Maths Financière Chapitre 4 PDF

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Mathématique financière de première année de Licence d'économie et de Gestion....

Description

Mathématiques Financières Chapitre 4 : Amortissement des prêts à moyen et long terme Lundi 19 Novembre : On entends généralement par prêt un emprunt dit ''indivis'' car il est en opposition aux emprunts dits ''obligataires'' qui sont divisés en coupures. Il n'y a qu'un seul prêteurs. Les prêts personnels, accordés par les banques en particulier, des prêts immobiliers. Lors de l'octroie d'un prêt à moyen-long terme, le prêteur met à la disposition de l'emprunteur un capital, en contrepartie, d'une part, l'emprunteur verse périodiquement au prêteur un intérêt. La périodicité est généralement mensuelle ou annuelle, le montant de l'intérêt versé à chacune des périodes dépend du capital non-encore remboursé. D'autre part, l'emprunteur rembourse le capital emprunté soit en une seule fois (peu courant), soit en plusieurs fois. Dans le cas ou le remboursement du capital se fait en plusieurs fois, chaque remboursement coïncide toujours avec une échéance d'intérêts mais à chaque échéance d'intérêt ne correspond pas forcément un remboursement. D'une façon générale, l'emprunteur verse lors de la pième échéance une annuité a p , l'annuité se compose de deux éléments, d'une part l'intérêt du capital restant

à rembourser que l'on va noter I p , d'autre part, l'amortissement ou remboursement capital noté M p qui éventuellement peut être nul lors de certaines échéances.

a p =I p+M p

L'intérêt se formule I p =K ( p−1)∗i , K est le capital qu'il reste à rembourser. Étant donné qu'à la fin de la durée du prêt ou de l'emprunt, la totalité du capital doit être remboursé, la somme des différents amortissements est égal au montant du capital emprunté, l'emprunt est égal à la somme des amortissements. I/Remboursement par annuités constantes A)Calcul de l'annuité constante En considérant le taux de l'emprunt i, il y a égalité entre d'une part le capital prêté et d'autre part la valeur annuelle des annuités qui vont être versés afin de rembourser le prêt et verser les intérêts :

1−( 1+i)−n i K∗i a= 1−( 1+i )−1

K =a

Un emprunt indivis de nominale 100 000 euros est contracté pour une durée de 5 ans, supposant que le taux d'intérêt annuel est de 10 %, le service de l'emprunt est assuré par des annuités constantes. Calculer le montant de l'annuité constante.

100 000∗0,1 =26 379,75 € 1−( 1,1−5) B)Intérêts et amortissements d'annuités constantes

Lundi 26 Octobre : La formule de base ici est : M p =K ( p−1)− K p

M 1=a (1+i)−1 . Donc, le deuxième (− n+1 ) amortissement aura cette formule : M 2=M 1 (1+i) ou alors M 2=a(1+i) . Le premier amortissement se calcule comme ceci :

On constate que lorsque l'amortissement d'un emprunt est régi par un système d'annuités constantes, les amortissements contenus dans les annuités sont en progression géométrique de raison 1+i. C)Capital amorti après le paiement de l'annuité p et capital restant à amortir (k= p) K p= K 0 K −B p B p=M 1+ M 2 +...+M k +...+M p=Σ (k=1) Mk (k= p ) (k−1) B p=Σ(k=1) M 1 (1+i)

Donc :

B p=M 1

(1+i)p−1 i

.

B p=

Ki ∗(

(1+i)p−1 ) i

(1+i)n−1 (1+i) p−1 B p=k (1+i)n−1

D)La construction du tableau d'amortissement Période p Dette en début Intérêt de période

Amortissement

M p =a p∗I p

K ( p −1)

Annuité

ap

Dette en fin de période K p

1

100000

10000

16379,75

26379,75

83620,25

2

83620,25

8362,025

18017,725

26379,75

65602,525

3

65602,525

6560,2525

19819,4975

26379,75

45783,0275

4

45783,0275

4578,30275

21801,44725

26379,75

23981,58025

5

23981,58025

2398,158025

23981,58025

26379,75

0

Le montant de la somme à amortir est égal à la somme des amortissements. La dette initiale est la somme de toutes les annuités. La valeur de la dernière annuité actualisée une période avant nous donne la dernière dette vivante, donc le dernier amortissement.

Montant du prêt

II/Remboursement par amortissement constant Quelque soit p, alors Mp = M. Donc, M = Période p

Dette en début de période

K ( p−1)

K n

Intérêt

Nombre d'annuités Amortissement

I p=K ( p−1)+i

M p =a p∗I p

Annuité

ap

Dette en fin de période K p

1

100000

10000

20000

30000

80000

2

80000

8000

20000

28000

60000

3

60000

6000

20000

26000

40000

4

40000

4000

20000

24000

20000

5

20000

2000

20000

22000

0

On constate que dans un système d'amortissement constant, les annuités sont décroissantes et forment une suite décroissante dont la raison négative est égale au produit de l'amortissement constant par le taux d'intérêt. E/Remboursement massif lors de la dernière échéance (in fine) Dans ce cas, l'emprunteur verse à chaque fin de période uniquement l'intérêt sur le nominal initial de l'emprunt, ceci de l'année 1 à l'année n-1. Lors de l'échéance du prêt, l'emprunteur verse encore une fois le montant de l'intérêt de la période accompagné du remboursement en bloc du montant de l'emprunt. Période p

Dette en début de période

K ( p−1)

Intérêt

Amortissement

I p=K ( p−1)+i

M p =a p∗I p

Annuité

ap

Dette en fin de période K p

1

100000

10000

0

10000

100000

2

100000

10000

0

10000

100000

3

100000

10000

0

10000

100000

4

100000

10000

0

10000

100000

0

110000

0

5 100000 10000 L'inconvénient est que le système est déséquilibré....