Lectura 8, Semana 3, Calculo 1, Politecnico Grancolombiano PDF

Preview

Summary

Lectura 8, Semana 3, Calculo 1, Politecnico Grancolombiano...

Description

C´ alculo 1. Lectura No. 8. Modelos funcionales: Las funciones trigonom´ etricas. Hugo E. Zamora C.

C´ alculo 1. Lectura No. 8. Modelos funcionales: Las funciones trigonom´ etricas.

Preliminares

Secci´ on 1: Introducci´ on Variados problemas pr´acticos han originado nociones matem´ aticas, las cuales posteriormente han evolucionado hacia un conocimiento te´ orico que permite abordar problemas m´ as amplios que los originales. Tal es el caso de situaciones derivadas de la navegaci´ on en cuanto a orientaci´ on y que posiblemente generaron la noci´on de a´ngulo, o la determinaci´on de longitudes, mediante m´etodos indirectos. Se propone a continuaci´ on el estudio del conocimiento que hist´ oricamente ha posibilitado la soluci´on de problemas en los que intervienen conjuntamente a´ngulos y medidas de segmentos. Esta a´rea de las matem´aticas se conoce como trigonometr´ıa, palabra griega que significa “medici´on de tri´angulos ”en alusi´on a la medida de ´angulos y lados de un tri´angulo.

Secci´ on 2: Preliminares 1. Para el estudio que se propone, un ´angulo es la uni´on de dos rayos que tienen v´ertice com´ un, uno de los cuales se denomina lado inicial, y el otro (que resulta de rotar el lado inicial alrededor del v´ertice), se denomina lado final. Si la rotaci´on se hace en el sentido contrario a las manecillas de un reloj, se afirma que el ´angulo est´a orientado positivamente o que es positivo, de lo contrario se asegura que el a´ngulo es negativo. Las figuras 1 y 2 ilustran esta definici´on.

´ positivo Figura 2: Angulo ´ positivo Figura 1: Angulo

´ Figura 3: Angulo negativo

´ negativo Figura 4: Angulo

Un ´angulo se nombra mediante tres letras, una de ellas en el lado inicial, otra en el v´ertice y la tercera en el b lado final. El ´angulo de la figura 1, se nombra ABC. Note que la letra que designa el v´ertice se coloca entre las otras dos letras. Si en un v´ertice u ´ nicamente se marca un ´angulo, ´este se puede nombrar con la letra que b designa el v´ertice. Tal es el caso de la figura 2, donde el a´ngulo se nombra Q. Tambi´en es usual nombrar los ´angulos mediante un n´ umero cerca de su v´ertice o una letra griega. El a´ngulo de la figura 3 se nombra b 1y el ´angulo de la figura 4 se nombra α b. A cada ´angulo orientado se asigna un n´ umero real denominado la medida del ´angulo. Consideramos dos sistemas de medidas de ´angulos, es decir, dos formas de asignar un n´ umero real a un ´angulo. El primero 1

C´ alculo 1. Lectura No. 8. Modelos funcionales: Las funciones trigonom´ etricas.

Preliminares

de ellos se denomina sexagesimal y asume que un ´angulo de un grado se obtiene cuando el lado inicial del ´angulo se hace rotar 1/360 de un a´ngulo de una vuelta. O sea que el a´ngulo de una vuelta mide 360 grados. Se nota 360◦ . El sistema radi´ an considera que un ´angulo central en una circunferencia de radio 1, el cual intercepta un arco de longitud 1, mide 1 radi´an. (Se abrevia 1 rad.). Como un ´angulo de una vuelta intercepta un arco cuya longitud es la longitud de la circunferencia, entonces un a´ngulo de una vuelta mide 2π radianes. Las figuras 5 y 6 muestran un a´ngulo de un radi´an y ´angulos de una vuelta (en los dos sistemas de medida).

´ en radianes. Figura 6: Angulos ´ de una vuelta (en grados) Figura 5: Angulo Mediante las definiciones dadas de los sistemas de medidas, se establece una equivalencia de la medida de un ´angulo en los dos sistemas. Por ejemplo, un ´angulo que en el sistema sexagesimal mide 180◦ , en el sistema radi´an mide π radianes. 2. Un tri´angulo es la uni´on de los segmentos determinados por tres puntos no colineales. Los puntos se denominan v´ertices del tri´angulo y los segmentos se llaman los lados del tri´ angulo. Un tri´angulo se nota mediante los tres v´ertices. En la figura 7 se representa △ABC. En un tri´angulo es usual designar la medida de un lado, mediante una letra min´ uscula, que corresponde al v´ertice opuesto a dicho lado.

Figura 7: Tri´angulo

Figura 8: Tri´angulo rect´angulo

Un tri´angulo rect´ angulo es un tri´ angulo que tiene un ´angulo recto. Los lados que determinan el ´angulo recto 2

C´ alculo 1. Lectura No. 8. Modelos funcionales: Las funciones trigonom´ etricas.

Razones trigonom´ etricas

se denominan catetos y el lado que se opone al a´ngulo recto se llama hipotenusa. En la figura 8 la hipotenusa es OQ cuya medida es p. Si un cateto determina uno de los ´angulos agudos del tri´angulo, se denomina el cateto adyacente al ´angulo. Si el cateto no est´a sobre los lados del ´angulo agudo en cuesti´on, se denomina b cateto opuesto al ´angulo. En la misma figura se aprecia que el cateto adyacente al O es el lado OP de medida b q y el cateto opuesto a O es el lado P Q

Secci´ on 3: Razones trigonom´ etricas Una raz´on es el cociente entre dos cantidades. Una raz´on trigonom´etrica es el cociente entre las medidas de dos lados de un tri´angulo rect´angulo. Se asignan las razones trigonom´etricas a los ´angulos agudos de un tri´angulo rect´ angulo. Por lo tanto, se nombran los catetos de acuerdo con el ´angulo agudo al cual se refiere una raz´on trigonom´etrica. Es decir, se identifican los catetos opuesto y adyacente al a´ngulo para definir cada raz´on trigonom´etrica. Cada raz´ on trigonom´etrica tiene un nombre y una abreviatura. A continuaci´ on se definen las razones trigonom´etricas para el ´angulo agudo Ab del tri´angulo rect´angulo △ABC de la figura 9 y se especifican sus abreviaturas. Se usan convenciones as´ı: H para la hipotenusa, C.O. para el cateto opuesto al a´ngulo, y C.A. para el cateto adyacente al ´angulo. Adem´ as, en adelante nos referimos al ´angulo sin colocar su s´ımbolo sobre la letra del v´ertice. Raz´ on trigonom´etrica. Definici´ on. Seno A =

C.O. H

Coseno A =

C.A. H

Tangente A =

C.O. C.A.

Cotangente A = Figura 9: Razones trigonom´etricas

Secante A =

C.A. C.O.

H C.A.

Cosecante A =

H C.O.

Raz´ on trigonom´etrica. Abreviatura. sin A =

a c

cos A =

b c

tan A =

a b

cot A =

b a

sec A =

c b

csc A =

c a

3.1: Ejemplos 1. Si se conocen las medidas de dos lados de un tri´ angulo rect´ angulo, se pueden determinar las razones trigonom´etricas de cualquiera de sus ´angulos agudos. Por ejemplo, si en el △RST , con ´angulo recto en S se sabe que s = 4 y r = 3, la determinaci´on de los valores de tan T y sec R, se efect´ ua as´ı: Note que para hallar tan R se requiere conocer la medida de t, es decir, del cateto opuesto al ´angulo T . La aplicaci´on del teorema de Pit´agoras en el △RST resuelve la situaci´ on, pues se tiene que s2 = r 2 + t2 . As´ı que 3

C´ alculo 1. Lectura No. 8. Modelos funcionales: Las funciones trigonom´ etricas.

16 = 9 +t2 , de donde t =

√ 7. Como tan T =

t r

entonces tan T =

√ 7. 3

Razones trigonom´ etricas

Y como sec R = st , entonces sec R =

Se acostumbra mostrar estas fracciones en forma racionalizada. As´ı que sec R =

√ 4 7 7

4 . √ 7

Figura 10: Razones trigonom´etricas en △ RST 2. La definici´on de las razones trigonom´etricas permite establecer relaciones entre las razones trigonom´etricas. Por ejemplo, como en el △ABC con ´angulo recto en C, se tiene que sin A =

b a y cos A = . c c

Luego

sin A a/c a = = = tan A. cos A b/c b

As´ı que tan A =

sin A cos A

Las siguientes relaciones entre razones trigonom´etricas se pueden demostrar utilizando las definiciones anteriormente dadas. cot A =

cos A sin A

sec A =

sin2 A + cos2 A = 1

1 cos A

csc A =

tan2 A + 1 = sec2 A

1 sin A

cot A =

1 tan A

1 + csc2 A = cot2 A

3. Las relaciones que se establecen entre a´ngulos y lados de figuras geom´etricas conocidas, permiten determinar las razones de ´angulos de medidas particulares, tales como 30◦ , 45◦ , o 60◦ . A continuaci´on se muestra una forma para encontrar las razones trigonom´etricas de un ´angulo de 45◦ . Las restantes razones trigonom´etricas de un ´angulo de 45◦ se hallan o bien con la definici´on, o bien usando las relaciones entre razones trigonom´etricas. 3.2: Ejercicios 1. Determine la equivalencia en grados de ´angulos que miden

2π 3

rad, rad, − 7π 4

3π rad. 2

2. Determine la equivalencia en radianes de ´angulos que miden 135◦ , −240◦ , 520◦ . Escriba las respuestas en t´erminos de π y en forma de fracciones. 3. Para △XY Z rect´angulo, con ´angulo recto en Y , resolver los siguientes interrogantes. 4

C´ alculo 1. Lectura No. 8. Modelos funcionales: Las funciones trigonom´ etricas.

Razones trigonom´ etricas

En la figura 11 se nota que △ BCD es recto en D y por lo tanto 2 2 2 2 BC = BD +DC .√(Teorema de Pit´agoras). As´ı que BC = L2 +L2 . Es decir que BC = 2L √L 2L

Lo anterior significa que sin 45◦ = forma se muestra que cos 45◦ =

√ 2 2

=

1 √ 2

=

√ 2 . 2

De la misma

.

Figura 11: Razones trigonom´etricas de 45◦ a) Si cos Z = b) Si cot X =

2 3 3 4

determinar cot Z y sin X . determinar sec X y csc Z

4. Demuestre las relaciones entre razones trigonom´etricas indicadas en el numeral 2 de los ejemplos 3.1. 5. Muestre que si M y N son los ´angulos agudos de un tri´angulo rect´angulo △M N P , entonces sin M = cos N y cos M = sin N . Explore la posibilidad que este tipo de relaciones entre razones se extienda a otras razones trigonom´etricas. 6. Determine las restantes razones trigonom´etricas para un ´angulo de 45◦ planteadas en el numeral 3 de los ejemplos 3.1. 7. Utilice la figura 12 para determinar las funciones trigonom´etricas de un ´angulo de 30◦ y un ´angulo de 60◦ . Sugerencia: Determine la medida de la altura AD del △ABC (que es equil´ atero), en t´erminos de la medida del lado L del dicho tri´ angulo. Luego considere el △ABD y use la definici´ on de razones trigonom´etricas.

Figura 12: Razones trigonom´etricas de 30◦ y 45◦ 8. Demuestre que cada afirmaci´ on es verdadera. a) Si A es un ´angulo agudo de un tri´angulo rect´angulo, entonces sin A < 1 y cos A < 1 5

C´ alculo 1. Lectura No. 8. Modelos funcionales: Las funciones trigonom´ etricas. Otras consideraciones sobre a ´ngulos

b) Si B es un ´angulo agudo de un tri´ angulo rect´angulo, entonces sec B > 1 y csc B > 1 9. Los valores de las razones trigonom´etricas de un ´angulo agudo (de cualquiera medida) de un tri´ angulo rect´angulo, se pueden leer en una calculadora con “funciones”. Chequee en una calculadora valores de las razones trigonom´etricas de 37◦ y de 5π rad. 12 10. Resolver un tri´angulo es determinar las medidas de sus a´ngulos y lados con base en datos conocidos y en el uso de razones trigonom´etricas. Resolver los tri´ angulos cuyos datos se dan. a) △KRW es rect´angulo con ´angulo recto en W . Se conoce que K = 22◦ y w = 6. b) △ LSZ es rect´angulo con ´angulo recto en Z. Se sabe que L = π9 rad. y l = 5.

Secci´ on 4: Otras consideraciones sobre a ´ngulos Un ´angulo en posici´ on normal o est´ andar es un a´ngulo cuyo v´ertice se ubica en el origen del sistema de coordenadas cartesianas, su lado inicial est´a sobre el semieje positivo x y el lado final pasa por cualquier punto del plano cartesiano. Si el lado final de un ´angulo en posici´ on normal queda sobre uno de los ejes coordenados del plano cartesiano, rad. son a´ngulos cuadrantales. Las el ´angulo se denomina cuadrantal. Angulos que midan 0◦ ; 270◦ ; πrad.; − 5π 2 figuras 13 a 15 muestran ´angulos en posici´ on normal.

´ ´ positivo en posi- Figura 14: Angulo Figura 13: Angulo negativo en posici´on normal. ci´on normal.

´ cuadrantal. Figura 15: Angulo

Si el lado final de un ´angulo α en posici´ on normal pasa por un punto del plano que tenga coordenadas positivas, se afirma que el ´angulo pertenece al primer cuadrante. Se nota α ∈ IQ. Las figuras 16 a 18 muestran a´ngulos del segundo, tercer y cuarto cuadrante. Es importante caracterizar la pertenencia de un a´ngulo a cada uno de estos cuadrantes.

´ ´ del segundo cua- Figura 17: Angulo Figura 16: Angulo del tercer cuadran- Figura 18: Angulo ´ del cuarto cuadrandrante. te. te. Dos ´angulos en posici´ on normal se denominan coterminales si sus lados finales coinciden 6

C´ alculo 1. Lectura No. 8. Modelos funcionales: Las funciones trigonom´ etricas. Funciones trigonom´ etricas de ´ angulos

Secci´ on 5: Funciones trigonom´ etricas de a ´ngulos La noci´ on de raz´on trigonom´etrica de un ´angulo agudo en un tri´angulo rect´angulo se extiende a trav´es de las funciones trigonom´etricas, de tal forma que se puede determinar el valor de razones con el mismo nombre que las trigonom´etricas para cualquier ´angulo. Para ello se considera un a´ngulo α en posici´ on normal y un punto P (x, y) en el lado final de α. La distancia de P al origen de coordenadas se llama r. (V´ease la figura 19). Note que r 2 = x2 + y2 y que r > 0

Figura 19: Angulo en posici´ on normal Entonces a cada a´ngulo α medido en radianes se asignan n´ umeros reales que toman el mismo nombre de las razones trigonom´etricas y se definen funciones de α as´ı: sin α =

y . r

cos α =

x . r

y x tan α = , con x 6= 0. cot α = , con y 6= 0. x y r csc α = , con y 6= 0. y

sec α =

r , con x 6= 0. x

De la definici´on de las funciones trigom´etricas se derivan algunas afirmaciones. Las funciones trigonom´etricas de un ´angulo no dependen del punto que se escoja en su lado final. Las funciones trigonom´etricas de ´angulos coterminales son iguales. El signo de una funci´on trigonom´etrica de un ´angulo depende de los signos de las coordenadas del punto sobre el lado final del ´angulo. A cada ´angulo θ cuya medida est´e entre 0◦ y 360◦ se asocia un ´angulo del primer cuadrante llamado el ´angulo de referencia (lo denominamos t), de tal manera que si se escoje un punto de coordenadas (x, y) sobre el lado final de t, existir´an puntos sobre el lado final de θ de coordenadas: (−x, y), si θ ∈ IIQ, (−x, −y) , si θ ∈ IIIQ y (x, −y), si θ ∈ IV Q. Esto permite expresar las funciones trigonom´etricas de θ en t´erminos de las funciones trigonom´etricas de t. La tabla muestra la relaci´ on que existe entre el a´ngulo θ y el angulo t. Segundo Cuadrante t = 180 − θ

7

Tercer Cuadrante t = θ − 180

Cuarto Cuadrante t = 360 − θ

C´ alculo 1. Lectura No. 8. Modelos funcionales: Las funciones trigonom´ etricas. Funciones trigonom´ etricas de ´ angulos

5.1: Ejemplos 1. Si P (−1, 3) es un punto en el lado final del a´ngulo β, para determinar tan β y sec β, se usan las definciones de las funciones trigonom´etricas. As´ı que tan β = yx , es decir tan β = − 31 = −3. Para hallar sec β es necesario √ conocer √el valor de r. Como r 2 = x2 + y2 , se tiene que r 2 = (−1)2 + 33 , es decir que r = 10, de donde √ 10 = − 10 sec β = −1 2. Las funciones trigonom´etricas para ´angulos cuadrantales, se identifican a partir de la definici´ on. Para hallar las funciones trigonom´etricas de 270◦ , basta tomar un punto en el lado terminal del a´ngulo. Por ejemplo si se toma P (0, −3), se sigue que r = 3, as´ı que sin 270◦ = −1 y cos 270◦ = 0. Las dem´as funciones trigonom´etricas (si existen) se hallan con la definici´on. N´otese que tan 270◦ no existe. (¿Por qu´e?) 3. Las relaciones que se establecieron entre razones trigonom´etricas de un ´angulo agudo, son v´alidas para funciones trigonom´etricas de cualquier ´angulo. Estas igualdades se denomina identidades, pues son ciertas para cualquier valor que admita la variable (en este caso el ´angulo). Veamos c´omo se demuestra que sin2 α + cos2 α = 1 para todo ´angulo α sin2 α + cos2 α =

x2 x2 + y 2 r2 y2 =1 + = = r2 r2 r2 r2

N´otese que se ha usado la afirmaci´on r 2 = x2 + y2

5.2: Ejercicios 1. Si α es un ´angulo en posici´ on normal, tal que α ∈ IV Q y se conoce que cot α = − 23 , determinar los valores de sin α; tan α y sec α. 2. Demuestre que las funciones trigonom´etricas de un ´angulo α no dependen del punto que se escoja en su lado final. Sugerencia: Considere los puntos P (x, y) y Q(x1 , y1 ) en el lado final de α y utilice propiedades de semejanza de tri´angulos para comparar una funci´on definida con los dos puntos dados. 3. Determine dos ´angulos coterminales, (uno positivo y otro negativo) con ´angulos de medidas 118◦ ; -62◦ ; − 19π . Describa el procedimiento utilizado. 4

7π 6

;

4. Se ha afirmado que los signos de las funciones trigonom´etricas de un ´angulo en posici´ on normal, dependen del signo de las coordenadas del punto que se escoja sobre su lado final. Por ejemplo, las seis funciones trigonom´etricas de un ´angulo del primer cuadrante son positivas, pues cualquier punto sobre el lado final del ´angulo tiene coordendas positivas. Determine qu´e funciones trigonom´etricas son positivas en cada uno de los dem´as cuadrantes. Explique su razonamiento. Si θ ∈ IIIQ, determine el signo de la expresi´on

sin θ cos θ − sec θ

5. Considere los ´angulos cuadrantales de medidas 0◦ ; 90◦ ; 180◦ ; 270◦ y 360◦ . Determine las funciones trigonom´etricas (si existen) de estos a´ngulos. Muestre su razonamiento. 6. La noci´ on de ´angulo de referencia se asoci´ o con un ´angulo entre 0 y 2π. Explore una forma de asociar un ´angulo de referencia t en el primer cuadrante, (0 < t < 90), con un ´angulo θ, tal que θ > 360 o θ < 0. Luego, determine el ´angulo de referencia t para ´angulos de 700◦ ; -1230◦ ; 47π y − 19π 2 3 7. Si tan α = − 57 y cos α < 0, determine los valores de las dem´as funciones trigonom´etricas de α 8

C´ alculo 1. Lectura No. 8. Modelos funcionales: Las funciones trigonom´ etricas. Funciones trigonom´ etricas de ´ angulos

8. Determine si cada afirmaci´on es posible o imposible. Escriba su razonamiento. No use calculadora. a) tan β = 4800 b) sin β = − 13 y csc β = 3

c) cot θ = 7 y csc θ = 5

9. Si se determina el ´angulo de referencia de un ´angulo, es posible expresar sus funciones trigonom´etricas en funci´on de dicho ´angulo. Por ejemplo: Como el a´ngulo de referencia de θ = 240◦ es t = 60◦ , se afirma que cos 240◦ = − cos 60◦ = − 12 . Explique el porqu´e de esta u ´ ltima afirmaci´on. Luego, exprese los valores pedidos, en t´erminos del ´angulo de referencia de cada ´angulo. (Use la calculadora u ´ nicamente para confirmar la validez de su razonamiento) Hallar los valores de sin 29π , sec(−39π), cot(−8590)◦ y csc 640◦ 4 10. P (x, y) es un punto sobre el lado final del ´angulo α que pertenece al tercer cuadrante. Determine los valores de tan α y sin α, si se conoce que x = 13 y

9...