Capitulo 8 Curvas planas PDF

Preview

Summary

Apuntes de Algebra y Geometría...

Description

Contenido 8 Curvas planas 8.1 Curvas en forma param´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Tangente y normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Recta tangente. Puntos ordinarios y singulares . . . . . . 8.2.2 Recta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Curvas planas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Cambio de coordenadas polares a cartesianas y viceversa 8.4 Pendiente y rectas tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

1 1 2 2 4 5 5 6 6

Universidad de C´adiz

Departamento de Matem´aticas

ii

Cap´ıtulo 8 Curvas planas Concepto de curva plana.- Expresiones de una curva: param´etrica, expl´ıcita e impl´ıcita.Tangente y normal en un punto de una curva.- Puntos singulares y puntos ordinarios.Curvas planas en coordenadas polares.

8.1

Curvas en forma param´ etrica

Sea I = (a, b) un intervalo de R, y sean f y g funciones continuas de t en el intervalo I, se llama curva plana al conjunto de pares (f (t), g (t)). Para cada valor de t obtenemos un punto de coordenadas (x, y), definidas por (x = f (t), y = g (t)) Se llaman ecuaciones param´etricas de la curva al par formado por  x = f ( t) , t∈I y = g(t) Por ejemplo 1.



x = r cos t t ∈ [0, 2π ] y = r sen t

representa una circunferencia centrada en el origen y de radio r 2.

t2 t−1 t   y = 2 t −1 Observamos que no hemos indicado el intervalo de variaci´on de t, cuando esto ocurre se entiende que es el mayor intervalo en el que tengan sentido las dos ecuaciones. En este caso, la curva no est´a definida para t = 1, t = −1    x =

Las curvas en forma expl´ıcita, y = f (x), pueden considerarse com un caso particular de la forma param´etrica, ya que basta poner  x = t y = f ( t) 1

Universidad de C´adiz

Departamento de Matem´aticas

Algunas veces se puede pasar de las ecuaciones param´etricas a la ecuaci´ on expl´ıcita, el proceso se llama eliminaci´ on del par´ ametro, y consiste en despejar t en una ecuaci´on y despu´es sustituir en la otra, por ejemplo: 1.

Despejamos t en la ecuaci´ on de x x= √



x = y =

√1 t+1 t t+1

1 1 1 − x2 ⇒ x2 = ⇒t= x2 t+1 t+1

sustituimos el valor de t en la ecuaci´on de la y, obteniendo, despu´es de operar y = 1 − x2 2.



x = 4 cos t t ∈ [0, 2π ] y = 5 sen t

despejamos cos t en la primera, sen t en la segunda, elevamos al cuadrado y sumamos, obteniendo x2 y2 =1 + 16 25 que es la ecuaci´ on de una elipse. Para representar gr´ aficamente curvas definidas en forma param´etrica podemos hacer una tabla de valores, d´andole valores a t y calculando las coordenadas de cada punto (x, y). Para poder tener m´as informaci´ on estudiaremos las simetr´ıas, as´ıntotas, rectas tangentes y normales.

8.2 8.2.1

Tangente y normal Recta tangente. Puntos ordinarios y singulares

Dada una curva



x = x(t) y = y(t)

t∈I

para t = t0 , obtenemos un punto de la curva P = (x(t0 ), y(t0 )),y queremos obtener la recta tangente a la curva en dicho punto. Necesitamos conocer la pendiente y para ello, si en un entorno de t0 podemos expresar y como funci´on de x, podemos hacer  dy    y ′ (t0 ) dy dt t=t0  =  dx = ′ m = y ′ (x0 ) = x ( t0 ) dx x=x0 dt t=t0 con lo cual podemos escribir la ecuaci´ on en forma expl´ıcita de la recta tangente a la curva y ′ (t0 ) en el punto P como la recta que pasa por dicho punto y tiene por pendiente, m = ′ , x (t0 ) es decir y ′ (t0 ) y − y(t0 ) = ′ (x − x(t0 )) x (t0 ) 2

´ Algebra

Escuela Superior de Ingenier´ıa

Tambi´en la podemos escribir como x − x(t0 ) y − y(t0 ) = ′ x′ (t0 ) y (t0 ) cuando y ′ (t0 ) = 0, x′ (t0 ) 6= 0, se tiene un punto de tangente horizontal de ecuaci´ on y − y(t0 ) = 0 cuando y ′ (t0 ) 6= 0, x′ (t0 ) = 0, se tiene un punto de tangente vertical de ecuaci´ on x − x(t0 ) = 0 cuando y ′ (t0 ) = 0, x′ (t0 ) = 0, se tiene lo que se llama un punto singular . Veamos algunos ejemplos: 1. Calcula la recta tangente a la curva ( x =

√

t 12 y = t −1 3

en el punto correspondiente a t = 9. El punto es P = (3, 26) y para calcular la pendiente hacemos dy 2 3 t 4 dy 3 dt = t2 = = 1 dx 3 dx 1 − dt t 2 2 para t = 9 es m = 36, con lo que la recta tangente es y − 26 = 36(x − 3) 2. Calcula la recta tangente a la curva  x = 2t − π sen t y = 2 − π cos t en los puntos correspondientes a t = ± 2π . Tanto para t = 2π como para t = − π2 , obtenemos el mismo punto P = (0, 2). Para calcular la pendiente de la recta tangente hacemos dy dy π sin t = dt = dx dx 2 − π cos t dt π π π t = − ⇒ m = − ⇒ recta tangente y − 2 = − x 2 2 2 π π π t = ⇒ m = ⇒ recta tangente y − 2 = x 2 2 2 3

Universidad de C´adiz

Departamento de Matem´aticas

Observamos que hay dos rectas tangentes en el mismo punto, es debido a que la curva se corta a si misma en ese punto que se llama punto doble de cruzamiento

3. Se llama cicloide a la trayectoria que recorre un punto P de una circunferencia de radio a, cuando esa circunferencia rueda sobre una recta en el plano, sus ecuaciones param´ etricas son: 

x = a(θ − sin θ ) y = a(1 − cos θ)

Supongamos a = 21 , para calcular la recta tangente en los puntos correspondientes a θ = π y a θ = 2π,es decir en los puntos P (2π, 1), Q(π, 0), hemos de calcular las pendientes dy dy sen θ = dt = dx 1 − cos θ dx dt θ=π⇒m=

0 = 0 ⇒ recta tangente: 2

y−1= 0

es una recta horizontal. θ = 2π ⇒ m =

8.2.2

0 ⇒ el puntoQ(π, 0)es un punto singular 0

Recta normal

Dada una curva



x = x(t) y = y(t)

4

t∈I

´ Algebra

Escuela Superior de Ingenier´ıa

y sea P = (x(t0 ), y(t0 )) un punto de ella obtenido para t = t0 , la recta normal en dicho punto se define como la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto. Si la ecuaci´ on de la recta tangente en el punto P es x − x(t0 ) y − y(t0 ) = ′ x′ (t0 ) y (t0 ) la pendiente de la recta normal ser´a inversa y de signo contrario que la pendiente de la recta tangente, por tanto la ecuaci´ on de la recta normal ser´ a x − x(t0 ) y − y(t0 ) =− ′ ′ y ( t0 ) x (t0 )

8.3

Curvas planas en coordenadas polares

Definition 8.3.1 Las coordenadas polares de un punto P del plano son un par (ρ, θ) donde ρ es la distancia a un punto fijo O, llamado polo o tambi´en origen y θ es el ´angulo orientado en sentido contrario al de las agujas de un reloj, desde una semirrecta fija, llamada eje polar hasta el segmento OP .

A la vista de la definici´ on, es evidente que los infinitos pares (ρ, θ + 2Kπ), con K ∈ Z, representan el mismo punto

8.3.1

Cambio de coordenadas polares a cartesianas y viceversa

Si tomamos como polo el origen y como eje polar el semieje OX, se verifica que: 1. x = ρ cos θ, y = ρ sen θ p 2. ρ = x2 + y 2 , θ = arctan xy

Definition 8.3.2 Una funci´on ρ = f (θ ), definida en un intervalo I ⊂ R representa una curva que se define como el lugar geom´etrico de los puntos cuyas coordenadas polares (ρ, θ) estan ligadas por la expresi´on ρ = f (θ ), que se llama ecuaci´ on polar de la curva Ejemplo 8.3.3.1

La curva ρ = 1 + 2 cos θ tiene por representaci´ on gr´ afica

• Ejemplo 8.3.3.2 Las curvas de la forma ρ = a cos nθ, se llaman rosas de n p´etalos si n es impar y de 2n p´etalos si n es par.

5

Universidad de C´adiz

Departamento de Matem´aticas

1. ρ = 2 cos 3θ

2. ρ = 2 cos 4θ

• Una curva definida en polares, ρ = f (θ), se puede considerar como un caso particular de una curva definida en param´etricas, basta considerar como par´ ametro a θ y escribir  x = f (θ) cos θ y = f (θ) sen θ

8.4

Pendiente y rectas tangentes

Suponiendo que ρ = f (θ) es la ecuaci´on polar de una curva y que f es una funci´ on derivable, podemos utilizar los resultados anteriores y calcular las derivadas como si estuvieramos en param´etricas, y as´ı:  dy f (θ) cos θ + f ′ (θ) sen θ dy x = f (θ) cos θ ⇒ = = dθ dx y = f (θ) sen θ −f (θ) sen θ + f ′ (θ) cos θ dx dθ suponiendo que dx 6= 0 en el punto (ρ, θ). dθ Podemos hablar de tangentes verticales: 6= 0 0, dy dθ

dy dθ

= = 0, dx 6= 0 y de tangentes verticales: dx dθ dθ

En el caso en que las dos derivadas sean nulas a la vez no podemos afirmar nada sobre las rectas tangentes.

8.5

Problemas

1. Calcula los puntos de tangente horizontal y vertical de la curva  x = t21+1 y = t22t+4 6

´ Algebra

Escuela Superior de Ingenier´ıa

2. Calcula las rectas tangentes a la curva en los puntos correspondientes a t = 2π, y a t = 3π 2  x = 2 cos t y = sen 2t

3. Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la curva  x = t2 − t + 2 y = t3 − 3t en el punto correspondiente a t = −1

4. Encuentra, si los hay, todos los puntos de tangencia horizontal o vertical (a) 

x = 4 + 2 cos θ y = −1 + sen θ

(b) 

x = t+1 y = t2 + 3t

7

Universidad de C´adiz

Departamento de Matem´aticas

(c) 

x = cos2 θ y = cos θ

5. Convertir las coordenadas rectangulares en polares (a) x2 + y 2 = 16 (b) xy = 5 (c) y 2 = 5x (d) 2x + 3y − 4 = 0 6. Convertir las coordenadas polares en rectangulares (a) ρ = 4 sen θ (b) ρ = 1 − 2 sen θ (c) ρ =

1 1−cos θ

7. Calcula las tangentes horizontales y verticales a la gr´ afica de la cardioide ρ = 2(1 − cos θ) 8

´ Algebra

Escuela Superior de Ingenier´ıa

8.

9...