Cálculo ejercicios resueltos de optimizacion PDF

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Optimización

1. Un fabricante determina en el costo total c, de producir un artículo está dado por la función de costo

2 c=0.05 q + 5 q+500 . ¿Para qué nivel de producción será mínimo el costo

promedio? SOL: Primero hallamos el costo marginal sabiendo que

c´ =

c q

y luego igualamos a 0

2 ´c = 0.05 q +5 q+ 500 q

c´ =0.05 q +5+

500 q

´c ' =0.05−500 q−2 −2

0.05−500 q = 0

0.05=

500 q2

2

0.05 q =500 q=±

√

500 0.05

q=± √ 10000 q=± 100 nivel de producción q=100 ''

c´ =

1000 q3

c´ '' (100)=

1000 100 3

'' ´c (100 )= 0.001> 0

Al ser mayor que cero, significa que

q=100 es un mínimo relativo.

Para que el costo de producción sea mínimo debe haber un nivel de producción de 100. 2. El costo por hora (en dólares) de operar un automóvil está dado por 2

C=0.12 s −0.0012 s + 0.08 para 0 ≤ s ≤60

donde S es la velocidad en millas por hora. ¿A qué velocidad es el costo por hora mínimo?

SOL: C=0.12 s −0.0012 s 2+0.08 '

c =0.12−0.0024 s

0.12−0.0024 s=0 0.12 =s 0.0024 50=s

s =0, s =50, s=60 c ( 0 )=0.08

c ( 50 )=3.08 c ( 60 )=2.96

A una velocidad de 50 millas por hora se da el costo por hora mínimo.

3. La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es precio se maximizará el ingreso? SOL: p=−5 q +30 Hallamos el ingreso sabiendo que

I = pq

I =q (−5 q+ 30 )

I =−5 q2 +30 q Derivamos y lo igualamos a 0 I '=−10 q+30

−10 q+30=0 30=10 q

30 =q 10 3=q nivel de producción Hallamos el precio remplazando q en p p=−5 ( 3 )+30

p=15 El ingreso se maximizará con un precio de $15.

p=−5 q +30

¿A qué

4. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es de costo

p=85−0.05 q

y la función

¿A qué nivel de producción se maximizará la utilidad? ¿A qué

c=600+35 q

precio ocurre esto y cuál es la utilidad? SOL: p=85−0.05 q I = pq

Hallamos el ingreso sabiendo que I =q ( 85−0.05 q ) I =85 q−0.05 q

2

Hallamos la utilidad sabiendo que

U =I −c

2

U=85 q−0.05 q −600 −35 q Derivamos la utilidad y la igualamos a 0 '

U =85 −0.1 q−35

85−0.1 q−35 =0 85− 35=0.1 q

50= 0.1 q 50 =q 0.1 500=q nivel de producción

Derivamos por segunda vez

U ' ' (q)=−0.01

U ' ' (500)=−0.01...