Ch 4 intérêts composé en maths PDF

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Summary

Ça désigne l’achat d’une ou plusieurs société par une ou plusieurs autre .
F/A -> horizontale = une f/a entre entreprises du même secteur d’activité ( ça t’aide à renforcer ta place sur le marché en éliminant la concurrence) ( rachat de concurant sur le meme marche )
F/A -> vertical = un...

Description

Université Paul Valery

18/03/2021

Cours Mathématiques Financières Chapitre 4 : les intérêts composés Sommaire I.

II.

Généralités .......................................................................................................................... 3 1.

Définitions ................................................................................................................... 3

2.

Exemple....................................................................................................................... 3

Valeur acquise................................................................................................................. 3 1. Cas où la durée de placement est un multiple de la période de capitalisation ............ 3

2. Cas où la durée de placement est un nombre rationnel non multiple de la période de capitalisation 4 III.

Exemple de comparaison entre intérêts simples et intérêts composés ............................ 5

IV.

Actualisation d’un capital ............................................................................................... 5

1.

Généralités ................................................................................................................... 5

2.

Formule ....................................................................................................................... 5

3.

Exemples ..................................................................................................................... 5

V.

Taux proportionnels et taux équivalents ......................................................................... 5 1.

Taux proportionnels .................................................................................................. 6

2.

Taux équivalents ........................................................................................................ 6

VI.

Taux continu ................................................................................................................... 6

VI.

Changements de taux - Taux moyen............................................................................... 7

VII.

Exercices d’application ............................................................................................... 8 Exercice 1 .......................................................................................................................... 8 Exercice 2 .......................................................................................................................... 8 Exercice 3 .......................................................................................................................... 8 Exercice 4 .......................................................................................................................... 8 Exercice 5 .......................................................................................................................... 8 Exercice 6 .......................................................................................................................... 8 Exercice 8 .......................................................................................................................... 8 Exercice 9 .......................................................................................................................... 9 Exercice 10 ........................................................................................................................ 9 Exercice 11 ........................................................................................................................ 9 Exercice 12 ........................................................................................................................ 9 Exercice 13 ........................................................................................................................ 9

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Université Paul Valery 18/03/2021 Exercice 14 ........................................................................................................................ 9 Exercice 15 ........................................................................................................................ 9 Exercice 16 ........................................................................................................................ 9 Exercice 17 ...................................................................................................................... 10 Exercice 18 ...................................................................................................................... 10 Exercice 19 ...................................................................................................................... 10 Exercice 20 ...................................................................................................................... 10

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I.

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Généralités 1. Définitions On dit qu’un capital est placé à intérêts composés lorsqu’à la fin de la première période de capitalisation, l’intérêt de cette période est ajouté à ce capital pour produire intérêt à son tour pendant la période suivante. Ainsi de suite, à la fin de chaque période, l’intérêt simple produit est ajouté au capital pour produire intérêt à son tour pendant la période suivante. Ainsi, le montant d’intérêt et le capital change à chaque période (ce qui n’était pas le cas pour les intérêts simples où l’intérêt était le même pour chaque période). Pour les opérations financières à long terme, les unités de période les plus fréquemment utilisées sont l’année, le semestre ou le trimestre.

2. Exemple Un capital de 10 000 € placé aux taux annuel de 6 % à intérêts composés pendant 3 ans produit pendant la première année un intérêt de 600 €. Le capital devient 10 600 € et produit pendant la deuxième année un intérêt de 636 €. Le capital devient 11 236 € et produit pendant la troisième année un intérêt de 674,16 €. Il devient alors 11 910,16 €.

II.

Valeur acquise

Désignons par C0 le capital initial, par t le taux d’intérêt par euro et par période et par n le nombre de périodes de placement. Déterminer la valeur acquise d’un capital placé à intérêts composés constitue la capitalisation.

1. Cas où la durée de placement est un multiple de la période de capitalisation a) Formule n est un entier naturel non nul. Désignons par Cn le capital après n périodes de placement. On a 𝐶1 = 𝐶0 + 𝐶0 𝑡 = 𝐶0 (1 + 𝑡) puis 𝐶2 = 𝐶1 + 𝐶1 𝑡 = 𝐶0 (1 + 𝑡 )(1 + 𝑡 ) = 𝐶0 (1 + 𝑡)² et ainsi de suite ... Pout tout k ≥ 1, 𝐶𝑘 =𝐶𝑘−1 (1 + 𝑡) : la suite (𝐶𝑘 ) est une suite géométrique de raison (1+t) et de premier terme 𝐶0 . On a donc :

𝐶𝑛 =𝐶0 (1 + 𝑡) 𝑛 ;

le montant total des intérêts sur les n périodes étant donné par : 𝐶𝑛 − 𝐶0 = 𝐶0 ((1 + 𝑡)𝑛 − 1) b) Exemple Reprenons l’exemple ci-dessus : 11910, 16 =10000 x(1 +0, 06)3 = 10000 x 1,06 3 . David Rolland, AES L2-S2

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c) Remarques Attention à faire coïncider les unités de t et n. Si l’on utilise une valeur approchée de t, il faut retenir un nombre de décimales suffisant dans le calcul de (1 + 𝑡)𝑛

2. Cas où la durée de placement est un nombre rationnel non multiple de la période de capitalisation On se place maintenant dans le cas où n n’est pas un nombre entier : 𝑝 𝑛 = 𝑘 + où k est un entier et p/q une fraction comprise entre 0 et 1. 𝑞

Deux solutions sont possibles : • La solution rationnelle, où on utilise la formule précédente pour la partie entière et la formule des intérêts simples pour la partie fractionnaire. • La solution commerciale où on applique la formule précédente à n (non entier). a) Solution rationnelle Formules Au bout de k périodes, le capital obtenu est 𝑪𝒌 = 𝑪𝟎(𝟏 + 𝒕)𝒌 L’intérêt simple produit par 𝐶𝑘 pendant p/q période est : 𝑪𝒌 On en déduit que : 𝑪𝒏 = 𝑪𝒌 (𝟏 +

𝒑

𝒒

𝒑

𝒕.

𝒒

𝒕) = 𝑪𝟎(𝟏 + 𝒕)𝒌 (𝟏 +

𝒑

𝒒

𝒕)

Exemple On calcule avec la solution rationnelle la valeur acquise par un capital de 10 000 € placé pendant 8 ans et 5 mois au taux annuel de 6 %. On obtient 10000 × 1,068 × (1 +

5

12

× 0,06) = 16336,94 €

b) Solution commerciale Dans la pratique la solution rationnelle est peu utilisée, on lui préfère une solution commerciale. Formule La valeur acquise du capital 𝐶0 est 𝑪𝒏 = 𝑪𝟎(𝟏 + 𝒕)𝒏 = 𝑪𝟎(𝟏 + 𝒕)

𝒌+

𝒑 𝒒

Exemple On calcule avec la solution commerciale la valeur acquise par un capital de 10 000 € placé pendant 8 ans et 5 mois au taux annuel de 6 %. 5

On obtient : 1000 × 1, 068+12 = 16330, 18 €. c) Remarque Les résultats obtenus avec la solution commerciale sont toujours inférieurs à ceux obtenus avec la solution rationnelle. Dans la suite, sauf précision contraire, on utilisera la solution commerciale. David Rolland, AES L2-S2

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III.

Exemple de comparaison entre intérêts simples et intérêts composés

IV.

Actualisation d’un capital

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1. Généralités On a vu que la capitalisation est la détermination de la valeur acquise d’un capital placé à intérêts composés. Inversement, si on cherche la somme à placer à intérêts composés pour obtenir après un certain temps de placement, un capital déterminé, on réalise une actualisation.

2. Formule On cherche la somme C0 à placer pendant n périodes pour obtenir un capital Cn. On a 𝐶𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑡)𝑛 donc 𝑪𝟎 = 𝑪𝒏 (𝟏 + 𝒕)−𝒏

3. Exemples La somme à placer à intérêts composés pendant 3 ans au taux annuel de 7,5 % pour obtenir un capital de 3 000 € est : 3000 x 1, 075-3 =2414, 88 €. La somme à placer à intérêts composés pendant 2 ans et 7 mois au taux annuel de 5,60 % pour obtenir un capital de 4 000 € est : 4000 x1, 056-2-7/12 = 3474, 79 €.

V.

Taux proportionnels et taux équivalents

Les opérations financières sont généralement effectuées sur des durées différentes de l’année. Il faut alors prendre en compte la notion de périodicité, qui est un nombre de périodes (jours, David Rolland, AES L2-S2

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Université Paul Valery 18/03/2021 quinzaines, mois, trimestres, semestres) par an. Dans la majorité des cas (sauf quelques produits financiers), la périodicité des échéances et la périodicité du calcul des intérêts sont les mêmes. Le taux périodique est le taux correspondant à la périodicité de capitalisation des intérêts : par exemple, le taux mensuel.

1. Taux proportionnels a) Définition Deux taux correspondants à des périodes de capitalisation différentes sont dits proportionnels lorsque leur rapport est égal au rapport de leurs périodes de capitalisation respectives. b) Exemples Un taux annuel de 6 % est proportionnel à un taux semestriel de 3 % ; à un taux trimestriel de 1,5 % ; à un taux mensuel de 0,5 %. c) Remarque A intérêts simples des taux proportionnels produisent sur une même durée des intérêts identiques. Il n’en est pas de même à intérêts composés où la valeur acquise augmente quand la période de capitalisation diminue.

2. Taux équivalents a) Définition Deux taux correspondants à des périodes de capitalisation différentes sont dits équivalents lorsque pour une même durée de placement, ils conduisent à une même valeur acquise à intérêts composés. b) Méthode de calcul Soit ta un taux annuel, ts , tt et tm les taux respectivement semestriel, trimestriel et mensuel équivalents à ta . On a : 1+ta = (1+ts)2 = (1+tt)4 = (1+tm)12. c) Exemples Un taux annuel de 6 % est équivalent à un taux semestriel de 2,956 % ; à un taux trimestriel de 1,467 % ; à un taux mensuel de 0,487 %. 3) Remarque Le taux équivalent est toujours inférieur au taux proportionnel.

VI. Taux continu Il est possible de généraliser les formules de la valeur acquise et de la valeur actuelle pour une durée qui est un nombre réel non rationnel. Par exemple, la valeur acquise par un capital de 1000 € au taux annuel de 10% sur une durée irrationnelle de π années est 1000 x 1,1 π = 1349,08 €. Pour comprendre cela, il faut introduire la capitalisation en continu. Retenons un taux annuel r et divisons une durée d’un an en k sous-périodes de même durée 𝑟 (par exemple en k =12 mois). Le taux proportionnel sur cette période est . 𝑘

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𝑟 𝑘

18/03/2021 sur les k périodes donne une valeur acquise

Un capital initial C0 capitalisé au taux 𝑟 𝐶1 = 𝐶0 (1 + 𝑘)𝑘 au bout de 1 an.

Si l’on fait tendre k vers +∞, la période de capitalisation tend vers 0. On dit que la capitalisation est continue ou instantanée. On obtient alors 𝑟 𝑘

𝐶1 = lim 𝐶0 (1 + 𝑘) = 𝐶0 𝑒 𝑟 et la valeur actuelle 𝐶0 = 𝐶1 𝑒 −𝑟 𝑛→∞

Le taux r est appelé taux continu annuel. Si t désigne le taux annuel (discret), alors on a 𝐶1 = 𝐶0 𝑒 𝑟 = 𝐶0 (1 + 𝑡) , d’où 𝑒 𝑟 = 1 + 𝑡 et 𝑟 = ln (1 + 𝑡) On dit que r est le taux annuel continu équivalent au taux annuel discret t. Il s’agit d’un taux équivalent qui présente les propriétés d’un taux proportionnel. Plus généralement, la capitalisation sur une durée de T années, avec ∈ 𝑅 , est 𝑪𝑻 = 𝑪𝟎(𝒆𝒓 )𝑻 =𝑪𝟎𝒆𝒓𝑻 Cette formule est utilisée dans les études théoriques de mathématiques financières.

VI.

Changements de taux - Taux moyen

On prend ici l’exemple d’un placement pour lequel les intérêts sont capitalisés annuellement. On adaptera le raisonnement s’ils sont capitalisés semestriellement, trimestriellement ou mensuellement. On place un capital 𝐶0 pendant n années. Le taux annuel est t1 les n1 premières années, t2 les n2 années suivantes, ..., tk les nk dernières années. On a bien sur 𝑘

∑ 𝑛𝑖 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘 = 𝑛 𝑖=1

La valeur acquise par ce capital au bout de n années est 𝑪𝒏 = 𝑪𝟎(𝟏 + 𝒕𝟏)𝒏𝟏 (𝟏 + 𝒕𝟐)𝒏𝟐 … (𝟏 + 𝒕𝒌 )𝒏𝒌 Le taux annuel moyen t est le taux constant sur les n années qui permettrait d’obtenir le capital 𝐶𝑛 à partir du capital 𝐶0 . Il vérifie donc l’égalité 𝐶𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑡)𝑛 d’où (1 + 𝑡)𝑛 = (1 + 𝑡1 )𝑛1 (1 + 𝑡2 )𝑛2 … (1 + 𝑡𝑘 )𝑛𝑘 puis 𝒕 = [(𝟏 + 𝒕𝟏 )𝒏𝟏 (𝟏 + 𝒕𝟐 )𝒏𝟐 … (𝟏 + 𝒕𝒌 )𝒏𝒌 ]

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𝟏 𝒏

-1

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VII.

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Exercices d’application

Sauf indication contraire, la solution commerciale sera adoptée et la période de capitalisation est celle du taux d’intérêt.

Exercice 1 Calculer les intérêts simples, puis les intérêts composés produits dans chacune des hypothèses suivantes : Capital Durée du Taux placement 1160 € 5 ans annuel 7,50 % 1280 € 3 ans 6 mois semestriel 4,25 % 1500 € 2 ans 9 mois trimestriel 1,60 % 735 € 7 mois mensuel 0,85 %

Exercice 2 On place un capital de 5 000 € à intérêts composés pendant 2 ans et 7 mois au taux annuel de 7,75 %. Calculer la valeur et les intérêts acquis par le capital : a) avec la solution commerciale ; b) avec la solution rationnelle.

Exercice 3 On a placé à intérêts composés au taux annuel de 5,50 % : 1 800 € le 1er janvier 2016, 2 300 € le 1 janvier 2017, 970 € le 1er janvier 2018. Quelle somme totale a été retirée le 1er janvier 2019 ? er

Exercice 4 On a placé à intérêts composés au taux annuel de 4,75 % : 1 800 € le 1er mars 2017, 2 400 € le 1er septembre 2018, 2 700 € le 1er juin 2018. Quelle sera la valeur acquise totale le 31 décembre 2019 : a) avec la solution commerciale ? b) avec la solution rationnelle ?

Exercice 5 Quel est le capital qui, placé à intérêts composés au taux annuel de 6,25 %, a acquis à la fin de la septième année de placement une valeur de 7 500 € ?

Exercice 6 Quel est le capital qui, placé à intérêts composés au taux annuel de 4,35 %, acquiert au bout de 3 ans et 5 mois de placement une valeur de 3 000 € ? Exercice 7 A quel taux annuel faut-il placer à intérêts composés, une somme de 6 000 € pour qu’elle acquière, après 4 ans de placement, une valeur de 7 503,65 € ?

Exercice 8 Après 2 ans et 5 mois de placement à intérêts composés, un capital de 1 800 € a acquis une valeur de 1 995,09 €. Déterminer le taux annuel de placement.

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Exercice 9 Pendant combien de temps faut-il placer à intérêts composés 6 000 € pour obtenir une valeur acquise de 7011,23 € ? Taux semestriel de 2,25 %.

Exercice 10 Au bout de combien de temps du placement de 6 400 € à intérêts composés au taux annuel de 5,40 %, retire-t-on 7 795,29 € ?

Exercice 11 1) Quels sont, au bout de 4 ans 6 mois, les intérêts produits par un capital de 4 000 € placés à intérêts composés : a) au taux semestriel de 3,1 % ? b) au taux annuel de 6,2 % ? 2) A quel taux annuel faudrait-il faire ce placement en capitalisation annuelle, pour obtenir le même montant d’intérêts qu’en capitalisation semestrielle au taux semestriel de 3,1 % ? 3) A quel taux semestriel faudrait-il faire ce placement en capitalisation semestrielle, pour obtenir le même montant d’intérêts qu’en capitalisation annuelle au taux annuel de 6,2 % ?

Exercice 12 Compléter le tableau suivant, les taux étant arrondis à deux décimales par défaut (calculer dans chaque colonne les taux proportionnels ou équivalents à partir du taux y figurant) :

Exercice 13 On place 1 250 € à intérêts composés pendant 5 ans à un taux annuel variable (capitalisation annuelle). 1) Si le taux annuel est de 4,5 % pendant les deux premières années, 4 % la troisième année et 3 % les deux dernières années, quelle est la valeur acquise au bout de 5 ans par ce capital ? 2) A quel taux annuel fixe aurait-il fallu faire ce placement pour obtenir au bout de 5 ans la même valeur acquise ?

Exercice 14 Un capital de 3 500 € est resté placé à intérêts composés pendant 7 ans au taux annuel de 5,60 %. Quel est le montant des intérêts produits pendant les trois dernières années ?

Exercice 15 Le 1er janvier 2012, on place à intérêts composés 4 200 €. Le 1er janvier 2013, on retire 1 800 €. Le 1er janvier 2014, on fait un nouveau dépôt de 2 400 €. Le 1 er janvier 2015, on dispose en compte de 5 304,33 €. Calculer le taux annuel de placement (entre 4 % et 5 %).

Exercice 16 Sur le même compte, on a placé à intérêts composés : 900 € le 1er janvier 2013, 750 € le 1er avril 2013, 1 050 € le 1er janvier 2014 et on a retiré 1 350 € le 1er octobre 2013, 450 € le 1er avril 2014. Le 1er juillet 2014, le solde s’élève, compte tenu des intérêts capitalisés trimestriellement, à David Rolland, AES L2-S2

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Université Paul Valery 977,38 €. Quel était le taux d’intérêt trimestriel ?

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Exercice 17 En combien de temps un capital placé à intérêts composés double-t-il de valeur au taux annuel de : a) 4,5 % ? b) 7,5 % ? c) 12 % ? d) 16 % ?

Exercice 18 En combien de temps deux capitaux placés à intérêts composés, l’un de 3 000 € au taux annuel de 6,5 %, l’autre de 3 750 € au taux annuel de 3,5 %, auront-ils acquis la même valeur ?

Exercice 19 Un débiteur, pour éteindre une dette contractée il y 10 ans, doit actuellement verser 7 000 €. Trois possibilités lui étaient offertes dans le contrat initial : - s’acquitter par anticipation au bout de 7 ans ; - rembourser sa dette au bout de 10 ans ; - demander une prorogation de 3 ans au bout de 10 ans. a) Quelle somme le débi...