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CASO PR Ctico Matem ticas Financieras Carlos Octavio Castro RODR GUEZCASO PR Ctico Matem ticas Financieras Carlos Octavio Castro RODR GUEZ...

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“Casos prácticos DD120 – Matemáticas Financieras

Guillermo Enrique Montero Carrillo.

Universidad Internacional Iberoamericana Master Internacional en Auditoria y Gestión Empresarial

Drs. Marco Antonio Rojo Gutiérrez y Gabriel Mauricio Pulgarín Osorio Agosto de 2020

Casos prácticos DD120

EJERCICIO 1 Comprobar si esta función cumple los requisitos para ser una Ley Financiera de Descuento: A (t, p) = 1 - 0,1*(t-p) Condiciones: La primera condición que debe cumplir es que 0 < A (t, p) < 1. Como estamos en una Ley de Descuento, p ≤ t, por tanto, 0,1*(t-p) va a ser siempre igual o mayor que cero. Así, para que cumpla esta primera condición, para el caso de p = t:



A (t, p) = L (2000,2000) = 1 - 0,1*(2000-2000) = 1. Así se demuestra que, como valor máximo va a ser 1. Como valor mínimo va a depender de la diferencia de años entre p y t, ya que si esta diferencia es mayor a 10 años: A (t, p) = L (2011,2000) =1 - 0,1*(2011-2000) =1 – 1,1 = -0,1 < 0 No cumple la primera condición, por lo que, para que sea Ley Financiera, la amplitud máxima entre p y t es 10 años. La segunda condición también se cumple, ya que si se suma a p y a t un mismo valor, se va a obtener el mismo valor. La tercera condición es que L (t, t) = L (p, p) 1 - 0,1*(t-t) = 1 - 0,1*(p-p) 1 = 1

 

Solución. p=t Z = 2000 – 2000 = 0 1 𝑑

1

= 0,1 = 10

A (t, p) = L (2011,200091-0,1*(2011-2000) = - 0.1 1

No se cumple la condición dado que Z > 𝑑 y A (t, p) < 0

EJERCICIO 2 Calcular el capital (V, p = 8) sustituto del capital (C1 = 500.000, t1 = 0). Una vez calculado, encontrar el equivalente del capital V en el momento t2 = 5. Utilizar las siguientes leyes:

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a) L (t, p) = (1 + 0, 11)*(p – t) b) L (t, p) = (1 + 0, 01)p*(p – t) Solución. a. Hallar (V, p = 8) 500.000 = (1 + 0,11) (8 – 0) = 1,88 500.000 x 1,88 = 940.000

Capital

Capital equivalente en t2 = 5 940.000 1+0,11 𝑥 (8−5)

=

940.000 1,33

= 706. 766,91

Capital en t2

b. L (t, p) = (1 + 0, 01)p* (p – t) 500.000 = (1 + 0,01)8*(8 – 0) 500.000 = 1,89 Multiplicamos el valor del capital por la ley financiera. 500.000 x 1,89 = 945.000 Capital Capital equivalente en t2 = 5 945.000 (1+0,01)8∗(8−5)

=

945.000 (1,27)

= 744.250

Capital en t2

EJERCICIO 3. Dados los capitales (C1=100.000, t1=1), (C2=200.000, t2=3), (C3=200.000, t3=6) y (C4=150.000, t4=7) y

la siguiente Ley Financiera: L (t, p) = e0,09*(p-t) Para p = 10, se pide: a. Ordenar los capitales. b. Obtener el capital (C, T=5) suma financiera de los anteriores.

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Solución. a. Capital 1

Capital 2

L (t, p) = e0,09*(p-t) L (t, p) = 100.000 x e0,09*(10 - 1) L (t, p) = 100.000 x e0,09*(9) L (t, p) = 100.000 x (2,71828)0,81 L (t, p) = 100.000 x 2,2479 L (t, p) = 224.790

L (t, p) = e0,09*(p-t) L (t, p) = 200.000 x e0,09*(10 - 3) L (t, p) = 200.000 x e0,09*(7) L (t, p) = 200.000 x (2,71828)0,63 L (t, p) = 200.000 x 1,877609 L (t, p) = 375.522

Capital 3

Capital 4

L (t, p) = e0,09*(p-t) L (t, p) = 200.000 x e0,09*(10 - 6) L (t, p) = 200.000 x e0,09*(4) L (t, p) = 200.000 x (2,71828)0,36 L (t, p) = 200.000 x 1,43332 L (t, p) = 286.666

L (t, p) = e0,09*(p-t) L (t, p) = 150.000 x e0,09*(10 - 7) L (t, p) = 150.000 x e0,09*(3) L (t, p) = 150.000 x (2,71828)0,27 L (t, p) = 150.000 x 1,309964 L (t, p) = 196.495

b. Obtener el capital (C, T=5) suma financiera de los anteriores. Suma de capitales = 224.790 + 375.522 + 286.666 + 196.495 = 1.083.473 X=

1.083.473 (1+0,09) (10−5)

=

1.083.473 (1,53862)

= 704.185

Capital

EJERCICIO 4. Se coloca un capital de un millón de u.m. el uno de enero y se retira el montante el uno de abril, utilizándose la capitalización simple con el parámetro i = 0,12: L (t, p) = 1 + 0,12*(p-t) Obténgase el montante en los casos: a) Con p=1 de julio siguiente b) Con p=1 de abril (coincidente con la retirada del montante)

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Solución. a. Tomando como base el año civil de 365 días, 5 horas y 48 minutos, tenemos que entre el 1 de Enero y el 1 de Julio han transcurrido 182 días (bisiesto de 2020), más el día inclusive (día en el que se hace la operación), serían 183 días exactos. 183 𝑑í𝑎𝑠 365 𝑑𝑖𝑎𝑠/𝑎ñ𝑜

= 0,5014 año

L (t, p) = 1.000.000 (1 + 0,12 x 0,5014) L (t, p) = 1.000.000 (1,060168) L (t, p) = 1.060.168 b. Para p = 1 de Abril (fecha que coincide con el retiro del montante), tenemos que desde el 01-01-2020 hasta el 01-04-2020 hay en total 91 días, Luego: 91 𝑑í𝑎𝑠 365 𝑑𝑖𝑎𝑠/𝑎ñ𝑜

= 0,2493 año

L (t, p) = 1.000.000 (1 + 0,12 x 0,2493) L (t, p) = 1.000.000 (1,029952) L (t, p) = 1.029.952

EJERCICIO 5. Calcule el montante de un capital de 250,000 u.m. al 8% de interés anual colocado durante los siguientes periodos en capitalización simple: a. Cuatro años L (t, p) = 250000(1+0.08*4) L (t, p) = 250000(1.32) L (t, p) = 330,000 unidades monetarias

b. 90 días 90

L (t, p) =250000(1+0.08* ) 365 L (t, p) =250000(1.09197) L (t, p) =254,932 unidades monetarias

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EJERCICIO 6. Calcular el capital que se obtendrá dentro de ocho años por un capital de 50,000 u.m. colocado a un 8% de interés anual (el capital final es conocido como montante). L (t, p) =50.000(1+0.08*8) L (t, p) =50.000(1.64) L (t, p) =82.000 unidades monetarias.

EJERCICIO 7 Al descontar un efecto al 10% durante 90 días, calcular la diferencia que hay de hacerlo con un descuento racional y con un descuento comercial. Si el capital es de 8.200.000 u.m. El enunciado proporciona los siguientes datos: C = 8.200.000 d = 10% anual z = 90 días, o lo que es lo mismo en años: 90/365 Solución a. Descuento Comercial D = 8.200.000*0,10*

90

365

= 202.192

V1 = 8.200.000 – 202.192 = 7.997.808 Unidades monetarias 90

V1 = 8.200.000*(1 – 0,10*365 ) = 7.997.808 Unidades monetarias b. Descuento Racional 90

D=

8.200.000∗0,10∗365 90

(1+0,10∗365)

= 197.326

V1 = 8.200.000 – 197.326 = 8.002.674 Unidades monetarias V1 =

8.200.000 (1+

90 ∗0,10) 365

= 8.002.674 Unidades monetarias

Diferencia Dcto Rnal – Dcto Cial = 8.002.674 – 7.997.808 = 4.866 Unidades monetarias

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EJERCICIO 8 La sociedad XYZ constituida por 400.000 acciones de 1 u.m. de nominal anuncia una ampliación de capital a la par, siendo la proporción 1 acción nueva por cada 4 viejas y con un valor de emisión de 1 euro cada una. La cotización de las acciones antes de la ampliación era de 1,4 u.m. Se pide: a. Número de acciones después de la ampliación. b. Calcular el valor teórico de los derechos de suscripción. c. Fondos obtenidos por la sociedad en la ampliación.

Solución a. Número de acciones después de la ampliación C=

(400.000∗1,4+100.000∗1) (400.000−100.000)

=

660.000 500.000

= 1,32 Unidades monetarias

b. Calcular el valor teórico de los derechos de suscripción. VTD = 1,40 – 1,32 = 0,08 u.m. c. Fondos obtenidos por la sociedad en la ampliación. Fondos obtenidos = 100.000*1,32 = 132.000 Unidades monetarias.

EJERCICIO 9 Si se compra una Letra del Tesoro en capitalización simple por 3.000 u.m. con un tanto del 5,5% y la inversión es para un año. A los cuatro meses se desea retirar el capital con los intereses generados. Calcular el capital. Solución. F = P (1 + i*n) = 3.000*(1 + 0,055 x 1) = 3.165 monto al año F (4 meses) =

3.165 1+0,055∗

8 12

= 3.053 unidades monetarias al termino del cuarto mes

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EJERCICIO 10 Se desea invertir un capital de 25.000 u.m. y se presentan tres alternativas. La primera opción es por un periodo de 4 años a un tipo de interés del 4%. La segunda opción es por un periodo de 16 trimestres y un tipo de interés trimestral del 0,9853%. La última opción es una inversión a dos bienios con un tipo de interés Bienal del 8,16%. ¿Con cuál de las tres inversiones se obtendrá un beneficio mayor? Solución Resolviendo con capitalización compuesta 1 Opción F = P (1 + i)n = 25.000 (1 + 0,04)4 = 29.246 Unidades monetarias en n = 4 años 2ª Opción. F = P (1 + i)n = 25.000 (1 + 0,009853)16 = 29.246 Unidades monetarias en n = 16 trimestres 3ª Opción F = P (1 + i)n = 25.000 (1 + 0,0816)2 = 29.246 Unidades monetarias en n = 2 años Conclusión: Es equivalente para cualquiera de los tres casos y se obtendría un beneficio de 29.246 unidades monetarias.

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Bibliografía. Meza Orozco Johnny de Jesús. (2008). Matemáticas financieras aplicadas. Ecoe Ediciones. Bogotá. Contenido de estudio Funiber https://campus2.funiber.org/mod/scorm/player.php?a=6000¤torg=ORG146D4B78E54C2EE5755BFD0148810D4C&scoid=644702...