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Números complejos, sinusoides y fasores

Nicolás Rodríguez Martínez: 45201016 Carlos Mauricio Parrado: 45192008

Trabajo de investigación

PROFESOR: Jorge Eliecer Rangel Diaz

Universidad de la Salle Facultad de ingeniería Ingeniería en automatización Bogotá 2021

Números complejos Historia: Ya desde el siglo I antes de Cristo, algunos matemáticos griegos, como ser Herón de Alejandría, comenzaron a esbozar el concepto de números complejos, ante dificultades para construir una pirámide. Sin embargo, recién en el siglo XVI empezaron a ocupar un lugar importante para la ciencia; en ese momento, un grupo de personas buscaba fórmulas para obtener las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3. En primer lugar, su interés era dar con las raíces reales de las ecuaciones antes mencionadas; sin embargo, también debieron enfrentarse a las raíces de números negativos. El famoso filósofo, matemático y físico de origen francés Descartes fue quien creó el término de números imaginarios en el siglo XVII, y recién más de 100 años más tarde sería aceptado el concepto de los complejos. Sin embargo, fue necesario que Gauss, científico alemán, lo redescubriera un tiempo después para que éste recibiera la atención que merecía. ¿Qué son los números complejos? Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo con la definición, es el que puede ser expresado por un número entero o uno decimal. Por el contrario, un número imaginario es aquel cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777. La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de abarcar a las raíces de orden par del conjunto de los números negativos. Los números complejos pueden, por lo tanto, reflejar a todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer. La columna vertebral de este sistema numérico es el número i, también conocido como la unidad imaginaria. Ejemplo:

i2 = -1

√−1 = i Todo número real o imaginario puede ser un número complejo, pero no todo número complejo debe de ser real o imaginario.

¿Qué importancia tienen los números complejos? Su mayor importancia se da en los campos de electrónica, ingeniería eléctrica y mecánica cuántica, obvio que tiene enfoques en más campos, pero estos son los más primordiales o los que más uso se les da. Si lo vemos solo desde un punto matemático una utilización perfecta para estos números es en la solución de polinomios o mejor dicho ecuaciones polinómicas.

Ejemplo: Ecuación polinomial x2 – 2x + 5 =0 no tiene soluciones reales ni imaginarias, pero si tiene solución en los complejos, dos para ser exactos, que son 1 + 2i y 1 – 2i.

¿Qué es el plano complejo? Para interpretar de manera geométrica los números complejos necesitamos un plano el cual llamaremos plano complejo. Al momento de realizar una suma esta se suele hacer una relación con la de los vectores, en cambio su multiplicación es posible expresarla mediante las coordenadas polares respecto a las siguientes características:

 La magnitud de su producto es la multiplicación de las magnitudes de los términos.  El ángulo que va desde el eje real del producto resulta de la suma los ángulos de los términos. A la hora de representar las posiciones de los polos y los ceros de una función en un plano complejo, a menudo se utilizan los denominados diagramas de Argand.

Aplicaciones de los números complejos en la electricidad: Los números complejos se utilizan para describir fenómenos como las corrientes alternas, las vibraciones mecánicas, los ritmos cardiacos, la actividad cerebral y ondas sísmica. Una de las aplicaciones de estos números es el cálculo de impedancias equivalentes en redes eléctricas a corriente alterna. “La impedancia eléctrica” para entrar en contexto es la oposición al flujo de la corriente eléctrica de cualquier circuito. Como no es de extrañarse en las empresas, industrias o demás podemos encontramos con problemas cómo los siguientes: 1. Vibraciones mecánicas. 2. Circuitos eléctricos. 3. Resonancia. Etc. En circuitos (y todo lo que tenga que ver con eso, como transformadores) son de gran ayuda al momento de trabajar con inductancias y capacitores. Debido a que las fuentes alternas más usadas son senoidales, las funciones de los capacitores e inductores pueden ser modeladas de manera fasorial. Esto es, de trabajar en el dominio del tiempo a trabajar en el dominio de la frecuencia. La letra para denotar los números imaginarios es la i cómo se mencionó anteriormente, pero cómo en la solución de circuitos eléctricos y demás la letra i es igual a corriente, la letra para denotar imaginarios pasa a ser la “J”.

Sinusoide ¿Qué es una señal sinusoidal?

Antes de dar una definición sobre lo que es una señal sinusoidal, vamos a definir lo que es una señal en el campo de estudio sea musical, sonoro o visual, señal es una variación en el tiempo o espacio de una magnitud física o de la naturaleza. La palabra sinusoide proviene del latín “sinus” que significa seno y del griego “Eidos” que significa forma, lo que quiere decir que es una curva en forma de seno, dada como una referencia a la geometría, siendo su seno el radio de la abscisa. La onda sinusoidal es una señal analógica simple, una sola señal un tono puro, “tono puro es una única frecuencia”, es periódica e infinita, no tiene principio ni tiene fin, toma el nombre según donde se dibuje la onda, puede ser senoidales que comienza en cero o coseidales que comienza a dibujar la señal en el valor máximo, igualmente puede ser proyectada desde cualquier punto y seguiría siendo sinusoidal. La porción mínima de una onda sinusoidal se denomina ciclo y el periodo es el resultado del tiempo que tarda el ciclo en ser repetido. Las ondas sinusoidales se utilizan para representar funciones de onda sonora y las ondas de corriente alterna.

Gráfico 1. Onda sinusoidal. Fuente: hyperphysics.phy [4]. La ecuación común de las sinusoides se da en función del tiempo (t) y es la siguiente: y ( t )= Asin ( 2 πft + φ) = Asin( ωt + φ )

Donde:

A: amplitud, la desviación máxima de la función desde cero. f: frecuencia ordinaria, el número de oscilaciones (ciclos) que ocurren cada segundo de tiempo. ω=2 πf : frecuencia angular, la tasa de cambio del argumento de la función

en unidades de radianes por segundo. φ : fase, especifica (en radianes) en que parte de su oscilación está en t =

0. El descubridor de esto y sus aplicaciones fue Joseph Fourier un matemático francés en 1822, agregando esto a sus series de Fourier, diciendo que las ondas sinusoidales se pueden utilizar como simples bloques de construcción para describir y aproximar cualquier forma de onda periódica, incluidas las ondas cuadradas. Fourier lo utilizó como herramienta analítica en el estudio de las olas y el flujo de calor. Se utiliza con frecuencia en el procesamiento de señales y el análisis estadístico de series de tiempo.

Fasores

¿Qué nos brinda los fasores en circuito? Los fasores brindan un medio sencillo para analizar circuitos lineales excitados por fuentes senoidales; las soluciones de tales circuitos serían impracticables de otra manera. La noción de resolver circuitos de causando fasores la propuso originalmente Charles Steinmetz en 1893. Pero antes de definir cabalmente los fasores y aplicarlos al análisis de circuitos, hay que familiarizarse por completo con los números complejos. Un número complejo z puede escribirse en forma rectangular como z=x + jy

Donde

j= √−1

El número complejo z también puede escribirse en forma polar o exponencial, como

donde r es la magnitud de z y ϕla fase de z. Se advierte entonces que z puede representarse de tres maneras:

Una manera de examinar las ecuaciones es considerar la gráfica en el plano complejo. Al aumentar el tiempo, el sinor rota en un círculo de radio Vm a una velocidad angular v en sentido contrario a las manecillas del reloj,

Referencias: 1.

2. 3.

4. 5. 6.

Introducción a números complejos: https://es.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:complex /x2ec2f6f830c9fb89:complex-num/a/intro-to-complex-numbers Definición de números complejos: https://definicion.de/numeroscomplejos/ Vivaldi Heredia (2013). https://es.slideshare.net/vivaldi54/trabajo27384868#:~:text=Se%20usan%20para%20describir%20fen %C3%B3menos,3. Ondas sinusoidales: http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbasees/Waves/funhar.html . Sinusoide: http://musiki.org.ar/Sinusoide Onda sinusoidal: https://es.qaz.wiki/wiki/Sine_wave#:~:text=En %201822%2C%20el%20matem%C3%A1tico%20franc%C3%A9s,peri %C3%B3dica%2C%20incluidas%20las%20ondas%20cuadradas%20.

7. Fasores: Libro. Fundamentos_de_circuitos_electricos-5ta_Edicion_Sadiku capitulo 9.3, página 325-328...