Cifras cifnificativas e incertezas PDF

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CONCEPTOS RELACIONADOS CON LA MEDICIÓN Medir es el proceso de comparar dos cantidades de una misma magnitud física teniendo a una de ellas como unidad. Medición es el proceso mediante el cual se obtiene el valor de una medida. Medida es la razón entre cierta cantidad de una magnitud física y la cantidad de ella misma que se define como unidad. FORMAS DE OBTENER EL VALOR DE UNA MEDIDA Existen dos formas importantes para obtener el valor de una medida: la medición de lectura directa y la medición indirecta por cálculo. La medición de lectura directa es aquella en la que el valor de una medida se obtiene mediante la lectura sobre la escala de un instrumento (instrumento analógico), o la que proporciona numéricamente un instrumento digital. Son ejemplos de este tipo de medición las que se hacen al medir la longitud de una mesa utilizando una cinta métrica; la rapidez de una automóvil leída en un velocímetro; la temperatura indicada por la columna de mercurio de un termómetro; la corriente eléctrica que indica un amperímetro, etc. La medición indirecta por cálculo es aquella en la que el valor de la medida se obtiene por medio de operaciones matemáticas realizadas a partir de uno o más valores de otras medidas. Como un cuerpo a partir de su masa y la velocidad Ec = ½mv². En general, son todas aquellas mediciones para las cuales no se dispone de instrumento alguno que proporciones de una vez su valor. LIMITACIONES DE LA MEDIDA En las ciencias experimentales se tiene como axioma lo siguiente: “Es imposible llegar a conocer el verdadero valor de la medida de una magnitud física continua y aunque, en el supuesto de que alguien lo hubiese obtenido, no tendría forma de probarlo”. Lo que se obtiene como valor de la medida de una magnitud física continua (aquella que se determina por la lectura en la escala de un instrumento), no es más que una aproximación al valor

verdadero de la medida. ¿Cómo se explica esto? inevitablemente toda medida va afectada de error.

La respuesta más razonable es que

Error en las medidas Conceptualmente hablando se define el error absoluto (ε) como el valor absoluto de la diferencia entre el valor x, experimentalmente obtenido y el valor verdadero X: ε = |Xe-X| Esto no deja ser más que una idealización dado que, como se dijo anteriormente, es imposible llegar a conocer el verdadero valor de una medida. En la práctica, cuando se quiere tener una idea del error cometido experimentalmente, en lugar del valor X se trabaja con el valor aceptado Xa. ε = |Xe-Xa| A manera de ejemplo, considérese que un grupo de estudiantes determinaron experimentalmente el valor de la aceleración de la gravedad: g = 9.78 m/s². Si el valor considerado como aceptable es 9.80 m/s², el error absoluto es: ε = |9.78 – 9.80| m/s²

ε = 0.02 m/s²

Causas de error Entre las causas de error se pueden considerar como principales los siguientes: Personales, instrumentales, ambientales y metodológicas. Causas personales. Dadas las limitaciones en los diferentes órganos sensoriales de una persona, ésta resulta ser una causa de error. Entre estas causas se cuentan los criterios del experimentador, sus apreciaciones en las divisiones menores de la escala de un instrumento, la inadecuada dirección visual sobre la escala (error de paralaje), las tendencias personales en contra de ciertos números o colores. Las causas personales se ponen de manifiesto cuando dos o más personas al realizar la misma medida de una magnitud física, obtienen valores con alguna diferencia. Causas instrumentales. El instrumento mismo con que se realiza la medición puede ser causa de error cuando, por ejemplo, presenta defectos en su escala, posee algún mecanismo defectuoso debido a la oxidación o desgaste de alguna de sus partes, la pérdida de elasticidad o la deformación de uno o más de sus elementos, etc. Causas ambientales. Los cambios de presión, temperatura o humedad puedan afectar tanto las condiciones en que se efectúa una medida como el funcionamiento de los instrumentos de medición. Se comete error por ejemplo, cuando una regla metálica cuya escala fue construida a una cierta temperatura es utilizada para medir una longitud a una temperatura diferente. Causas metodológicas. Los errores atribuidos a causas metodológicas se deben a: a) El camino seguido para obtener la medición b) Los aparatos seleccionados para efectuarla c) Las técnicas de medición utilizada; o d) La combinación de éstas

Tipos de error Los errores se clasifican en dos tipos generales: Errores sistemáticos y errores casuales o aleatorios. Errores sistemáticos. Son los que se producen de la misma manera al repetir la medida. Sus valores pueden ser grandes y sus causas pueden ser principalmente instrumentales o metodológicas, sin embargo, no se descartan otras causas. Los errores sistemáticos pueden ser detectados al repetir una medida con otro instrumento de mayor confianza o, aplicando otra metodología. Una vez detectada y conocida su causa, el error sistemático puede ser reducido a valores despreciables. Errores casuales o aleatorios. Se deben a causas irregulares que están fuera del control del experimentador. Afectan a la medida alejándola en un sentido o en otro del valor verdadero; es decir, que el valor medido puede ser mayor o menor que el verdadero. Por lo general los errores casuales son pequeños, son inevitables y en ocasiones se detectan al ser repetida la medida por diversas personas. Los errores casuales se denominan también accidentales. Los errores no deben ser confundidos con las equivocaciones. Las equivocaciones son el resultado del descuido o distracción al momento de efectuar una medida. Las equivocaciones en la mayoría de las veces se detectan al analizar los resultados, a veces son obvias o se puede observar su inconsistencia con otros datos. EXACTITUD Y PRECISIÓN DE UNA MEDIDA Con frecuencia se confunden estos términos pero, en cuanto a mediciones se refiere son completamente diferentes. Exactitud. Se refiere a la cercanía o grado de concordancia del valor experimental de una magnitud física y su valor “verdadero”. La exactitud absoluta es imposible de alcanzar puesto que es imposible eliminar los errores experimentales. Generalmente la exactitud se relaciona con el error sistemático y así se dice que una medida es tanto más exacta cuanto menor sea el error sistemático que la afecta. Precisión. Este término depende de la escala de un instrumento. Un instrumento proporciona medidas más precisas si su escala permite obtener mayor número de cifras (cifras significativas) que las que permite otro para la misma medida. La precisión se relaciona con la mínima división de la escala; cuanto menor sea el valor que representa más precisa será. También se relaciona con los errores casuales; tanto más pequeños sean éstos, mayor será la precisión. La alta precisión no implica gran exactitud. Por ejemplo dos balanzas, una que puede dar lectura hasta los miligramos (1 mg = 0.001 g) pero, por defecto de calibración, por piezas oxidadas u otras causas, sus valores podrían resultar con 0.15 g arriba de los que se obtiene con otra, cuyos valores llegan hasta las centésimas de gramo (1 cg = 0.01 g) con error sistemático de sólo 0.005 g.

FORMAS DE EXPRESAR UNA MEDIDA De acuerdo al grado de precisión y la exactitud que se desee una medida puede expresarse de dos formas: a) Limitando su número de cifras significativas b) Indicando el tamaño de la incerteza de la medida. Cifras significativas. Cifras significativas son todas aquellas que dan información acerca del valor de una medida y comprenden todas aquellas que un experimentador puede leer con razonable seguridad en la escala de un instrumento y una más, la última, que estima como fracción de la menor división de la escala y por lo tanto es de valor dudoso. En la figura se muestra una regla cuya menor división es de 1 cm y con la cual se mide la longitud de un objeto.

De la escala se puede asegurar que la longitud del objeto es mayor que 4 cm, pero menor que 5 cm Se está seguro entonces del 4, existe sin embargo una fracción que hay que estimar. Mentalmente se divide en cuatro partes la distancia entre 4 y 5 y una estimación razonable es que la posición del extremo del objeto está a 0.7 de dicha distancia o 0.8, por lo que la lectura correcta es 4.7cm o bien 4.8cm En la medida efectuada la cifra dudosa es el 0.7 o el 0.8, no se pueden conocer más cifras en el orden de las centésimas, milésimas, etc. El número de cifras significativas es de 2, y de éstas las última es dudosa. Reglas en la determinación del número de cifras significativas 1. La primera cifra significativa de una medida es la primera distinta de cero, contando de izquierda a derecha. En la medida 54.8 g, la primera cifra significativa es 5. 2. No son significativos los ceros a la izquierda de la primera cifra distinta de cero. En la medida 0.015 v, sólo hay 2 cifras significativas, el uno y el cinco. 3. Son significativos todos los ceros que se encuentren a la derecha de cualquier cifra distinta de cero. A continuación se dan unos ejemplos.

Medida Número de cifras Significativas 20.5 cm 3 10.0 g

3

0.070 v

2

4. No son significativas las potencias de diez. En 2.5 x 10 -3 m, sólo hay dos cifras significativas: El 2 y el 5. 5. El número de cifras significativas es independiente de las unidades en que se exprese una medida. La medida 17.5 puede expresarse así:

17.5 cm = 0.175 m = 175 mm = 1.75x10 -4 km

en todos los casos se tiene 3 cifras significativas.

Operaciones con cifras significativas Al efectuar cálculos para obtener el valor de una medida a partir del valor de otras (medida indirecta) se debe tomar en cuenta el número de cifras significativas de ésta, por lo que se requiere aplicar algunos criterios o normas al efectuar las diferentes operaciones matemáticas. a) Suma y Resta Para sumar o restar los valores correspondientes a diferentes medidas, éstos deben aproximarse al orden de la cifra dudosa de la medida de menor precisión. Ejemplo 1 Las masas de tres cuerpos fueron determinadas cada una por un estudiante diferente: m1 =5.76 g m2 = 24.5 g y m3 = 0.872 g Obtener la masa de los tres cuerpos juntos Solución: Cantidades sin aproximar Cantidades aproximadas 5.76 g

5.8 g

24.5

g

24.5 g

0.872 g

0.9 g 31.2 g

Las cantidades se aproximan al orden de las décimas puesto que la medida de menor precisión es 24.5 g, no se conocen los dígitos posteriores a la cifra dudosa, es decir las centésimas, las milésimas, etc., y no se puede suponer que son ceros.

Ejemplo 2 Las velocidades de dos cuerpos son: v1 = 20.3 m/s y v2 = 7.58 m/s Hallar la diferencia entre sus velocidades. Solución: 20.3 m/s

20.3 m/s

7.58 m/s

7.6 m/s 12.7 m/s

Ejemplo 3 Los espesores de dos láminas son 5.2x 10 -3 m y 4.5 x10 -4 m. Determinar la diferencia entre los espesores. Solución: Se expresan las cantidades con la misma potencia, se aplica la aproximación y luego se restan. 5.2x10-3 m 5.2x10-3m 5.2x10-3m 4.5x10-4 m

0.45x10-3 m

0.5x10-3 m 4.7x10-3 m

b) Multiplicación y división Al multiplicar o dividir 2 medidas el resultado debe expresarse con tantas cifras significativas como las del factor que contenga menos. Ejemplo El ancho de un rectángulo es de 6.3 cm y su longitud es de 12.8 cm. Encontrar el área. Solución: Area = largo x ancho Area = 12.8 cm x 6.3 = 80.64 cm² El resultado de la operación tiene cuatro cifras, sin embargo, dado que uno de los factores (6.3 cm) sólo tiene dos cifras significativas, el área del rectángulo también tendrá que expresarse únicamente con 2 cifras significativas: Area = 81 cm² Ejemplo La masa de una muestra metálica es de 7.67 g y su volumen es 1.25 cm3. Obtener su densidad. Solución:

c) Potenciación Esta operación se considera una multiplicación abreviada y por lo tanto el resultado tendrá tantas cifras significativas como las que tiene la base. Ejemplo El volumen V de un cubo es igual al producto de la longitud L de sus tres aristas: V = L x L x L = L 3 Determinar el volumen de un cubo cuyas aristas miden 12.0 cm. Solución: V =(12.0 cm)(12.0 cm)(12.0 cm)=(12.0 cm) 3=1728 cm3= 1.728 x 103 cm3 El volumen debe expresarse con tres cifras significativas: V = 1.73 x 10 3cm3 c) Operaciones con números puros Un número puro es aquel cuyo valor está dado por definición o que resulta en la deducción de una fórmula. Son ejemplos de números puros: i) Las cantidades cuya relación se fija por definición: 1 ft = 12 in

1 in = 2.54 cm

1 m = 100 cm

ii) Las constantes en fórmulas: Área de un triángulo = (½) b x h Área de un círculo = π r²

π: 3.14159

iii) Las constantes matemáticas o físicas Base de logaritmos naturales: e = 2.71828 Constante universal de los gases: R = 8.314 J/mol K Los números puros no se obtienen por medición, por definición son números exactos y pueden escribirse con un número ilimitado de cifras significativas.

Ejemplo Obtener el área de un círculo cuyo radio es r = 7.25 cm. A = π r² A = 3.14159 (7.25)²

A = 3.14159 x 52.6

A = 165 cm²

Las constantes como π ó e, se pueden usar con el número de cifras que el grado de precisión del cálculo lo requiera.

INCERTEZA DE UNA MEDIDA En toda medida, la última cifra a la derecha es dudosa. Cuando se dice que el ancho de una página es de 21.7 cm, de lo único que se podría estar seguro es que el ancho de la página es menor que 22.0 cm y mayor que 21.0 cm, pero ¿será menor que 21.9 cm o que 21.8 cm? o en el otro sentido. ¿Será mayor que 21.5 cm o que 21.6 cm? Este razonamiento permite identificar un intervalo dentro del cual, con seguridad se encuentra el verdadero valor de la medida. En este ejemplo, si el experimentador ha sido capaz de efectuar la medida con tal cuidado que, puede asegurar que el ancho de la página está entre 21.6 y 21.8 cm, esto puede expresarlo así: (21.7 + 0.1) cm. También en los instrumentos digitales la última cifra es dudosa. Por ejemplo, si un voltímetro digital al medir una diferencia de potencial indica 6.73 V, esto no quiere decir que el valor sea exactamente 6.73000000...; el último dígito dado depende del diseño de fabricación del instrumento. El voltímetro podría estar diseñado para indicar 6.73 V. Cuando el valor real está más cerca de 6.73 que de 6.74 ó que de 6.72. De cualquier forma, hay un intervalo dentro del cual se encuentra el verdadero valor de la medida y para determinarlo, será necesario consultar acerca de la precisión en su manual de instrucción. No importa el tipo de instrumento o la forma de obtener el valor de una medida, siempre habrá un intervalo que define los límites entre los que puede encontrarse el verdadero valor. La incerteza de una medida, es pues, una expresión de ese intervalo que indica en cuánto puede estar alejado en un sentido o en otro, el verdadero valor de una medida con respecto al valor Xe obtenido. Medida con su incerteza x = xe +∆x , donde: x : Magnitud; xe : valor obtenido; +∆x: incerteza de la medida. Calculo de incerteza de una medida Otra manera de expresar una medida y su error es calculando la incerteza de la medida. Ya se ha mencionado que en toda medida la última cifra a la derecha es dudosa. Así cuando decimos que la temperatura de un salón es de 21.7 ºC, de lo único que se podría estar seguro es que la temperatura del salón es menor que 22 ºC y mayor que 21ºC, pero ¿será menor que 21.9ºC o 21.8ºC? o ¿será mayor que 21.5ºC o que 21.6ºC? Este razonamiento permite identificar un intervalo dentro del cual se halla el verdadero valor de la medida. La incerteza de una medida, es por lo tanto, una expresión de ese intervalo que indica en cuánto puede estar alejado en un sentido o en otro, el verdadero valor de una medida con respecto al valor Xa obtenido. Por lo tanto:

La forma de expresar una medida con su incerteza es: En donde x es la magnitud; Xa es el valor obtenido y Δx es la incerteza de la medida.

Por ejemplo, al medir una cierta distancia hemos obtenido 297±2 mm. De este modo, entendemos que la medida de dicha magnitud está en alguna parte entre 295 mm y 299 mm. En realidad, la expresión anterior no significa que se está seguro de que el valor verdadero esté entre los límites indicados, sino que hay cierta probabilidad de que esté ahí. Una medida de una velocidad expresada de la forma 6051.78±30 m/s es completamente ridícula, ya que la cifra de las centenas puede ser tan pequeña como 2 o tan grande como 8. Las cifras que vienen a continuación 1, 7 y 8 carecen de significado y deben de ser redondeadas. La expresión correcta es 6050±30 m/s. Una medida de 92.81 con un error de 0.3, se expresa 92.8±0.3, con un error de 3, se expresa 93±3. Por tanto: La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas) Y por último, Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa.

Determinación de la incerteza absoluta Cuando se mide una sola vez la incerteza se estima considerando varios factores entre los que se pueden mencionar, entre otras: 1. La escala del instrumento 2. La agudeza visual 3. Las características del objeto de medición 4. Las condiciones ambientales Por ejemplo, si la masa de un objeto se anota como 5.8 g, al estimar la incerteza debemos tomar de referencia la cifra dudosa y, como ésta pertenece al orden de las décimas, podríamos escribir +0.1, +0.2 etc., dependiendo, en la práctica de los factores anteriormente mencionados. El valor de la medida con su incerteza es a criterio o juicio del que mide. La mayoría de los casos, una medida debe realizarse varias veces. En este caso, ¿qué valor se puede considerar el más aceptable para la medida efectuada? Cuando al tratar de determinar una magnitud por medida directa realizamos varias medidas con el fin de corregir los errores aleatorios y los resultados obtenidos son x1, x2,... xn se adopta como mejor estimación del valor verdadero, el valor medio , que viene dado por

El valor medio, se aproximará tanto más al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el número de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se van compensando unos con

otros. Sin embargo, en la práctica, no debe pasarse de un cierto número de medidas. En general, es suficiente con 10, e incluso podrían bastar 4 ó 5. Las diferencias del valor medio con cada una de las medidas solo dan una idea de qué tan alejado se puede encontrar el verdadero valor, es decir, dan la idea de la incerteza. Esta puede ser calculada por la desviación media o por la desviación estándar o típica. La incerteza calculada por la desviación media es de menor confiabilidad, se representa por y se determina por la expresión:

Ejemplo 1 Al medir 6 veces el tiempo de caída de un cuerpo soltándolo siempre de la misma altura se obtuvieron los siguientes resultados, en segundos: 2.25, 2.27, 2.24, 2.25, 2.23, 2.26. Exprese la medida del tiempo con su incerteza como la desviación media. Solución: Primero se calcula la media de las medidas mediante la siguiente ecuación:

En estos problemas es recomendable hacer una tabla como la que se muestra a continuación:

Mediante la ecuación se calcula la incerteza:

De acuerdo con la teoría de Gauss de los errores, que supone que estos se producen por causas aleatorias, se toma como la mejor estimación del error, el llamado error cuadrático o desviación estándar, definido por

El resultado del experimento se expresa como

Ejemplo Se ha medido 10 veces la longitud de un lápiz y se reportan los siguientes resultados:

Obtener la medida con su incerteza como desviación estándar. Solución: El valor medio es:

Construyendo la tabla y calculando la desviación estándar:

Por medio de la ecuación se calcula:

Determinación de la incerteza relativa La incerteza absoluta no nos da mayor información acerca d...