Respuestas Guia Complementaria II PDF

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Respuestas de guia complementarias previas al segundo parcial...

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Departamento de Matemática FBCB (UNL)

    !   La concentración de cierta drogaen sanngre, cuando es absorbida por el intestino,es una varriable (y) que depende del tiempo (t medido en minutos), y se relacionan mediante la siguiente ecuación: y( t) = 10 + mt + 2 t 2 ; donde m es unaa constante. a) Se sabe que a los 4 minutosla concen ntración en sangre alcanza la cantidad de 145µg/l. C alcular a el valor de m. Representar gráficamente y en función de t. Con el valor de m hallado, responder: b) ¿Cuál es la velocidad instantánea deaabsorción de la droga a los 5 minutos?, ¿y la aceleración en ese instante? a) m = 103/4

Con el valor de m hallado, responder: b)

´ 

  4 

´5  183/4

La velocidad instantánea de absorciónde la droga a los 5 minutos es de aproximadamente 5,75 g/l.min La aceleración de absorción en el insta nte t=5 es: entonces,



´´  4

´´5  4

1) Un medicamento es eliminado del cu uerpo por la orina. Suponga que para una dosis dadaen miligramos, la cantidad Q(t) en el cuerpo t horas despu ués está dada por   100,8 . a) ¿Cuál es la dosis dada inicialmente? Debemos calcular Q(0) ,

1

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  Q(0) = 10(0,8)0 Q(0) = 10 (1) Q(0) = 10 mg b) ¿Cuál será la cantidad del medicame nto en el cuero 8 horas después de la dosis inicial? Tenemos que calcular Q(8) , Q(8) = 10(0,8)8 Q(8) = 1,68 mg c) ¿Qué porcentaje del medicamento re manente en el cuerpo es eliminado cadahora? Debemos calcular r: r = (180,8)*100 = 20% d) ¿Cuánto tiempo tardará para que lamitad m del medicamento sea eliminado Como la cantidad inicial eran 10 mg, debemos calcular el tiempo para Q = 5mg t Q(t) = 10(0,8) t 5 = 10(0,8) 5/10 = 0,8t 0,5 = 0,8t log, 0,5   3,11 h = t e) ¿Qué ocurre a largo plazo? A largo plazo la cantidad del medicamnto tiende a caer hasta llegar a 0.

" Dada una población de 32000 individuos con una tasa anual de crecimiento del 5% a) Indicar la ecuación que modelala pobblación.   320001,05

b) ¿Cuál es la población inicial? P0 = 32000 individuos

c) ¿Cuánto tiempo se deberá esperar pa ra que se duplique la población inicial? P = 2P0 = 2*32000 = 64000 64000 = 32000(1,05)t 64000/32000 = (1,05)t 2 = 1,05t log, 2  

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  14,21 años = t d) ¿Qué población habrá transcurridos5 años? t=5 5 P(5) = 32000(1,05) P(5) = 40960 individuos e) ¿Qué ocurre a largo plazo? A largo plazo la función tiende al infinto

 # a) Representar gráficamenteUNA función que cumpla con las siguientes características: Es continua en todos los reales; los cer s son: x = 82, x = 0 y x = 2; el   = +∞ ; el liim f ( x ) = −∞ ;  → +∞

x→ − ∞

f ”(x) < 0 en (8 ∞, 0) y f ”(x) >0 en (0, + ∞).

 2 − 4   ≠ 2 b) Analizar si la función: g(x) =   − 2 es continua en x = 2. Justificar claramente su respuesta.  2   = 2  3

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 La función será continua en x = 2 si cumple con las tres condiciones necesarias: 1- f(x) existe  f(2) = 2 cumple con la condición. 2- lim→! "# existe lim→

%$& ' '$

 lim →

%$($'$ '$

 lim→$ % #  2  4

#$ − 4 #  2# − 2  lim)  lim) #  2  4 →$ # − 2 →$ →$ # − 2 Como los límites laterales son iguales, la función cumple con la condición 2 38 f(x) = lim→! "#  2 ≠ 4 entonces no cumple con la condición 3 La función no es continua en x = 2 lim)

$ a) Derivar las siguientes funciones: 3

a1) f (x ) = (x − 3). ln( x ) a1) Usamos la regla del producto:

, - '  ,

Entonces,

3# $

;

.

013/& √012 22  . , ,

a2)    =

3 +2

 22$ 22 45#2& 2 

' 2 3

' 2 &   3# $ √45#  f(x)´=3# $ √45#  # − 3 $ 22 45#2  3# $√45# $ $ 0123/&2  

3



6 -'7

6 - '7 √01

a2) Aplicamos la regla del cociente:

, -  ,

 3#$ ;

,($ ,

1

& ($' - 

f (x) ´=

($&



 - (8& '($&



$ -(8 & ($&



$ & ( ($ &

b) Definir derivada de una función y = f(x) en x = 0x e interpretar geométricamente lo que significa f ´(x 0). Para responder a este inciso, ver página 96 del libro que se usa en clase. c) Escribir la ecuación de la recta tangente a y = 4x– x2 en x = 2. Recordar: la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto es y =(c)f´x + b. y´= 4x3 82x y(2)´ = 4(2 3)82(2) y(2)´ = 28 Para hallar la Ordenada al Origen (O.O.). de la recta, calculamos un punto perteneciente a la recta: 4 2 y(2) = 2 82 y(2) = 12  P(2;12) ∈ a la recta Ahora calculamos la O.O. g(x): y=28x + b Reemplazo x e y por P 12=28(2) + b 12=56+b 12856=b 844=b  La ecuación de la recta tangente es:(x)g: y=28x 844

d) Hallar los intervalos de crecimiento de la función   =

3 . +2

La derivada de f(x) la calculamos en a2) y es igual a:

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  #  3 2 2# #  2$ "#´  Igualamos a 0 para calcular los intervaos de crecimiento: $

2# $#  3 2 #  2$ Para que el cociente sea igual a 0, el numerador debe ser igual a 0, entonces vemos que el polinomio factorizado del numerador, tiene comoraíces a x = 0 y x = 83. También observamos que hay una restricción en x = 82 , tanto en "# como en "#´ya que este valor hace que el denominador sea igual a0. Con estos datos, armamos los intervalos y calculamos la derivada en algún puntode cada intervalo. En realidad nos interesa el signo de (x) f ´ en cada intervalo. INTE ERVALO x f (x)´ f(x) (8 8∞;83) 84 88 Decrece (883;82) 85/2 25 Crece ( (82;0) 81 4 Crece ( ∞) (0; 1 8/9 Crece 0

% a) Integrar las siguientes funciones: a1)

∫ 

 2 +1

a2)



∫

a1) Integramos por sustitución:

Entonces, : ;

(

&

#.#  :

a2) Se resuelve por tabla.



 #$  12 .>  2# .# .>  #.# 2

& < C %3

$

B

1 1 1 1 #@6  # $  ln D #  F1  # $ GG  H 12 2 6 √6

b) Dadas las siguientes funciones: y =8 x2 +6 ; y = x 86 b1) Graficar ambas funciones.

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 b2) Calcular el área encerrada por las dos curvas. Calculamos las coordenadas de los puntos de intersección entre las dos curvas, resolviendo el sistema: y  −#$  6K I #−6

El conjunto solución es {(84;10),(3;83)} Planteamos la integral definida para el cálculo del área:

:' −#$  6 − # − 6  − K  6# −  

-

 &  6#L  $ '

−K  − -

& $

 12#L



'

−



−

& $

 123 − −

'

−

 12−4  ! La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función 2 3 v(t)= 40+15t89t +t ; donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde que comienzo el estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece. Para calcular los instantes de máxima y mínima, debemos plantear la derivada de la función: .40  15 − 9 $     15 − 18  3 $2 . Igualamos a 0,   8 =57,17

'& $

0  15 − 18  3$ cuyas raíces son t1=1 y t2 =5 Armamos los intervalos teniendo en cuenta que el dominio de la función es (0;∞)

INTERVALO t f(t) ´ f(t) (0;1) ½ 27/4 crece (1;5) 2 89 decrece (5;6) 5,5 6,75 crece En el instante t=1, la virulencia alcanza un máximo y en el instante t=5 alcanza un mínimo dentro del intervalo (0;6). a) Calcular los siguientes límites: a.1) limx→0 √x

&

a.1)2limx→0 a.2)2limx→1

√x x



 lim x→0

NO 

x

3/& x

 lim x→0 # &'  limx→0 #' &  lim x→0 3/&  ∞ 

 limx→1  ∞ 





a.2) lim x→1 NO 

3

3



RS# ≠ 2 K b) Graficar la siguiente función: "#  2 Q'$ 022RS#  2 

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 

c) Estudiar la continuidad de f(x)en x = 2. % "#  ∞2222V>;2 Observando la gráfica, vemos que:lim→$ , ento onces como los lim→$ ) "#  −∞222  límites laterales son diferentes, el límit cuando x tiende a 2 no existe y en consecuencia (2) no es continua.  ' a) el Primer Teorema Fundam mental del Cálculo. Para responder este inciso, ver hoja 243del libro que se usa en clase b) el Primer Teorema Fundamental del Cálculo: Sea F(x) =

∫

x

3 F y F`(3). (1 − t )dt , calcularF(3)

  # # # ? 1 −   . .  K − W  X# − Y − 0  # − 4 0 4 4  0

3 81 69 3− − 4 4 4  1 − 3    −26

T  3 −

∫

c) Calcular las integrales()

T´

7 − x ²dx

∫

) x ln( x²) dx

7 1 1 1 ? #45#$ .#  ZXsin −1 #Y  sin X2 sin −1 #Y\  H 2 2 √7 √7

a1) Se resuelve por tabla.

a2) Integramos por sustitución2

>  #$2 .>  2# .# .>  #.# 2 NO2 ]   Entonces, : # 45#$ .#  : $ .>  ]  B  &  B

  Dada la función y =

4x , se pide realizar un bosquejo de la misma y luego determinar x −1

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 a) Dominio y ceros de la función.

^: ` − a1b

Ceros: para y=0, tenemos:

4# #−1 Para que el resultado del cociente sea igual a 0, entonces el numerador debe ser igual a 0: 0

4#  0 → #  0

La gráfica cortará al eje x, en P(0;0) b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

´ 

4# − 1 − 4#1 # − 1 $

´ 

4# − 4 − 4# # − 1 $

´ 

−4 # − 1 $

Como el numerador es una constante, entonces nunca se hará 0, entonces para ningún valor de x, la derivada es igual a 0. Sin embargo debemos tener en cuenta las restricciones del dominio para armar los intervalos y analizar el signo de la derivada. INTERVALO (8∞;1) (1;∞) La función crece en todo el dominio.

f(x)´ 84 84

x 0 2

f (x) decrece decrece

OBSERVACIÓN: sin analizar los intervalos, vemos que la derivada es siempre negativa ya que el numerador es una constante negativa y el denominador está elevado al cuadrado, por lo tanto es siempre positivo. c) Intervalos de concavidad.

´ 

−4

# − 1 $

´´  −4# − 1'$

´´  −4−2# − 1 '1 ´´ 

8

# − 1

En este caso ocurre lo mismo que con la derivada primera. El numerador es una constante distinto de 0. Analizo los intervalos: INTERVALO (8∞;1) (1;∞)

x 0 2

f (x)´´ 88 8

f(x) ∩ ∪

Gráfica de f(x)

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 

 Determinar, si es posible, el valor de kpara que y = f(x) sea continua en todo R:

x − k si x < − 3 . x +3 si x ≥ − 3 e

f(x) = 

Para que sea continua en x=83,"'  llim →' " "'  ;'(  ;   1 lim% "  lim ; (  1 →'

→

Para que los límites laterales sean iguales, el límite por izquierda debe ser igual a 1(lo mismo que por derecha), entonces: #−e 1 −3 − e  1 e  −1 − 3 e  −4 lim ) "  lim # − e  lim # − −4  lim #  4  lim −3  4  1 →'

→

→

→

→

 El crecimiento de una colonia bacteria na puede ser modelado mediante la ecuación: y =50e0,5t donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde lasiembra de la colonia. a) Indicar el dominio de la función enel contexto del problema. El dominio de la función es (0;∞) ando t tiende a ∞ y cuando t tiende a cero. b) Encuentre el límite de la función cu lim "  ∞ →f

lim "  50 →

c) Indique la tasa instantánea de crecim miento a las 5 horas de la siembra La tasa instantánea de crecimiento es del 50%  "

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 I) Calcular las siguientes integrales: a)

∫

a) Sustituimos:

b) : √ − $



 √ .# 

∫

b) ( 1

3

-

&

3

& 3 &

−

h

h &

&

x

−

x x )dx 4

h &

$

h

$

W  K6# & − W  

i j

3 2 1  62  −  − 61&  −   2,02 10 10 3 &

h &

3

>  2#$ − 3# − 14 .>  4# − 3 .# .>  4# − 3.# 1 4# − 3 .#  ? .>  45|>|  H  45 |2#$ − 3# − 14|  H ? $ 2# − 3# − 14 >

 : 3# '& − .#  K3  $

2

4x − 3 dx 2 x² − 3 x −14



3

&



II) Derivar las siguientes funciones: a) y =

( 2x − 1)4 ln x

b) y = e2 x . ln( x2 )

III. a) Definir derivada de una función en x = 0x. Para responder a este inciso, ver página 96 del libro que se usa en clase. b) Interpretar geométricamente lo que significa f´(x 0 ). Geométricamente, la derivada en un punto, representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. c) Escribir la ecuación de la recta tangente a y = 2x− 2x + 1, en x = 2. ´  2# − 2 ´$  2 $  1 Ecuación de la recta tangente:   2#  ℎ Usamos el punto (2;1) para calcular h: 1  22  ℎ 14ℎ −3  ℎ La ecuación es:   2# − 3

x d) Determinar, si es posible, los valores de x tales que la función:y = x² e ² tenga asíntota horizontal (AH). Para determinar AH debemos plantear el límite cuando x tiende a infinito. lim% "  ∞

→f

lim "  ∞

→f)

La función no posee AH ya que los límites al infinito no tienden a un valor constante. #

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 3 ii) lim 2 x . x→ 3 x − 9 1−

x 2 + 6x a) Calcular los siguientes límites: i) lim 3 x → ∞ 2x − x

i) lim→(f $ - '  0 lim →'f $- '  0 En el infinito domina el polinomio de mayor grado. En este caso el comportamiento de la función en el  infinito tiene el mismo comportamiento que- .  &(8

ii) lim→

C &  'l

'

 lim →

b)La función y =

&(8

C)C

'(

 lim→

'

'(

 lim →



(l





8

x− 1 tiene asíntota vertical (AV) y horizontal (AH), hallar las ecuaciones de las mismas, x 2 −1

justificando claramente su respuesta. D: R8{81;1} AH: planteamos los límites en el infinito #−1 #−1 1 lim  lim  lim 0 →(f # $ − 1 →(f # − 1#  1 →(f#  1 #−1 #−1 1 lim $  lim  lim 0 →'f # − 1 →'f # − 1#  1 →'f#  1

AH: y=0 AV: planteamos los límites según las restricciones del dominio y analizamos si tienden a infinito. #−1 #−1 1 1 lim  lim%  lim%  →% # $ − 1 → # − 1#  1 → #  1 2

lim)

→

#−1 #−1 1 1  lim)  lim)  $ # − 1 → # − 1#  1 → #  1 2

#−1 #−1 1 1  lim%  lim%  lim %  ∞ $ →' →' →' # − 1#  1 # −1 #1 0 #−1 #−1 1 1 lim  lim)  lim  lim  ∞ →') # $ − 1 →') # − 1#  1 →' #  1 →' ) 0

lim

→'%

AV: x=81

c) Calcular los siguientes límites: c1) lim e 3 x

−2

c2 ) lim

x→ − ∞

c 1) lim →f ;'$  lim →f ;f  ∞

x → −5

x2 + 3x − 10 2x 2 + 9x − 5

(' c 2) 2lim →' $& (l'  lim →' $'/$(  lim →' $'/$  &

'$(

'$

 $

La suba de salarios mínimos decrece según la función:  = a) Determinar dominio de la función.

m 

 + , se pide: 

 $ ≠ 0 → ^: ` − a0b

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Departamento de Matemática FBCB (UNL)

  b) Determinar si posee asíntotas horizontales o verticales. Justificar su respuesta AH: planteamos los límites en el infinio 1 1 lim  1  lim  1  lim 0  1  1 →(f  $ →(f ∞ →(f 1 1 lim  1  lim  1  lim 0  1  1 →'f  $ →'f ∞ →'f AH: y=1 AV: planteamos los límites según las restricciones del dominio y analizamos si tienden a in finito. 1 1 llim% $  1  lim% $  1  ∞  → → 0  1 1 liim) $  1  lim) $  1  −∞ → →  → 0 AV: x=0

c) Representar gráficamentela función f.

−#  3 Dada la función: "# = nlog2# − 1 # − 4$

%

;2−3 p # p 1 K ; 2221 q # q. 4 ; 2222222222# r 4



a) Representar Gráficamentela función dada.

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Departamento de Matemática FBCB (UNL)

 

b) Se deben analizar las posibles discontinuidades en x=1 y x=4 Observando la gráfica vemos que los ímites laterales cuando x tiende a 1 son diferentes,uno tiende a 2 y otro a 8∞. Al mismo tiempo en x=4 ocurre algo similar, el límitepor derecha tiende a 0, mientras que por izquierda tiende a log (3). En consecuencia la función es discontinua en x= 1 y en x = 4.  !

(

) 

a) Considerar la siguiente función     =  + 





.

1 1  1  ;$  ≅ 2,097 2$ 4 ; 2 −2 2 2;  ;  2 1  ; $   1  ;   X  Y  $ −  −   $ X1 − Y −  # # # # # # # # 2 ;$ 1 2 " ´$  $ X1 − Y −   − 2 2 4 2 2

a.1) Calcular f(2), f ´(x) y f ´(2).

"´ a.2) lim f ( x) x→0

"$  1  ; $ 

b) Calcular las siguientes integrales: b.1) ∫ x 1 − x ² dx b.1) Sustituimos:

b.2) :25# − #   5#' .# 

lim "  lim1  ;   → → b.2)

1 ∞ 0$

∫   − 

...