Circunferencia Resueltos 2 PDF

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Ejercicios de Circunferencia Resuelto de la Facultad Politecnica UNA...

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PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

4

LA CI RCU N FEREN CI A Encontrar la ecuación de la circunferencia sabiendo que sus extremos de un diámetro son los puntos A

2,3

yB

4, 1 .

Solución: C

h, k

es punto medio de AB h 1

!

k

1

Luego :

ˆ

C:

C

!

1,1

AB

r

2

52 2

x h2

y k2

r2

x 12

y 12

13

C : x2

! r2

y2 12x 12y 36

0

13

27

Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA

Obtener la ecuación de la circunferencia tangente a los dos ejes, radio 6, en el segundo cuadrante. Solución: Del gráfico, se deduce que C

h,k

6,6

es el centro

de la circunferencia y su radio r

ˆ

6.

x h2

C:

x 6

y k2

2

y 6

r2

2

36

C : x 2 y 2 12x 12y 36

0

Dada la ecuación de la circunferencia 3 x 2

3y 2

4y 7

el centro y el radio. Solución: Completand o cuadrados : ! 3 x2

3y2

4y 7 4 y 3

3 x 2 3 y2

28

ˆ

3x 2

3 y

x2

y

C

2 3 2 3

0,

2

0 4 9

2

7

4 3

25 3 25 9

2 ; r 3

; 5 3

de donde : h

0, k

2 3

0 , encontrar

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C y que es tangente a la recta: 3 x 2 y 12

4, 1

0 .

Solución:

Sea :

r

Distancia de C a

3

4

‹ : 3x 2y 12 0

Luego : ! r

2 3

2

1 2

12

2

12 2 12 13 26

26 13

13

ˆ C: x h 2

! r

2

2

r2

y 12

52

y k

52

Reemplazan do : C:

x 4

2

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A B

0,3

y C

4,0 ,

2, 2 .

Solución: Sea

C : x 2 y 2 Dx Ey F

0

A

4,0

C ! 16 4 D F

! B

0,3

C

!

!

C

2, 2

! 9 3E F

C !

Luego, de # ," y! :

0

2D 2E F

D

# "

0

19 ; E 13

8 5 ; F 13

! 132 13

29

Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA

En

:

ˆ

C : x2

y2

19 5 x y 3 13

2 13y 2 19x C : 13 x

132 13

0

5y 132

0

Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 10, tangente en el eje X, cuyo centro está sobre la recta x

2y .

Solución:

! Primer caso

‹ : x 2 y pero C C:

30

x h1 2 x

20 2

x2

y2

‹ ! h1 20 ; C

h1,10

y k1 2

r2

y 10 2

100

40 x 20 y

400

0

20,10

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

!

Segundo caso

‹ : x 2 y pero C C:

x h2

2

y k2

20 2

2

20 ; C

20, 10

r2

y 10 2

100

x 2 y 2 40 x 20 y

400

x

‹ ! h2

h 2, 10

0

La ecuación de una circunferencia es x 2

y2

50 . El punto medio de

una cuerda de esta circunferencia es el punto P

2,4 . Hallar la ecuación

de la cuerda. Solución:

Sea y

‹ 2 la recta que contiene a la cuerda referida

‹1la recta que pasa por el punto P y el centro de la circunfere ncia.

! Pendiente de

‹1 : m ‹1

4 0 2 0

2

Luego :

‹1 "!

‹2 "! m ‹ m ‹ 1

2 m‹

"! m‹

2

2

2

1

1

1 2

Luego : !

‹2 : y 4

1 x 2

2

‹2 : x 2y 10 0 31

Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA

Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en C que pasa por Q

4, 4 3

1, 4 3 .

Solución: De los datos, tenemos :

C:

x h2 x 4

! Q

ˆ

y k 2

2

y

43

42

x

2

r2

C

1, 4 3

C:

r2

4 3

y

1 42

! 2

4 3

4 3

2

r2 ! r2

289 9

Hallar el área del círculo cuya ecuación es: 9x 2

9y 2

72 x 12 y 103

0

Solución: Tenemos la ecuación de la circunferencia :

C : 9 x2

9 y2

72 x 12 y 103

0

Despejando el término independiente y completando cuadrados ! C : 9 x 2 9 y 2 72 x 12 y 9 x 2 8 x 16 4 2 9 y

9 x

x

32

ˆ

A

9 y2

42 r2

y

5

2 3

2 3

103 4 y 3

4 9

103 144 4

2

45

2

Donde : r 2

5

"!

A

5 u2

5

289 9

y...