Capitulos 9-11 BFMA Ejercicios resueltos PDF

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CAPÍTULO 9 Campo magnético ~ ejerce sobre una carga q que se mueve con velocidad ~ Un campo magnético B v una fuerza dada por



(1) donde denota el producto vectorial. Por lo tanto, la fuerza es perpendicular a la trayectoria de la carga y no realiza trabajo sobre la misma. Si las cargas que se mueven pertenecen a un conductor, la fuerza del campo magnético sobre las cargas se traduce en una fuerza neta sobre el conductor. Como se ha estudiado en el capítulo 7, si por un conductor rectilíneo de longitud l y sección S circulan cargas q a una velocidad v; la intensidad de la corriente es I = qnvS; siendo n el número de cargas por unidad de volumen. Así, el número total de cargas en el conductor es nS l y la fuerza total sobre ellas será   ~ F



~ F

= (nS l )

=

q~ v

q~ v



~ B

~ B

=

I (~ l



~) B

donde ~l es un vector de longitud l dirigido a lo largo del conductor. (Recordemos que vectorial. Ver sección 2.1 de la Unidad Didáctica.)

 signica aquí producto

Ejercicio 1.- Una varilla metálica de longitud l = 1 m se mueve en un plano YZ a una velocidad ~v = v~ey de ~ = B~ módulo v = 10 m/s. En la región en que se mueve la varilla existe un campo magnético B ex ; de módulo B = 8 103 T: Calcular la diferencia de potencial entre los extremos de la varilla en los casos: a) la varilla forma un ángulo  = 0 con el eje Z; b) la varilla forma un ángulo  = 60o con el eje Z. Solución: ~ = Sobre cada carga q de la varilla actúa una fuerza magnética F~m = q~v B qvB~ ez , con una componente qvB cos  a lo largo de la varilla. Si entre los extremos de la varilla hay una diferencia de potencial V; habrá en cada punto de la varilla un campo eléctrico E = V =l dirigido a lo largo de la varilla. En la situación de equilibrio estas fuerzas se cancelan y







q

de modo que V

V

= 0; 08

l

=

qvB

)

cos 

V para  = 0 y V

V =

= 0; 04



cos  = 8 10 = 60o .

vBl

V para 



2 cos  V

Ejercicio 2.- Una corriente de 2,0 A circula por una espira cuadrada de lado l = 20 cm. La espira está colgada en un campo magnético horizontal de módulo B = 0; 1 T. a) Encontrar la fuerza que actúa sobre los 4 lados de la espira cuándo la dirección normal al plano de la misma forma un ángulo de 45 con la dirección del campo. b) Calcular el momento M de las fuerzas respecto a un eje vertical que pasa por el centro de la espira. Solución: La situación que describe el enunciado se muestra en la Figura 9.6 dela Unidad  Didáctica, y una explicación ~ ~ ~ se da en las páginas 208-9. La fuerza magnética sobre un conductor es F = l I B : Las fuerzas sobre los lados horizontales de la espira son verticales, del mismo valor pero de sentido opuesto en cada lado. Por lo tanto, estas fuerzas non da lugar a ningún momento. Las fuerzas sobre los lados verticales tienen un valor Fvert = lI B y sentidos opuestos, pero sus líneas de aplicación están separadas una distancia d = l cos 45 = l 2=2: Por lo tanto, el momento de las fuerzas es





=

Fvert d

=

I Bl

2

p

2

2

=2

A



0; 1

T

 

4 10

2 m2 

p

p

2

2

=4

p

2 10

3 N.m

Teorema de Ampère La circulación del campo magnético a lo largo de una curva cerrada es proporcional a la intensiad de la corriente que atraviesa una supercie limitada por la curva.

I ~ B



l = 0 I d~

(2)

A partir de este teorema es fácil obtener la expresión para el campo magnético en situaciones con simetrías sencillas.

Ejercicio 3.- Calcular el campo magnético creado por un conductor rectilíneo innito de radio R por el que circula una corriente eléctrica de intensidad I y densidad uniforme en la sección del conductor. Solución: Dada la simetria cilíndrica del problema, las líneas de campo eléctrico son circunferencias perpendiculares al conductor y con centro en el eje del mismo. Para una circunferencia de radio r, la circulación del campo es B (r )



2r:

Poe otra parte, el módulo de la densidad de corriente es atraviesa el área limitada por la circunferencia de radio r es I (r )

Por lo tanto i) r < R B (r )

ii) r > R



2r =

=

j



0 I (r )

B (r )



r

2

=



=

=

2



 r 2 R

)

0 I

2 );

I =(R

y la intensidad de corriente que

si r < R si r > R

I

0 I

2r =

I (r=R)

j

)

B (r )

B (r )

=

=

0 I r 2R2

0 I 2r

(3)

Ejercicio 4.- Una corteza cilíndrica hueca innitamente larga de radio interior a y radio exterior b transporta una corriente de intendidad I uniformemente distribuida en toda la sección transversal de la corteza. Determinar el campo magnético a distancias r < a; a < r < b y r > b: Solución: La sección transversal de la corteza cilíndrica es una corona circular de radio interno a y radio externo b; de modo que la intensidad I que la atraviesa está uniformemente distribuida sobre una supercie S =  (b2 a2 ): Distinguimos ahora 3 casos i) r < a: En este caso, la circunferencia de radio r está en el hueco central de la corteza esférica por el que no pasa corriente. Entonces I (r) = 0 y, por lo tanto, B = 0: ii) a < r < b: Ahora el área encerrada por la circunferencia por la que pasa intensidad es  (r2 a2 ); y la intensidad encerrada será entonces Ir = I (r2 a2 )=(b2 a2 ): Así



B (r )2r

=

0 I

  

r

2

b2

 )

2

a

a2

B (r )

=

0 I r

2r

2

2 b

 



2

a

2 a

iii) r > b: Ahora la circunferencia encierra a toda la intensidad, y por lo tanto B (r )2r

=

)

0 I

B (r )

=

0 I 2r

Es fácil ver que los casos i) y iii) son casos partículares de ii) cuando r

=

a

yr

=

b;

respectivamente.

El campo creado por un solenoide innito de radio R y n espiras por unidad de longitud por el que circula una intensidad I es paralelo al eje del solenoide y su  valor es (ver la demostración en la Unidad Didáctica) B

=

0 nI

0

r < R

r > R

Ejericio 5.- Tenemos 3 solenoides innitos con un mismo eje, radios R1 ; R2 = 2R1 y R3 = 3R1 ; respectivamente, y n1 ; n2 = n1 =2 y n3 = n1 =3 espiras por unidad de longitud, respectivamente. Por los 3 solenoides circula una corriente de la misma intensidad I pero la que circula por el solenoide 2 lo hace en sentido contrario que la que circula por los solenoides 1 y 3. Calcular el campo magnético total en un punto situado a una distancia r del eje de los solenoides en los casos a) r < R1 ; b) R1 < r < R2 ; c) R2 < r < R3 ; y d) r > R3 . Solución:

a) si r < R1 ; el punto está dentro de los 3 solenoides, de modo que el campo total es la suma de los campos debidos a los tres solenoides, es decir =

B

+ 0 n2 (

0 n1 I

0 I n3 (3

=





I)

+ 0 n3 I =

3=2 + 1) =

5 2

0 I (n1



n2

+ n3 ) =

0 n3 I

y estará dirigido a lo largo de la dirección del eje del solenoide. b) si R1 < r < R2 ; el punto está fuera del solenoide 1, de modo que el campo debido a este solenoide es nulo. Entonces tenemos simplemente B

c) si R2

< r < R3 ;

(



=

0 n2

I)

=

0 I n3 (1



+ 0 n3 I = 3=2) =



1 2

0 I (n3



n2 )

=

0 n3 I

el punto está fuera de los solenoides 1 y 2 y el campo total es =

B

0 I n3

=

0 I n3

d) Finalmente, para r > R3 ; el punto está fuera de los tres solenoides y el campo total es nulo. Ejercicio 6.- Se quiere construir un solenoide da longitud

cm y sección circular de diámetro ¿Qué diferencia de potencial hay que aplicar entre los extremos del solenoide para que el campo magnético en el interior sea B = 2; 0 102 T? (La resistividad del hilo es  = 2; 0 108  m.) Solución: El campo magnético en el interior del solenoide es B = 0 nI , siendo n el número de espiras por unidad de longitud e I la intensidad que circula por el mismo. Para que circule una intensidad I habrá que aplicar una diferencia de potencial V = I ; siendo la resistencia total del hilo. Entonces L

= 40

2R = 40 mm utilizando un hilo conductor cuya sección tiene un diámetro 2r = 0; 5 mm.



R

R

B





=

=

0 nI

0 n

)

V

R

V

=

B

R

0 n

Calculemos ahora la resistencia total del hilo de la bobina. El solenoide tiene nL espiras y cada una de las espiras de la bobina tiene una longitud l = 2R; de modo que la longitud total del hilo es nLl = nL 2R: La sección transversal del hilo es r2 : La resistencia total es entonces

R

=



nL2R

En denitiva V

y sustituyendo valores 

V

=





4 10 2



m

=

r2

B 0 n



(4

10 7 )



  T  4  101  2 103 ) m2

2 10 2



2

2nLR 2 r

2RBL 2nLR = 2 2 0 r r

    m    N/A   2 10 8

=



(0; 25

m

=

64 0; 25

V = 81; 5 V

Fuerzas entre corrientes

De la combinación de (1) y (3), y la denición de intensidad de corriente, se puede deducir que entre dos conductores rectilíneos paralelos, de longitud l y separados una distancia R, por los que circulan corrientes de intensidades I1 y I2 , se ejerce una fuerza ~ F

=

0 lI1 I2

2R

(4)

La fuerza es atractiva si ambas corrientes tienen el mismo sentido y respulsiva si tienen sentidos contrarios. (Puede verse la demostración en la sección 9.3 de la Unidad Didactica. Hay que advertir, no obstante, que en la fórmula (9.6) hay una errata y sobra el factor dl1 .) Ejercicio 7.- Dos cables conductores, cuya masa por unidad de longitud vale  = 0; 1 kg/m, se mantienen paralelos y horizontales colgando de hilos de sustentación aislantes de longitud l = 0; 5 m. La distancia entre los hilos de sustentación es s = 1 m: Cuando por los cables no pasa corriente los hilos de sustentación están en posición vertical y los cables conductores están a la misma altura y separados por una distancia d = 1 m. Sin embargo, cuando por los conductores

circula una intensidad I; los conductores se atraen y los hilos de sustentación se inclinan un ángulo  respecto a la vertical. ¿Para qué valor de la intensidad el ángulo de inclinación será de 30o ? Solución: Si los hilos de sustentación se inclinan un ángulo ; la distancia entre los cables conductores será d 2l sin : Cada hilo de sustentación soporta un peso sg . Si T es la tensión del hilo, el equilibrio de fuerzas verticales sobre los cables conductores es



T cos  = sg

La fuerza atractiva entre una longitud s de los cables es

F

=

y el equilibrio de fuerzas horizontales es entonces

0 sI 2 2 ( d 2l sin )

2T sin  =

Eliminando T entre estas ecuaciones resulta



0 sI 2 2 ( d 2l sin )



0 I 2 2 ( d 2l sin ) g Para  = 30o tenemos sin 30o = 1=2; tan 30o = 1= 3; y así 0 I 2 4 ( d l)g 0; 5 m 0; 1 kg m1 9; 8 m s2 2 = = I2 = 2 2 ( d l) g 3 107 N A 3 30 3 y así I = 1; 7 10 A.

p

2 tan  =

p





p

)

p    





= 2; 8 10

6

A2

(Evidentemente esta es una intensidad muy grande para un cable conductor. La razón de que salga este valor es que en el enunciado se han dado unos valores de d; l;  y  que permiten simplicar mucho los cálculos.)

Movimiento de cargas en un campo magnético Como ya se ha dicho al inicio, sobre una partícula de carga q que se mueve con velocidad ~v sometida a ~ actúa una fuerza F~ = q~v B: ~ Esta fuerza es perpendicular a la trayectoria y no realiza un campo magnético B trabajo sobre la partícula. Por lo tanto, la energía cinética, y por consiguiente la velocidad de la partícula, permanece constante. Si ~v se encuentra en un plano perpendicular a B~, la aceleración de la partícula es una aceleración normal de módulo constante contenida en dicho plano. La partícula describe entonces una trayectoria circular de radio R con una aceleración de valor aN = v2 =R y así



m La velocidad angular es y el ángulo girado en un tiempo t es  son

v2 R

=

!=

=

)

qvB v R

R=

mv qB

(5)

qB m

=

!t: Entonces las expresiones para las coordenadas cartesianas de la partícula qB t m

qB y (t) = R sin t m donde hemos supuesto que para t = 0 las coordenadas de la partícula son (x0 ; y0 ) = (R; 0): Una demostración más rigurosa es la siguiente: supongamos un campo magnético B~ = B~ez y una partícula ~ La fuerza que actúa sobre la partícula es con una velocidad ~v cualquiera, no necesariamente perpendicular B: ~ F = qvy B~ex qvx B~ey (6) x(t) = R cos



de modo que por la segunda ley de Newton



dv dv m z =0 m y = qBvx (7) dy dz La tercera de estas ecuaciones dice que vz = cte: y así z = vz t: Por otra parte, de la primera y la segunda dv m x dx

ecuaciones se obtiene

=

qBvy

d2 vx dx2

=

qB dvy m dy

=



 qB 2 m

vx

d2 vy dy 2

=

 qBm dvdxx  =

 qB 

2

m

vy

Ya hemos visto repetidamente este tipo de ecuaciones en donde la derivada segunda de una función es proporcional al valor de la función con signo negativo. (Ver, por ejemplo, el Ejercicio 13 del Capítulo 2.) Su solución es

qB qB t + v0y sin t m m qB qB v0x sin t + v0y cos t m m

vx (t) = v0x cos vy (t) =



siendo v0x , v0y los valores de las componentes X e Y de la velocidad en el instante t = 0: Entonces

x(t) = y (t) =



x que es una circunferencia de radio

R=

+y =

2

mvk qB

cos

m   vx

y así la proyección de la trayectoria en el plano XY satisface 2

qB t m qB sin t m

mv0y mv0x qB t sin qB m qB mv0x mv0y qB t+ cos qB m qB 2

2 2 0 + v0y

qB

vk =

con

q



v02x + v02y

No obstante, la trayectoria no está, en general, en el plano XY perpendicular al campo porque en general habrá una componente vz de la velocidad que se mantiene constante. En denitiva, la trayectoria más general de la ~ es una trayectoria helicoidal. El eje de la helicoide es paralelo a partícula cargada sometida a un campo magnético B ~ y el radio de la helicoide es R = mvk =qB: Además, el “paso de rosca” de la helicoide es la dirección de B

h = vz T

= vz

2

!

= 2

mvz qB

Ejercicio 8.- Tenemos dos partículas de la misma carga q y masas m1 y m2 = 2m1 : Ambas son aceleradas por una diferencia de potencial V , y entran, en el mismo instante t = 0; en una región donde existe un campo magnético uniforme de intensidad B: a) Calcular la razón entre los radios de las trayectorias que siguen dentro de dicho campo. b) Cuando la velocidad de la partícula más ligera forma un ángulo de 90 con la velocidad original, ¿qué ángulo formarán entre sí las velocidades de ambas partículas? Solución: a) La velocidad que adquiere una partícula cuando atraviesa una diferencia de potencial V viene dada por el principio de conservación de la energía 1 2

mv 2 = qV

)

v=

s

El radio de la trayectoria dentro del campo magnético es

mv 1 = R= qB B

r

2qV

m

2mV

q

Entonces, puesto que las 2 partículas tienen la misma carga pero m2 simplemente

b) El ángulo girado en un tiempo t es

R2 = R1

= 2 m1 ;

la razón entre los radios será

rm p 2

m1

 = !t =

=

qB t m

2

Por lo tanto, cuando la partícula más ligera haya girado un ángulo de 90 , la partícula de masa doble habrá girado la mitad, 45 ; y el ángulo entre las dos direcciones será también de 45 :

Ejercicio 9.- Obtener una relación entre el momento magnético de una espira de corriente circular y el momento angular de las cargas que circulan por dicha espira. Solución: El razonamiento es similar al del ejercicio de la página 209 de la Unidad Didáctica donde se calcula el momento magnético de una órbita electrónica, aunque ahora no hay cuanticación. Supongamos que la espira esta formada por un cable conductor de sección : Si n (que suponemos constante a lo largo de la espira) es el número de cargas libres por unidad de volumen, la intensidad que circula por la espira será I = nqv

siendo v la velocidad de las cargas. El módulo del momento magnético de la espira de radio R y área S entonces

= R2

es

M = I S = nqvR2 El número total de cargas libres en la espira es N = n2R y cada una de ellas tiene un momento angular

mvR: Es decir, el momento angular total de las cargas que circulan es

L = NmvR = (n2R) (mvR ) = n2mvR2

Entonces M =

q 2m

L

CAPÍTULO 10 Ley de Faraday El ujo de campo magnético a través de un circuito cerrado es B =

Z

