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Capítulo 8 Implicaciones de un horizonte de planeación in…nito

INTRODUCCIÓN En este capítulo extenderemos el modelo dinámico del capítulo anterior a un contexto en el que no existe un período terminal.

En otras palabras, supondremos que el

horizonte de planeación es in…nito. Existen por lo menos tres razones para estudiar este tipo de modelos. La primera es que en los modelos de horizonte …nito, la cercanía al período terminal altera los patrones de comportamiento de una forma atípica que no corresponde con la realidad. La segunda es que, como discutiremos a lo largo de este capítulo, la estructura matemática de estos modelos permite reinterpretarlos como modelos de horizonte …nito, pero donde el período terminal es desconocido. La tercera razón es que, aunque un horizonte de planeación da lugar a algunas complicaciones técnicas, también permite utilizar técnicas que facilitan enormemente el análisis y el cómputo de las variables de equilibrio. Al ser el horizonte de planeación in…nito, las preferencias de los consumidores quedan de…nidas sobre canastas de consumo con una in…nidad de componentes. Aún en el caso sencillo que discutimos en el capítulo anterior, donde las preferencias podían ser representadas por una función aditiva en el tiempo, al sumar ahora sobre una in…nidad de períodos tendremos que imponer supuestos que nos garanticen que la suma de una in…nidad de términos resulte en un valor …nito. Esto es importante ya que si la utilidad de algunas sendas de consumo fuera in…nita, la función de utilidad

0

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2011, Alejandro Hernández Delgado,

1

Instituto Tecnológico Autónomo de México

Capítulo 8

2

dejaría de ser una representación válida de un sistema de preferencias. Una complicación similar surge al considerar la valuación a precios de mercado de una canasta de consumo o un vector de dotaciones con una in…nidad de componentes. El valor de mercado de dicho vector de bienes es una suma in…nita de precios por cantidades. Nuevamente va a ser crucial asegurarnos que dicha suma resulta en una cantidad …nita.

8.1. DOTACIONES Y PRECIOS Supondremos, como en el capítulo anterior, que los individuos reciben cada período i

una dotación yt .

Técnicamente, la diferencia respecto al capítulo anterior es que el

vector de dotaciones de cada individuo tiene una in…nidad de componentes

i

(y1i; y2 ; : : :).

En principio, nos gustaría permitir que el per…l de dotaciones tomara cualquier forma, i

con yt 

0.

No obstante, como veremos más adelante, el modelo puede enfrentar

problemas si las dotaciones crecen a un ritmo elevado que persiste inde…nidamente. Al igual que el modelo con horizonte …nito, los individuos van a poder ahorrar o pedir prestado a la tasa de interés de mercado rt . Como antes, de…niremos los precios en valor presente como p1

=1

pt

=

De…nimos la ciones:

1 (1 + r1 )(1 + r2 )    (1 + rt1 )

riqueza

;

para todo t >

1:

del individuo i como el valor presente de su per…l de dota-

X 1

i

pt yt:

=1

t

Como se observa, nuestra de…nición de riqueza incorpora una suma con una in…nidad de términos.

Nos tenemos que asegurar que dicha suma sea …nita.

De lo contrario,

el modelo perdería el sentido económico. No tendría mucho caso tratar de de…nir el comportamiento de un individuo in…nitamente rico. El concepto de escasez desaparecería. Para evitar esto podríamos imponer supuestos sobre el per…l de dotaciones o sobre el per…l de precios en valor presente. Lo primero es algo que en ocasiones podremos hacer. Se trata de un supuesto legítimo sobre variables primitivas del modelo.

Intercambio intertemporal con horizonte in…nito

3

Dado que los recursos naturales son …nitos, limitar el crecimiento de las dotaciones no parece ser demasiado grave.

Por otro lado, no resultaría conveniente imponer

supuestos sobre la trayectoria de los precios en valor presente, ya que bajo un análisis de equilibrio, dichos precios no son exógenos. Su valor responde a las preferencias de los individuos y a la disponibilidad de recursos. En la última sección de este capítulo veremos que las condiciones de equilibrio son tan poderosas, que bajo la familia de preferencias que hemos utilizado, el valor de equilibrio de la riqueza es …nita, independientemente de lo rápido que crezcan las dotaciones. Sin necesidad de entrar en detalles técnicos podemos dar una interpretación intuitiva a este resultado. Si en un futuro distante T la dotación agregada de la economía es muy grande, el valor de equilibrio de dichos bienes sería muy bajo, ya que, con relación al presente, serían bienes muy abundantes. Si p aún si y

T

T

es pequeño, el valor de la dotación p

T yT

puede ser manejable,

es grande. Habremos de dar un tratamiento formal a este resultado.

8.2 PREFERENCIAS Y MAXIMIZACIÓN DE UTILIDAD

Al ser el horizonte in…nito, los planes de consumo son vectores del tipo con un número in…nito de componentes.

La generalización de las preferencias es

en principio inmediata, donde ahora la función de utilidad U número in…nito de variables.

(c1 ; c2 ; : : :)

i

es una función de un

Manteniendo el supuesto de aditividad en el tiempo,

X

podemos representar la función de utilidad como

1

U

i (c1 ; c2 ; : : :) =

t=1



t1 u (c ); i t

donde suponemos que la función real (de una sola variable) u

i

mide la satisfacción

inmediata de consumir y es por tanto una función creciente y cóncava.

Si bien la

función de utilidad anterior es una generalización evidente de las preferencias cuando el horizonte es …nito, debemos tener cuidado de algunos aspectos técnicos. Por ejemplo, nótese que ahora la función de utilidad involucra una in…nidad de términos. En principio, si sumamos una in…nidad de términos, la suma podría no ser …nita. Si la utilidad de dos planes de consumo distintos es in…nita, no es posible concluir, a partir de la función de utilidad, cuál de éstos es mejor (¡incluso si uno de ellos ofrece el doble de consumo que el otro en cada período!).

Técnicamente, esa es la importancia del

factor de descuento  , ya que si bien la suma involucra una in…nidad de términos,

Capítulo 8

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los ‡ujos de utilidad de períodos distantes, descontados al presente, son cada vez menores. Si bien esta no es una condición su…ciente para asegurar que la suma de ‡ujos de utilidad sea …nita, sí juega un papel muy signi…cativo. Una vez hecha esta aclaración sobre las preferencias, podemos pasar a describir las oportunidades de intercambio de los individuos, en donde encontraremos los mayores desafíos para la modelización. En principio, podemos importar del modelo con horizonte …nito la restricción presupuestaria que los individuos deben cumplir en cada período: ct

+ bt =

i

yt

+ (1 + rt1 )bt1;

y preguntarnos si la maximización de la función de utilidad anterior, sujeta a una sucesión de restricciones presupuestarias como la anterior, basta para de…nir correctamente el problema del consumidor.

A partir de lo que aprendimos del modelo

de horizonte …nito, sabemos que estas restricciones no son su…cientes para plantear correctamente el problema del consumidor. En aquel caso era necesario exigir que bT

 0. No podemos imponer la misma restricción cuando el horizonte es in…nito, ya

que por de…nición no hay período terminal. Sin embargo, como lo muestra el siguiente ejemplo, es necesario limitar a través de otro mecanismo la posibilidad de endeudarse y nunca pagar las deudas.

Ejemplo (Esquema de Ponzi): Supongamos que el individuo contrata una unidad de deuda en el período inicial, con la …nalidad de tener un mayor consumo en

= 1.

t

Su plan de consumo y

de …nanciamiento está dado por los siguientes vectores: (c1 ; c2 ; c3 ; c4 ; : : :) = (y1i + 1; y2i ; y3i ; y4i ; : : :); mientras que (b1 ; b2 ; b3 ; b4 ; : : :) = ( r1 )(1 + r2 )(1 + r3 ); : : :).

1 (1+ 1 ) (1+ 1 )(1+ 2 ) (1+ ;

r

;

r

r

;

Es decir, en el período inicial contrata deuda que nunca paga,

ya que del período 2 en adelante el individuo consume su dotación. Como puede apreciarse, estos planes de consumo y de tenencia de bonos satisfacen en todo momento las restricciones presupuestarias, ya que ct

+ bt =

i

yt

+ (1 + rt1 )bt1 :

Sin embargo, ello no puede ser una descripción correcta de las oportunidades de intercambio del individuo, ya que si esto fuera factible, por qué no contratar el doble de deuda, o el triple, o diez veces más y obtener en

t

= 1 un consumo tan alto como se

quiera sin jamás pagar dicha deuda. Como puede apreciarse, la forma de implementar

5

Intercambio intertemporal con horizonte in…nito

este ejemplo es simplemente re…nanciando la deuda período tras período. Evidentemente, la deuda sigue un comportamiento explosivo, pero como en todo momento la deuda es …nita y cumple con la restricción presupuestaria del período, la descripción que hasta ahora hemos hecho del modelo no elimina este tipo de situaciones. A este tipo de estructuras de …nanciamiento se les conoce como “esquemas de Ponzi” en honor de un célebre defraudador bostoniano de principios del siglo XX.



El esquema de Ponzi del ejemplo anterior era posible porque la deuda del individuo podía crecer sin límites. Tal parece que para de…nir correctamente el problema del consumidor, lo que se requiere es limitar el comportamiento explosivo de las deudas. Esta observación es correcta; la pregunta es cómo hacerlo. tanto arti…cial, es imponer una cota uniforme a las deudas, digamos

K

Una manera, un

b  K , donde t

es un número positivo grande. En principio ello podría funcionar, sin embargo,

esta estrategia puede acarrear problemas técnicos. Para empezar, la solución al modelo debería plantarse a través de condiciones de Khun-Tucker, con un multiplicador adicional para cada período.

t

Si las carteras óptimas satis…cieran

b > K , t

para

todo , las restricciones no serían activas y el multiplicador asociado valdría cero, lo que no alteraría en análisis. Sin embargo, si alguna restricción fuera activa, es decir

b = K t

(por ejemplo, como resultado de que las dotaciones iniciales de un indi-

viduo fueran muy pequeñas y las dotaciones futuras muy grandes), las ecuaciones de Euler se verían afectadas por la presencia del nuevo multiplicador que no es cero. En términos intuitivos, el límite al endeudamiento que de forma ad-hoc se impuso sobre el modelo podría impedir que un individuo, que no pretende seguir un esquema de Ponzi, lograra contratar sus niveles óptimos de deuda.

T , el monto de la deuda (en valor absoluto) es superior al valor presente descontado (al período T ) de todas Otra posibilidad es reconocer que si en un momento dado

las dotaciones futuras, claramente el individuo habría caído en una situación de bancarrota, ya que ni aunque dedicara íntegramente sus dotaciones futuras para pagar su deuda lo lograría (lo que además lo dejaría con cero consumo). La manera de implementar este concepto se logra mirando las primeras (donde

T

T

restricciones presupuestarias

es arbitrario) y realizar el proceso iterativo de despejar en cada restric-

ción los bonos del lado derecho de la restricción y sustituyendo este valor en el lado izquierdo de la restricción del período anterior, empezando con la restricción en

t=T

Capítulo 8

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y terminando con la restricción en

t

= 1 (éste fue el proceso que utilizamos en el

modelo de horizonte …nito para expresar la restricción presupuestaria intertemporal). En este caso, este proceso de sustituciones sucesivas da como resultado

X T

t=1

c

(1 + r1 )

X T

t

   (1 +

r

t1 )

=

t=1

i t

y

(1 + r1 )

   (1 +

r

t1 )

 (1 +

b

r1 )

T

   (1 +

r

T 1 )

:

El último término no aparecía en el modelo de horizonte …nito (con período terminal T)

porque por de…nición

b

T = 0. Sin embargo, cuando el horizonte es in…nito, no

hay razón para suponer que

b

T tome algún valor en especí…co (ni siquiera podemos

asignarle el signo), ya que el período

T

en cuestión fue elegido de forma arbitraria.

No obstante, podemos interpretar fácilmente los elementos de la ecuación anterior. El lado izquierdo es el valor presente del ‡ujo de consumo durante los primeros períodos.

T

El primer término del lado derecho es el valor presente de la dotación,

a lo largo de los primeros

T

períodos. Si

b

T

<

0, la ecuación anterior dice que el

valor presente del ‡ujo de consumo en los primeros

T

períodos excedería el valor

presente de las dotaciones. Si bien esto no tiene nada de patológico a lo largo de los primeros períodos, resulta evidente que no puede ser una situación sostenible. De hecho, la representación de las oportunidades del consumidor a través de la restricción intertemporal es clara, el ‡ujo de consumo a lo largo de toda la vida, en valor presente, no puede exceder el valor presente de las dotaciones:

X 1

t=1

c

(1 + r1 )

t

   (1 +

r

t1

 )

X 1

t=1

y

(1 + r1 )

i t

   (1 +

La manera de lograr esto a partir de la ecuación anterior, es

r

t1 )

:

imponer,

en adición a

las restricciones presupuestarias de cada período, que lim

T !1 (1 + r1 )

b

T

   (1 +

A esta última expresión se le conoce como la

r

T 1 )

0

:

restricción de no Ponzi.

Esta condición

nos dice que el valor presente de las deudas debe converger a cero. Esto no signi…ca que las deudas deban converger a cero. Como veremos en el próximo ejemplo, cuando el horizonte es in…nito, es posible tener esquemas de …nanciamiento que mantengan una situación perenne de endeudamiento y que, sin embargo, sean consistentes con la restricción de no Ponzi.

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Intercambio intertemporal con horizonte in…nito

Ejemplo (Deuda a perpetuidad): Supongamos que el individuo contrata una unidad de deuda en el período inicial, con la …nalidad de tener un mayor consumo en

= 1.

t

Su plan de consumo y de

…nanciamiento está dado por los siguientes vectores: (c1 ; c2 ; c3 ; c4 ; : : :) = (y1i + 1; y2i i

r1 ; y3



i

r2 ; y 4



r3 ; : : :);

mientras que (b1 ; b2 ; b3 ; b4 ; : : :) = (

1 1 1 1 ;

;

;

; : : :).



Es

decir, en el período inicial contrata deuda cuyo principal nunca paga (mantiene un endeudamiento perenne

bt

=

1).

Sin embargo, durante cada período

t

 2 destina

parte de su dotación para pagar los intereses que se van generando. Claramente, este esquema satisface ct

+ bt =

i

yt

+ (1 + rt1 )bt1 ;

y además, si las tasas de interés son positivas en todo momento, también satisfacen la condición de transversalidad, ya que bT

lim

T

!1 (1 + r1 )

   (1 +

= lim

rT 1 )

T

!1 (1 + r1 )

1    (1 +

rT 1 )

= 0:

En este ejemplo, aunque el principal nunca se paga, el individuo no consume más de lo que sus recursos le permiten, ya que al cumplir con la condición de transversalidad, automáticamente cumple con su restricción presupuestaria intertemporal.



En resumen, cuando el horizonte de planeación es in…nito, el problema del consumidor queda dado por:

X 1

max(c1 ;:::;b1 ;:::)



1

t

u i (c t )

=1

t

s.a. ct

+ bt =

limT !1

i

yt

+ (1 + rt1 )bt1 ; bT

(1 + r1 )(1 + r2 )

t

   (1 +

= 1; 2; : : :

rT 1 )

0

;

donde además b0 = 0. Alternativamente, la restricción de no Ponzi nos permite expresar el problema del consumidor a partir de la restricción presupuestaria intertemporal:

X 1

max(c1 ;:::;b1 ;:::)



1

t

=1

t

s.a.

P

=1

P 1

1

t

u i (c t )

pt c t

=1

t

i

pt y t ;

Capítulo 8

8

donde p1

=1

pt

=

1 (1 + r1 )(1 + r2 )

   (1 +

rt1 )

:

Desde el punto de vista de las decisiones del consumidor, la restricción de no Ponzi es difícil de manejar y difícil de veri…car. Por ello, investigadores han propuesto otras formas de limitar el endeudamiento de sus agentes. En este curso, el cumplimiento de la restricción no va a ser un problema, ya que en equilibrio (al menos con agente representativo), la condición de vaciado de mercado implica que t,



bt

= 0 para todo

por lo que la restricción de no Ponzi se cumple automáticamente. Su presencia

latente, no obstante, es fundamental para que el problema del consumidor esté bien de…nido. Una vez que hemos de…nido correctamente el problema del consumidor, la siguiente pregunta es cómo de…nir las condiciones necesarias y su…cientes para un óptimo. Tenemos dos posibilidades: trabajar con el problema del consumidor con restricciones período a período, donde la restricción de no Ponzi aparece explícitamente, o trabajar con la restricción presupuestaria intertemporal. El segundo problema es más sencillo, ya que se puede abordar con técnicas convencionales de Khun-Tuc...