Calculo infinitesimal Límites - Lectura Complementaria PDF

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lectura complementaria y ejericios completos con sus respectivas soluciones.......

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UNIDAD 1: LÍMITES Introducción: Podemos decir que se entiende por límite aquel punto al que uno se puede acercar todo lo que se quiera, y que una vez sobrepasado, cambia totalmente la situación. De esta forma, el límite de un precipicio será un punto al que seguramente será mejor no llegar, y el límite de un país será el punto frontera (al que se puede llegar fácilmente) y que una vez sobrepasado nos garantiza que nos encontramos en un país distinto. Como se puede ver en los dos ejemplos anteriores, podemos hablar del término límite para referirnos a dos cosas aparentemente muy distintas. En un caso (precipicio) no sabemos si existe realmente ese límite y en el otro (frontera) lo podemos tener perfectamente localizado. Esta es una de las curiosidades del punto límite: más importante que exista o no el punto es saber dónde estaría si existiera. De esta forma, en matemáticas nos interesará saber localizar el límite, sin importarnos demasiado si existe o no. Vamos a ver un ejemplo referido a una sucesión de números. Sea la sucesión definida de la siguiente forma:

Sn =

1 , n  1,2,3,4,... , es decir donde n tomará todos los valores naturales. n

Los términos de esta sucesión son: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , , , , , ... , , ..., , ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10000000 10000001 8989285325

Si representamos esta sucesión de números sobre la recta real, veremos que todos los términos están localizados entre el valor 0 y el valor 1, de la forma siguiente: 0

1

Como se puede ver, los términos se van acercando cada vez más a un valor límite que estaría colocado aquí. Si revisamos un poco la sucesión nos daremos cuenta de dos cosas importantes. La primera de ellas es que el límite será el valor 0, ya que los términos se van haciendo cada vez más pequeños, tanto como yo quiera sin más que elegir los elementos de la sucesión lo suficientemente pequeños (

1 1 , 11000 , 10000000000 , etc.) 10 1000000000 10

La segunda cosa que se ve es que, si bien el 0 es el límite de la sucesión, este elemento (el 0) no es un elemento de la sucesión, ya que n se va haciendo cada vez más grande, pero nunca dará como resultado de una división el valor 0 (sería como decir que no existe, como el límite del precipicio).

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LÍMITES DE FUNCIONES Vamos a estudiar el límite pero llevado a una función. Se trata de ver cómo se comportan los valores de una función (los valores de la variable dependiente y), según vamos variando los valores de la variable independiente. Esto lo escribiremos así:

l = lim f (x ) x→c

Se puede ver que la definición es lo que se espera: (lo veremos con varios ejemplos) Ejemplo 1: Sea la función interesa saber cuánto vale vale

f ( x) = x 2 + 1 . Supongamos que nos

x

lim f ( x) . Es decir, queremos saber cuánto x →3

lim x 2 + 1 . Se puede calcular dando valores a la x cada vez más

2,99 9,9401

x→ 3

2,999 9,994001

cercanos a 3 y viendo a qué valor se acerca f (x ) . En este ejemplo, daremos primero valores cada vez más cercanos al valor 3, pero siempre con valores más pequeños que 3. Después vemos también cómo es el límite en el caso de que demos valores cada vez más cercanos al 3, pero tomando siempre valores mayores que 3 (por ejemplo, 3,1 , 3,01 , 3,001, 3,0001, ....). En los dos casos, si continuamos dando valores cada vez más cercanos al 3, vemos que cada vez nos acercamos más al valor 10. Este valor es el que se obtiene exactamente cuando en la función f ( x ) = x + 1 se sustituye por el valor decir, f ( 3) : 2

x = 3 es

2,9999

.............

2,99999999 9,99999994

x 3,1

10,61

3,01 10,0601 3,001 10,006001

.....

Hemos visto un ejemplo en el que el límite de la función es un valor definido (10). Veamos más posibilidades:

9,99940001

.....

3,0001

f (3) = 32 + 1 = 9 + 1 = 10

9,41

2,9

10,00060001

.............

3,00000001 10,0000000600000001

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f ( x) =

Ejemplo 2: Sea la función cuánto vale

1 . x −1

Si queremos saber

1 , podemos proceder de la misma forma que x→ 1 x −1

lim

antes. Daremos valores cercanos a 1 pero siempre menores que 1.

−.

0,9

-10

0,99 -100 0,999 -1000

Como vemos, lo que obtenemos ahora es que cuanto más cerca esté el valor de la x del valor 1, la y va tomando valores cada vez más pequeños. Esto nos hace pensar que lim− x→ 1

x

1 tomará el valor x −1

Si los valores que damos son cercanos a 1 pero mayores que 1, lo que obtenemos es que los valores son cada vez más grandes (iguales que los anteriores pero cambiados de signo). Esto nos hace pensar

1 que lim+ tomará el valor +  . x→1 x − 1

0,9999 -10000 .....

.............

0,9999999 -10000000

x 1,1

10

1,01 100 1,001 1000

1 la variable x por el valor Si sustituimos en la expresión f ( x ) = x− 1 1 1 1, obtenemos una expresión que tiende a   : f (1) = = − 1 1 0

1,0001 .....

10000

.............

1.0000001 10000000

x2 . Podemos querer saber cuánto vale Ejemplo 3: Sea la función f (x ) = 2 x −1 2 x lim f (x ) = lim 2 . x → + x → + x − 1 x Procediendo como en los ejemplos anteriores, tomaremos valores cada vez más grandes. Se puede ver que la tendencia es la de llegar al valor 1.

100

En el caso de intentar sustituir el valor de x por el valor +  , llegamos a expresiones como esta:

lim f (x ) = lim

x → +

x → +

x

2

x2 − 1

=

a una indeterminación del tipo

10

 , lo cual nos lleva  −1  . 

1,010101010101010101 1,000100010001000100

1000 1,0000010000010000010 10000 .....

1,0000000100000001000

.............

10000000 1,0000000000000100000

Ya veremos cómo podemos resolver este tipo de indeterminaciones para obtener lo que se ve en el ejemplo, es decir, que tiende al valor 1.

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LÍMITES EN EL INFINITO La expresión es la siguiente lim f ( x) = l x→ + 

f : D   →  . Se dice que l es el límite de la función

Sea una función si y sólo si:

f en + 

  0,  h   , t a l q u e  x   , x  h s e c u m p l e q u e f (x )− l   +

Se utiliza la notación:

lim f (x ) = l

x → +

y =f(x)

l+ l l- Ejemplo:

h Representamos la función:

f (x ) =

x x −1

Vemos que en los valores cada vez más grandes, la función va tomando unos valores cada vez más próximo al valor 1 para la y. Es decir, que:

x =1 x → + x −1 lim

LÍMITES EN EL INFINITO (NEGATIVO) La expresión es la siguiente

lim f ( x ) = l

x → −

Sea una función f : D   →  . Se dice que l es el límite de la función f en el −  si y sólo si: LÍMITES – LIC. JESICA ROBLES

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  0,  h   − , t a l q u e  x   , x  h s e c u m p l e q u e

f ( x) − l  

lim f ( x) = l

Se utiliza la notación:

x→ − 

Ejemplo: Nos sirve la misma función f (x ) =

x x −1

Vemos que en los valores cada vez más pequeños, la función va tomando unos valores cada vez más próximo al valor 1 para la y. Es decir, que:

lim

x → −

x =1 x−1

Así mismo, se habla de

lim f (x) = +

x→+

siempre que dado un número k arbitrariamente grande, podemos encontrar un número h (tan grande como sea) tal que si x  h , entonces f (x )  k Unas definiciones similares pueden dar lugar a

lim f (x) =  

x→  

Podemos investigar la forma que tendrá la función en estos casos:

lim f (x) = 

lim f (x) = − 

x→ 

x→ 

lim f (x) = − 

x →− 

lim f (x) = 

x→ − 

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES FINITOS Si lim f ( x ) = a y x →

lim g ( x) = b x→

a) El límite de la suma es la suma de los límites:

lim ( f ( x) + g (x )) = lim f ( x) + lim g( x) = a + b x→

x→

x→

b) El límite de la diferencia es la diferencia de los límites:

lim( f (x ) − g( x)) = lim f (x ) − lim g( x) = a − b x →

x →

x →

c) El límite del producto es el producto de los límites:

lim( f (x )·g( x)) = lim f (x )·lim g( x) = a ·b x →

x →

x →

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d) El límite de la división es la división de los límites:

f (x ) a  f (x )  lim  = x→ Si b  o, entonces lim = x → g ( x) g( x) b   lim x→ e) El límite de la potencia es la potencia de los límites:

(

)

(

)

Si f (x )  o , entonceslim f (x )g ( x ) = lim f (x ) x →

x →

lim g ( x )

= ab

x →

f) El límite de la raíz es la raíz del límite:

Si n es impar o  n f ( x) = n lim f ( x) =  lim x→ x →  si n es par y f (x )  o  g) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite:

(

n

a

)

Si   0 y f (x )  o, lim(loga f (x )) = loga lim f (x ) = loga a x →

x →

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ALGUNOS LÍMITES INFINITOS Tenemos tres familias de funciones que se hacen Potencias: si p  0 y k  0



cuando x →  :

lim p ·x k = 

x →

Exponenciales: si p  0 y a  1

lim p ·a x = 

Logarítmicas: si p  0 y a  1

lim p·loga x = 

x →

x →

Comparación de infinitos. Si lim f (x ) =  y x→

a g (x ) si:

lim

x →

lim g( x) =  , se dice que f (x ) es un infinito de orden superior x→

f ( x) g (x ) =  o lo que es lo mismo lim =0 x → f ( x ) g (x )

Conclusiones importantes: a) Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior. b) Dadas dos exponenciales de base >1, la de mayor base es un infinito de orden superior. c) Cualquier función exponencial de base >1 es un infinito superior a cualquier potencia. d) De las tres familias de funciones, la logarítmica es infinito de orden inferior a las otras dos. e) Dos polinomios de igual grado o exponenciales de igual base son infinitos del mismo orden. f) Si en una suma hay varios sumandos infinitos, el orden de la suma es la del de mayor orden. Vamos a ver varios ejemplos de esto último: a) lim x →

x3 =; x2

lim

x →

x =0 ; x2

3x =; b) lim x → 2 x

3x lim x = 0 ; x → 5

3x =; c) lim x → 20· x 10

200·x 8 lim =0 ; x → 5x LÍMITES – LIC. JESICA ROBLES

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x3 3x =  ; lim = ; d) lim x → log x x → log x ln x lim x = 0 ; x → 3 e) lim x → f)

ln x = 0; x → x2

lim

5x 3 − 3x 2 + x − 1 5 = ; 2x 3 + 5x 2 − 2 2

2·3 x 2 = ; x → 5·3 x 5

lim

lim 3x 2 + 5 x + 2 = lim 3 x2 =  ; x →

x → x

lim 3x + 5 = lim 5 =  2

x

x→

x→

Operaciones con expresiones infinitas. Si

lim f ( x) =  y lim g( x) =  , hay operaciones que se pueden realizar con los x→

x →

límites que tienen resultados que se pueden comprobar fácilmente. Sumas

+l = +=

(−  ) + l = − (− ) + ( − ) = − − (−  ) = 

Productos

· =   ·l =  l  0 , Si  (−  )·l = − Si

 ·l = −  (−  )·l = 

l 0 ,

Cocientes

Potencias

l =0 

 = 

l =   , si l  0 0

 =  0

0 =0 

 − = 0 Si l  0 ,

 l= 

Si

l 0 ,  l= 0

Si

0 l  0, l =1

l  =  Si l  1 ,  −  l = 0

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l  = 0 Si 0  l  1 ,  −  l =  INDETERMINACIONES Hay casos en los que no se puede aventurar el resultado de una operación entre límites. En este caso, decimos que son INDETERMINACIONES que hemos de resolver para saber a qué valores tiende (la información de los límites no es información suficiente para saber el límite de la operación, hay que seguir investigando). Estas indeterminaciones son:

1

0 0  

( ) · 0

−

1− 

00

0

Reglas prácticas para el cálculo de límites cuando x →  a) Cociente de polinomios: Este cálculo se resuelve con sencillez si prestamos atención a los términos de mayor grado del numerador y del denominador.

Así, teniendo:

•

Si

ax p + a´ x p−1 + .... f (x) = bx q + b´x q−1 + ...

, podemos tener tres casos:

ax p + a ´x p−1 + .... =  (el signo de  depende de p  q , xlim q q−1 → bx + b ´x + ... los signos de a y b)

•

•

Si p  q ,

Si p = q ,

ax p + a´ x p−1 + .... lim =0 x → bx q + b´x q−1 + ... ax p + a´ x p− 1 + .... a lim = q q− 1 x → bx + b´x + ... b

b) Cociente de otras expresiones infinitas: Cuando en el numerador o en el denominador tenemos expresiones que no son exactamente polinomios (como por ejemplo, expresiones radicales del tipo p

axn + ... ) la regla anterior también sirve, aplicando el razonamiento que vemos

en el siguiente ejemplo: LÍMITES – LIC. JESICA ROBLES

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Calcula el siguiente límite:

lim x→ 

9

3x 7 + 5x 18 − x 19 5 2x + x − 1

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Para calcular este límite, lo que no se puede hacer es lo siguiente: 5

3 x7 + 5 x18 − x 9

2x + x 5 − 1 19

5

=

3 x 7 + 5 5 x 18 − 5 x

9

2x 19 + 9 x 5 − 9 1

Lo que sí se puede hacer es plantearnos, hablando de límites, el orden que tendrá el infinito del numerador y el orden que tendrá el del denominador. En ese sentido, el orden del numerador vendrá marcado por el mayor exponente del polinomio (el del término 5x18 ), pero el orden no será 18, sino que, al igual que todo el polinomio, estará afectado por una raíz 5. Por este motivo, se puede considerar que el numerador tiene un orden misma forma, el orden del denominador será de

18 . De la 5

19 18 19 . Así, como  , esto indica 9 5 9

que el numerador tendrá un orden superior al del denominador y por tanto, el límite valdrá  . c) Diferencias de expresiones infinitas Hay ocasiones en los que nos encontramos con límites formados por diferencias de expresiones infinitas (Indeterminaciones del tipo  −  ). En la mayoría de los casos esto ocurre porque hay una diferencia de dos expresiones polinómicas del tipo 5 x 3 − 3 x 2 , en los que se puede aplicar el mismo razonamiento que antes, es decir, identificar los órdenes de cada expresión y quedarse con la de mayor orden. De la misma forma se puede razonar con expresiones como las siguientes:

 x7 − 5 x2 + 1   lim 2 x + 1 − 2  x → x x − + 3  

(

)

 x 6 + 1 x 7 − 5 x 2 + 1  = − − lim  x→ − x + 3   x+ 1

(En el primer caso, la expresión (2 x + 1) forma un infinito de grado superior al de la expresión segunda que es polinómica de grado 6. En el segundo ejemplo, se ve que el orden del primer elemento de la diferencia es 5, mientras que el del segundo término es 6, por lo que mandará el segundo término). En otras ocasiones encontraremos que no es fácil hacer esta comparación por ejemplo, porque tienen el mismo orden. En el ejemplo siguiente se puede apreciar:

 2 x6 + 1 4 x 6 − 5 x 2 +1   − lim x → 3x + 3   x +1 (En este caso, se ve que tienen el mismo orden, por lo que estamos en un caso de indeterminación) En los casos como el indicado anteriormente, la mejor forma de proceder es intentando efectuar la operación que se pueda (en este caso, se puede reducir a común denominador y dejarlo todo en una sola fracción, con lo que se termina el problema).

 2 x 6 + 1 4x 6 − 5x 2 + 1   6 x 6 + 3 − 4x 6 + 5 x 2 − 1   2 x 6 + 2 + 5x 2  = lim   = lim  lim  − → → x → 3x + 3 3x + 3 3x + 3  x+1  x   x  LÍMITES – LIC. JESICA ROBLES

  =  

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Hay otra forma de llegar a una indeterminación del tipo  −  , que es con una diferencia en la que uno o los dos elementos que se restan están afectados por raíces:

(

lim 2x − 2x2 + x

x →

)

En estos casos, la solución pasa por eliminar la diferencia y transformarla en una división, multiplicando y dividiendo por el conjugado:

(

)

lim 2x − 2x 2 + x = lim x →

= lim x→

x →

4x 2 − 2x 2 − x

(2x +

(2 x −

2x + x 2

)

= lim x→

)(

2x2 + x · 2x + 2 x2 + x

(2x +

2x 2 + x

2x 2 − x 2x + 2 x + x 2

)

) = lim 4 x − (2 x + x) = (2 x + 2 x + x ) 2

2

x →

2

=

d) Límite de una potencia Se calcula sustituyendo por el valor. Puede dar indeterminaciones del tipo 1 , 0 0 o  0 . El primero de los casos se explica cómo resolverlo a continuación. Para los otros dos casos habrá que utilizar las propiedades de los logaritmos. Los estudiaremos más adelante e) Límite de una función cuando x → −  Para realizar el cálculo de un límite de una función cuando nos acercamos a basta con tener en cuenta que

−,

lim f ( x) = lim f ( ...