2- Elipse - Ejercicios Resueltos PDF

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Ejercicios Resueltos...

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE MAR DEL PLATA FACULTAD DE INGENIERÍA ÁLGEBRA B

GUÍA 0: CÓNICAS 2.- ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Verificar que la siguiente ecuación

x2 8

2y

2

2 , corresponde a una elipse.

Graficarla y determinar centro, semiejes, focos y excentricidad:

Resolución: dividamos ambos miembros de la ecuación

x2 16

resulta

y

2

1

x2 8

2y

2

2 por 2

que corresponde a una elipse centrada en el origen

C(0;0), cuyo eje focal está sobre el eje x , corresponde a = 4 semieje mayor y b =1 semieje menor.

En la elipse se cumple la siguiente relación: donde reemplazando nos queda c 2 Luego

F1

( 15;0) y

F2

(

a2

b2 c2

16 1 ⇒ c

15;0) . Además

⇒ c2

15 .

e

c a

15 . 4

a 2 b 2 en

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2.- Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos están en el eje de las abscisas y son simétricos respecto del origen de coordenadas, sabiendo además que el diámetro mayor es 20 y e =

3 . 5

Resolución: En el ejercicio anterior se hace referencia a una elipse centrada en el origen cuyo eje 2

focal se encuentra sobre el eje x y cuya ecuación es

2

x 2 a

y 2 b

1

Luego teniendo en cuenta esto y los datos respecto del diámetro mayor planteamos 2a = 20 ⇒

a = 10 ,

y como e =

c a

x2 10 2

por lo tanto

3 ⇒c 5

3a 5

30 5

100 36

1

6.

Además si en toda elipse se verifica a 2 b2

y2 b2

b

2

c

2

64 . Luego nos queda

⇒ b x2 100

2

y2 64

2

a

c

2

1

3.- Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos están en el eje de ordenadas y son simétricos respecto del origen de coordenadas, sabiendo además que los diámetros 7 y 3.

Resolución: En el ejercicio se hace referencia a una elipse cuya ecuación es sus focos están ubicados en el eje y. Por ser dato las medidas de los diámetros resulta: 2b=3  b= 3/2

y

Luego nos queda

x2 9 4

2a = 7  a= 7/2.

y2 49 4

1

x2

y2

b2

a2

1, ya que

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4.- Dada la siguiente representación gráfica,

obtener la ecuación correspondiente.

Resolución: De acuerdo al gráfico corresponde a una elipse cuyo centro es focal es paralelo al eje x, es decir que su ecuación es .

5.- Dadas la siguiente ecuación 4 x 2

9y 2

( x 6) 2 a

( x 6) 36

Además como a = 6 y b = 4 la ecuación nos queda

48x 72y 144

C(6;4) y cuyo eje

2

2

( y 4) 2 b

2

1.

2

( y 4) 16

1

0 , llevarla a la forma

normal. Identificar (y verificar que gráficamente representa una elipse), determinar coordenadas del centro, sus semiejes y la excentricidad.

Resolución: Completando cuadrados y factoreando queda:

4( x 2

12x 36) 144 9( y 2 2

4( x 6)

9( y

2

4)

8 y 16) 144 144

0

144

dividiendo a ambos miembros por 144 y simplificando resulta 2

( x 6) 36

(y

4) 16

2

1 ecuación de una elipse con eje focal paralelo al eje x 2

donde C(6;-4) ; a = 6 ; b = 4 y como a

⇒ c=

20

2

b

2

c ⇒c

2

2

a

2

b

2 5 o sea F1 (6 2 5 ; 4) y F2 (6 2 5 ; 4) ; e

20 2 5 6

5 . 3

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9.- Determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que su distancia al eje de ordenadas sea el doble de su distancia al punto (3;2).

Resolución Se desea encontrar una expresión que represente a todos los puntos (x,y) que verifican que su distancia al eje de ordenadas es el doble de su distancia al punto (3,2). Para ello traduciremos al lenguaje simbólico basándonos en la definición de distancia entre dos puntos, teniendo en cuenta que el eje de ordenadas tiene ecuación x=0 y un punto genérica del eje es de la forma (0,y) para todo número real y. d [ (x;y), x=0 ] = 2 d [ (x;y),(3;2) ]  d [ (x ; y) , (0;y) ] = 2 d [ (x;y) , (3;2) ] . De acuerdo a las fórmulas de distancia queda

( x 0) 2

x

(y

2 ( x 3)2

y) 2

2 ( x 3) 2

( y 2) 2

( y 2)2

elevando ambos miembros al cuadrado

x2

4[( x 3)2

x2

4[( x 2

x2

4x 2

( y 2 )2 ]

desarrollando el primer cuadrado

6 x 9 ( y 2 )2 ]

distribuyendo el factor 4

24 x 36 4( y 2) 2

0

3x 2

0

3( x2

8x 16) 48 36 4( y 2)2

0

3( x

4)

3( x

24 x 36 4( y 2) 2

4 )2

2

4( y

4( y 2) 2

( x 4)2 4

2)

2

factoreando el primer trinomio

12

12

( y 2 )2 3

sacando factor común 3 y completando cuadrados

dividiendo ambos miembros por 12, resulta

1

que corresponde a la ecuación de una elipse con centro en C =(4;2) y eje focal paralelo al eje x.

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EJERCICIOS A RESOLVER 1.- Verificar que las siguientes ecuaciones corresponden a elipses. Graficarlas y determinar centro, semiejes, focos y excentricidad en cada caso: 2

a)

x 8

2y 2

2

b) 4 x 2

3 y2

1

c) 9 x2

25 y2

225

0

2.- Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos están en el eje de las abscisas y son simétricos respecto del origen de coordenadas, sabiendo además que: a) Su diámetro mayor es 10 y 8 la distancia entre los focos. b) La distancia entre los focos es 6 y la excentricidad c) El diámetro mayor es 20 y e =

3 . 5

3 . 5

3.- Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos están en el eje de ordenadas y son simétricos respecto del origen de coordenadas, sabiendo además que: a) Sus semiejes son 5 y 8. b) La distancia entre los focos es 24 y e =

12 . 13

4.- Dadas las siguientes representaciones gráficas, obtener en cada caso la ecuación correspondiente: a)

b)

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c)

5.-

Dadas las siguientes ecuaciones, llevarlas a la forma normal (completando

cuadrados) y verificar que gráficamente representan elipses. Determinar coordenadas del centro, los semiejes y excentricidad en cada caso:

a) 4 x 2 b) 16 x2 2

9y2 25y2 2

c)

9x

4y

d)

4x 2

10y 2

48 x 72 y 144

0

32 x 100y 284 36 x

0.

0.

20y 30

0.

6.- Determinar la ecuación de la elipse que tiene un vértice real en (0;-7) y su centro

14 ). 3

en el origen y pasa por el punto (1;

7.-

Una elipse tiene su centro en el origen y su eje menor en el de abscisas.

Determinar su ecuación sabiendo que la longitud del diámetro mayor es el doble de la del menor y que pasa por el punto (

7 ;3 ). 2

8.- Calcular la excentricidad de la elipse sisu eje menor se ve desde uno de los focos formando un ángulo de 60º.

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9.- a) Determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que su distancia al eje de ordenadas sea el doble de su distancia al punto (3;2). b) Determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que su distancia al eje de abscisas sea la mitad de su distancia al punto (2;0).

10.-

Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las elipses

siguientes en los puntos indicados: a) 2x 2 b) x2

3y 2 2y

2

5

0

8x

4y

en (1;-1).

0 en (8;0).

RESPUESTAS 1.-

a)

C (0;0)

b) C (0;0) a =

3 3

a= 4

b=

b= 1

1 2

 3 F1  0;   6 

F1 ( 15;0)

 F2 0; 

3 6

   

F2 (

15;0)

e = 0,5.

e=

15 4

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c)

C (0;0)

a= 5

2.- a)

x2 25

1

b)

x2 25

3.- a)

x 25

y 1 64

b)

x 25

4.- a)

( x 6) 36

5.- a)

( x 6) 2 36

2

y2 9 2

2

(y

(y

F1 ( 4;0)

b= 3

2

4) 16

4) 2 16

y2 16

c)

x2 100

2

2

y x 1 c) 169 1/ 4

2

1

1

b)

1 C(6;-4)

( x 2) 16

a=6

2

e =

F2 ( 4;0)

y2 64

1

2

y 5/4

( y 1) 9

1

2

2

1

c)

x 64

b = 4 F1( 6 2 5 ; 4)

2

y 100

1

4 5

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e=

F 2( 6 2 5 ; 4 )

( x 1) 25

c)

( x 2) 2 4

d)

x 10

2

2

6.-

2

b)

x 9/5

9.- a)

( y 2) 16 y2 9

( y 1) 4

5 3

2

1 C(-1;2)

1

C(2;0)

a=3

( x 4) 2 4

F2 ( 4;2)

F1(2; 5 ) F2 (2;

b=2

e=

5) e =

2

1 C(0;1)

a=

2

y 49

b = 4 F1 (2;2)

a=5

10

2

7.-

1

( y 2) 2 3

1

x 4

b = 2 F1 (

6 ;1) F2 ( 6 ;1) e=

2

y 16

1

b) ( x

2)

8.- e =

2

( y 1)

2

3 5 5 3 15 5

3 2

1 como a=b=1 es

un caso particular de elipse: circunferencia.

10.-

a) y t

yn

2 5 x 3 3 3 1 x 2 2

b) y t

yn

2x 16 1 x 2

4...