ∑(𝑦𝑖 + 𝑚𝑥𝑖 − 𝑛)2

Definiendo que:

𝑖=1

𝑁

𝑆𝑥 = ∑ 𝑥𝑖 𝑖=1

𝑆𝑥𝑥 =

𝑁

∑ 𝑥𝑖2 𝑖=1

𝑁

𝑆𝑦 = ∑ 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑁

𝑆𝑥𝑦 = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑖=1

𝑖𝑛𝑐. 𝑟𝑒𝑙. =

Entonces se calcula m y b mediante: 𝑁𝑆𝑥𝑦 − 𝑆𝑥 𝑆𝑦 𝑁𝑆𝑥𝑥 − 𝑆𝑥 𝑆𝑥

(1)

𝑆𝑥𝑥 𝑆𝑦 − 𝑆𝑥 𝑆𝑥𝑦 𝑁𝑆𝑥𝑥 − 𝑆𝑥 𝑆𝑥

(2)

𝑚= 𝑏=

𝑁𝑆𝑥𝑦 − 𝑆𝑥 𝑆𝑦

√𝑁𝑆𝑥𝑥 − 𝑆𝑥 𝑆𝑥 √𝑁𝑆𝑦𝑦 − 𝑆𝑦 𝑆𝑦

Siendo

(4)

3. Método Experimental

Para medir el grado de correlación lineal entre x e y, es decir, saber qué tan bueno es el comportamiento lineal de los N pares de datos registrados, es necesario calcular con precisión el coeficiente de correlación lineal [4] dado por 𝑟=

|𝑥𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑥𝑐𝑎𝑙 | ∗ 100% 𝑥𝑐𝑎𝑙

(3)

Para poder hallar una aproximación del valor del número Pi, se procede mediante un metro de costura a tomar el perímetro de diez objetos totalmente circulares. Posteriormente, se mide el diámetro de cada uno con el mismo instrumento utilizado para la medición del perímetro. Cada medida encontrada se registró en una tabla de valores correspondientes al diámetro y al perímetro de cada objeto circular. (Tabla 1)

𝑁

𝑆𝑦𝑦 = ∑ 𝑦𝑖2 𝑖=1

Para determinar la exactitud del cálculo de 𝑥𝑐𝑎𝑙 y compararlo con un valor real o aceptado 𝑥𝑟𝑒𝑎𝑙 , se utiliza la ecuación del error relativo que está dada por 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙. =

|𝑥𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑥𝑐𝑎𝑙 | ∗ 100% 𝑥𝑟𝑒𝑎𝑙

(4)

Por último, se tiene que para calcular la precisión de los datos recolectados en el experimento se usa la ecuación de la incertidumbre relativa:

Tabla 1. Datos registrados del diámetro (di) y el perímetro (ci) de los objetos circulares.

En un diagrama de dispersión en Excel (Fig. 1) se introducen los datos del diámetro (di) y del perímetro de las circunferencias (ci).

Fig. 1. Diagrama de dispersión

4. Análisis y Resultados Luego de tener las medidas del experimento, es necesario usar el método de los mínimos cuadrados para hallar la pendiente m e intersección b de la recta que se ajusta a los datos. Para ello, se hallan todos los datos de los mínimos cuadrados en Excel usando las

ecuaciones (1) y (2). A continuación, se calcula el coeficiente de correlación lineal usando (3). A partir de los datos de la Tabla 1, se efectúa el cálculo de los mínimos cuadrados en Excel tomando a xi como el diámetro y yi como el perímetro. Con esto se obtienen los siguientes resultados (Tabla 2).

Tabla 2. Cálculo de los mínimos cuadrados en Excel

Estos resultados permiten realizar los parámetros del ajuste con el fin de hallar la recta que mejor se adapte a los N pares.

Luego se traza la recta con el fin de analizar visualmente el comportamiento lineal de los datos registrados. (Fig. 2)

Entonces, se tiene que reemplazando en las ecuaciones (1), (2) y (3):

Por último, con estos datos se pueden encontrar la incertidumbre relativa y el error relativo utilizando las ecuaciones (5) y (6): error rel. =3.19471% inc. Rel. =3.19488%

m=3,131502231 n=0,57440832 r=0,99990888

Fig. 2. Diagrama de dispersión de los datos con su respectiva recta.

5. Conclusiones 1. Mediante la toma de algunas medidas de distintos objetos circulares con diferente diámetro y perímetro, fue posible realizar una aproximación significativa al valor real del número 𝜋. 2. Revisando los valores de la incertidumbre relativa y error relativo se concluye que la medición fue muy precisa y el valor encontrado fue muy exacto.

3. Con la recta y el coeficiente de correlación se percibe que hay una excelente correlación lineal entre las medidas registradas en el experimento; lo cual es muy importante dentro del objetivo del mismo. 4. Los resultados son muy satisfactorios, a pesar de tratarse de un valor muy difícil de calcular con instrumentos de medición en objetos con irregularidades físicas.

Referencias [1] Sánchez, C. H. (1992). Pi. En C. H. Sánchez, Los tres famosos problemas de la geometría griega y su historia en Colombia (pág. 137). Bogotá: Universidad Nacional de Colombia. [2] Pi World Record. (2017). Obtenido de πe trillion digits of π: http://pi2e.ch/ [3] Wikipedia. (2017). Obtenido de Wikipedia.org: https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3% ADnimos_cuadrados [4] València, U. d. (s.f.). 08 Ajuste de una recta por minimos cuadrados.pdf. Obtenido de Técnicas experimentales en Física general: http://www.uv.es/zuniga/tefg.htm...