La elipse ejercicios resueltos PDF

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Ejercicios de elipse resuletos de Calvache para analizar...

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EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dada la elipse de ecuación 4𝑥 2 + 9𝑦 2 − 48𝑥 + 72𝑦 + 144 = 0 , hallar su centro, semiejes. Vértices y focos.

Afirmaciones

Justificaciones

(1)

(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 + =1 𝑎2 𝑏2

Forma ordinaria de la ecuación de la elipse

(2)

4𝑥 2 + 9𝑦 2 − 48𝑥 + 72𝑦 + 144 = 0

Hipótesis

(3)

4(𝑥 2 − 12𝑥 + 36) + 9(𝑦 2 + 8𝑦 + 16) = 144

Completo cuadrados para transformar a la forma ordinaria

(4)

4(𝑥 − 6)2 + 9(𝑦 + 4)2 = 144

De (3)

(5)

(𝑥 − 6)2 (𝑦 + 4)2 + =1 62 42

De (4)

(6)

(𝑥 − 6)2 (𝑦 + 4)2 + =1 36 16

De (5)

C (6; -4)

De (5) se obtiene la coordenada del centro de la elipse

(8)

a= 6

Semi eje mayor

(9)

b= 4

Semi eje menor

V1 (h-a; k)

Coordenada del vértice de una elipse trasladada, eje focal paralelo al eje x

V1(0, -4)

De (10)

V1 (h+a; k)

Coordenada del vértice de una elipse trasladada, eje focal paralelo al eje x

V2(12, -4)

De (12)

(7)

(10) (11) (12) (13)

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2

Relación fundamental de la elipse

(14) (15)

62 = 42 + 𝑐 2

De (14)

(16)

𝑐 = 2√5

De (15)

F1 (h-c; k)

Coordenada del foco de una elipse trasladada, eje focal paralelo al eje x

F1(6−2√5, -4)

De (10)

F1 (h+c; k)

Coordenada del foco de una elipse trasladada, eje focal paralelo al eje x

F2(6+2√5, -4)

De (12)

(17) (18) (19) (2)

2. Hallar la ecuación de la elipse de centro en (-3; 1), un extremo del eje menor en (-1; 1) si la curva pasa por el punto (-2; -2)

Afirmaciones

Justificaciones

(1)

C (-3; 1)

Hipótesis

(2)

V3(-1; 1)

Hipótesis

(3)

P (-2; -2) ∈ de la curva

Hipótesis

(4)

(𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 + =1 𝑏2 𝑎2

El centro y el extremo del eje menor tienen igual ordenada por lo tanto el eje menor es horizontal y la elipse es vertical.

(5)

b=XV3-Xc= -1-(-3) = 2

Semi eje menor

(6)

(𝑥 + 3)2 (𝑦 − 1)2 + =1 𝑏2 𝑎2

(1) Y (5) en ecuación (4)

(−2 + 3)2

+

(−2 − 1)2 =1 𝑎2

(3) en ecuación (6). Las coordenadas del punto satisfacen a la ecuación.

(9)

42 1 9 + =1 4 𝑎2 𝑎2 + 36 = 4𝑎2

(10)

3𝑎2 = 36

De (9)

(11)

𝑎2 = 12

De (10)

(12)

(𝑥 + 3)2 (𝑦 − 1)2 + =1 4 12

(5) y (11) en ecuación (6)

(7) (8)

De (7) De (8)...