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MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA). CAPÍTULO 3: CUERPOS RÍGIDOS. SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE DADO.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Octubre de 2015.

Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

3.3.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE DADO. El momento de una fuerza aplicada en A con respecto a un eje se obtiene mediante

M a  ua .(r  F )

(6)

ua : Vector unitario a lo largo del eje aa´. r: Vector posición trazado desde cualquier punto O sobre el eje aa´ hacia cualquier punto A sobre la línea de acción de la fuerza. F: Fuerza.

u ax M a  rx Fx

u ay ry Fy

u az rz Fz

(7)

uax , ua y , ua z : Componentes x, y, z del vector unitario que define la dirección del eje aa´. x, y, z: Componentes x, y, z del vector posición trazado desde cualquier punto O sobre el eje aa´ hacia cualquier punto A sobre la línea de acción de la fuerza.

Fx , Fy , Fz : Componentes x, y, z del vector fuerza F. El momento Ma de F con respecto a aa´ mide la tendencia de la fuerza F de impartirle al cuerpo rígido un movimiento de rotación alrededor del eje fijo aa´. Ejemplo 3.30. Ejemplo 4.8 del Hibbeler. Décima Edición. Página 142.

La fuerza F  (40 i  20 j 10 k) N actúa en el punto A mostrado en la figura. Determine los momentos de esta fuerza con respecto a los ejes x y a.

Solución. Momento respecto al eje x. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

Se han elegido los siguientes vectores para el cálculo del momento.

Vector unitario sobre el eje. Vector unitario sobre el eje: u x  i Vector posición trazado desde cualquier punto sobre el eje x hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza aplicada en A. Punto sobre el eje: O ( 0 , 0 , 0 ) Punto sobre la línea de acción de la fuerza: A ( 3 , 4 , 6 ) Vector posición: r  3i  4 j  6 k Fuerza. La fuerza se encuentra escrita en función de sus componentes rectangulares

F  40 i  20 j  10 k Momento.

1 0 0 M x   3 4 6  80 N.m  40 20 10 Momento respecto al eje a. Se han elegido los siguientes vectores para el cálculo del momento.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

Vector unitario sobre el eje. El eje está a lo largo de la línea OB. Coordenadas del punto O: ( 0 , 0 , 0 ) Coordenadas del punto B: (  3 , 4 , 0 ) Módulo del vector sobre el eje: OB  5

Vector sobre el eje: OB  3 i  4 j Vector unitario sobre el eje: uOB 

3i  4 j  0.6 i  0.8 j 5

Vector posición trazado desde cualquier punto sobre el eje OB hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza. Punto sobre el eje: B ( 3, 4 , 0 ) Punto sobre la línea de acción de la fuerza: A ( 3 , 4 , 6 ) Vector posición: r  6 k Fuerza. La fuerza se encuentra escrita en función de sus componentes rectangulares

F  40 i  20 j  10 k Momento.

M OB

 0 .6 0 .8 0  0 0 6  120 N.m  40 20 10

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

Comentario: Si para definir el vector posición r en lugar de elegir los puntos B y A, se hubiesen elegido los puntos O y A (figura), dicho vector posición habría resultado

r  3i  4 j  6 k , obteniéndose un momento

M OB

 0 .6 0 .8 0 4 6  120 N.m  3  40 20 10

Ejemplo 3.31. Ejemplo 4.9 del Hibbeler. Décima Edición. Página 143.

La barra mostrada en la figura está sostenida por dos ménsulas situadas una en A y la otra en B. Determine el momento MAB

producido

por

F  (40 i  20 j 10 k) N , que tiende a girar la barra con respecto al eje AB.

Solución. Se han elegido los siguientes vectores para el cálculo del momento. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

Vector unitario sobre el eje. El eje está a lo largo de la diagonal AB. Coordenadas del punto A: ( 0 , 0 , 0 ) Coordenadas del punto B: ( 0.4 , 0.2 , 0 ) Vector sobre el eje: AB  0.4 i  0.2 j Vector unitario sobre el eje: u AB 

Módulo del vector sobre el eje: AB  0.4472

0 .4 i  0 .2 j  0.8945 i  0.4472 j 0.4472

Vector posición trazado desde cualquier punto sobre el eje AB hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza. Punto sobre el eje: A ( 0 , 0 , 0 ) Punto sobre la línea de acción de la fuerza: D ( 0 , 0.2 , 0 ) Vector posición: r  0.2 j Fuerza. La fuerza se encuentra escrita en función de sus componentes rectangulares

F  600i  200 j  300 k Momento.

M AB

0. 8945 0. 4472 0 0 0. 2 0  53.67 N.m   600  300 200

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

Ejemplo 3.32. Problema 3.55 del Beer-Johnston. Novena Edición.

El marco ACD está articulado en A y en D y se sostiene por medio de un cable, el cual pasa a través de un anillo en B y está unido a los ganchos en G y H. Si se sabe que la tensión en el cable es de 450 N, determine el momento respecto de la diagonal AD de la fuerza ejercida sobre el marco por el tramo BH del cable.

Solución. Se han elegido los siguientes vectores para el cálculo del momento.

Vector unitario sobre el eje. El eje está a lo largo de la diagonal AD. Coordenadas del punto A: ( 0 , 0 , 0.75 )

Coordenadas del punto D: (1, 0 , 0 )

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Vector sobre el eje: AD  i  0.75 k Vector unitario sobre el eje: u AD 

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

Módulo del vector sobre el eje: AD  1.25

i  0.75 k  0 .8 i  0 .6 k 1.25

Vector posición trazado desde cualquier punto sobre el eje AD hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza BH. Punto sobre el eje: A ( 0 , 0 , 0.75 ) Punto sobre la línea de acción de la fuerza: B ( 0.5 , 0 , 0.75 ) Vector posición: r  0.5 i Fuerza.

F  F u BH

uBH: vector unitario de la dirección de la fuerza.

Coordenadas de los puntos B y H: B ( 0.5 , 0 , 0.75 ) , H ( 0.875 , 0.75 , 0 ) Vector BH: BH  0.375i  0.75 j  0.75 k

Módulo del vector BH: BH  1.125

0.375 i  0. 75 j  0.75 k  F  450    150 i  300 j  300 k 1.125   Momento.

0 .8

M AD

0

 0 .6  0 .5 0 0  90 N.m 150 300  300

Comentario: Si para definir el vector posición r en lugar de elegir los puntos A y B, se hubiesen elegido los puntos A y H (figura), dicho vector posición habría resultado r  0.875 i  0.75 i  0.75 k , obteniéndose un momento

M AD

 0 .6 0. 8 0  0. 875 0. 75  0. 75   90 N.m 150 300  300

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

Igual momento se obtiene cuando se eligen los puntos D y B, y D y H para representar el vector posición.

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

Ejemplo 3.33. Ejemplo 3.5 del Beer-Johnston. Novena Edición.

Sobre el cubo de lado a actúa una fuerza P, como se muestra en la figura. Determine el momento de P: a) con respecto a A, b) Con respecto a la arista AB y c) con respecto a la diagonal AG del cubo.

Solución. Se han elegido los siguientes vectores para el cálculo del momento.

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

Vector posición trazado desde el punto A hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza FC. Coordenadas del punto referencial de cálculo del momento: A ( 0 , a , a ) Punto sobre la línea de acción de la fuerza: F ( a , 0 , a ) Vector posición: r  a i  a j Fuerza.

FFC  P u FC

uFC: vector unitario de la dirección de la fuerza.

Coordenadas de los puntos F y C: F ( a , 0 , a ) , C ( a , a , 0 ) Vector FC: FC  a j  a k

Módulo del vector FC: FC 

2a

 a j ak  P P  FFC  P  j k  2a  2 2  Momento.

i MA  a 0

j a P 2

k 

0 P



aP 2

i

aP 2

j

aP 2

k

aP 2

(i  j  k )

2

i j k  P    M A  (a )   1 1 0  2  0 1 1

MA 

aP 2

(i  j  k )

b) Se han elegido los siguientes vectores para el cálculo del momento.

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

Vector unitario sobre el eje. El eje está a lo largo de la línea AB. Coordenadas del punto A: ( 0 , a , a ) Coordenadas del punto B: ( a , a , a ) Vector sobre el eje: AB  a i Módulo del vector sobre el eje: AB  a Vector unitario sobre el eje: u AB 

ai i a

Vector posición trazado desde cualquier punto sobre el eje AB hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza FC. Vector posición: r  a i  a j Fuerza.

FFC 

P P j k 2 2

Momento.

M AB

1  a 0

M AB

0 a P 2

0 0 P  2

1 0 0  P  aP    ( a) 1 1 0   2 2  0 1 1 

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

c) Se han elegido los siguientes vectores para el cálculo del momento.

Vector unitario sobre el eje. El eje está a lo largo de la línea AG. Coordenadas del punto A: ( 0 , a , a ) Coordenadas del punto G: ( a , 0 , 0 ) Vector sobre el eje: AG  a i  a j  a k Módulo del vector sobre el eje: AG  Vector unitario sobre el eje: u AG 

3a

1 1 1 ai  a j a k  i j k 3 3 3a 3

Vector posición trazado desde cualquier punto sobre el eje AG hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza FC. Vector posición: r  a i  a j Fuerza.

FFC 

P P j k 2 2

Momento.

M AG 

1 1  3 3 a a P 0 2



1 3

0 P  2

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

M AG

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

1 1 1  1   P      1 1 0 ( )   3 a  2   0 1 1   

M AG 

aP (1) 6

M AG  

aP 6

Ejemplo 3.34. Problema 4.55 del Hibbeler. Décima Edición. Página 145.

La cadena AB ejerce una fuerza de 20 lb sobre la puerta localizada en B. Determine la magnitud del momento de esta fuerza a lo largo del eje abisagrado x de la puerta.

Solución. Se han elegido los siguientes vectores para el cálculo del momento.

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

ua

r

Vector unitario sobre el eje. Vector unitario sobre el eje: u x  i Vector posición trazado desde cualquier punto sobre el eje x hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza aplicada en B. Punto sobre el eje: O ( 0 , 0 , 0 ) Punto sobre la línea de acción de la fuerza: A ( 3 , 0 , 4 ) Vector posición: r  3 i  0 j  4 k Fuerza.

FBA  F u BA

uBA: vector unitario de la dirección de la fuerza.

Coordenadas de los puntos A y B: A ( 3 , 0 , 4 ) z

B

20º y Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

B ( 0 , 3 cos 20º , 3 sen 20º ) B ( 0 , 2.8191,1.0261)

Vector BA: BC  3i  2.8191 j  2.9739 k . Módulo del vector BA: BA  5.0785 3 i  2.8191 j  2 .9739 k  FBC  20    11 .8145 i  11 .1021 j  11.7117 k 5 .0785  

Momento.

1 Mx  3 11. 8145

0 0 0 4 11.1021 11. 7117

M x  44.41 lb.pie Ejemplo 3.35. Problema 3.55 del Beer-Johnston. Octava Edición. La sección ABCD de una pasarela inclinada en voladizo mide 2.4 m de ancho y está parcialmente sostenida por los elementos EF y GH. Si la fuerza compresiva ejercida por el elemento EF sobre la pasarela en el punto F es de 24.3 kN, determine el momento de esa fuerza respecto al borde AD.

Solución. Se han elegido los siguientes vectores para el cálculo del momento.

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

Vector unitario sobre el eje. El eje está a lo largo de la línea AD. Ángulo entre la pasarela y el plano x z.

sen 

0.9 7.2

  7.18º Las coordenadas del punto D se determinan mediante trigonometría. Coordenadas del punto A: ( 0 , 0 , 0 ) Coordenadas del punto D: ( 7.2 cos 7.18º , 0.9 , 0 ) Vector sobre el eje: AD  7.1435 i  0.9 j Módulo del vector sobre el eje: AD  7.2 Vector unitario sobre el eje: u AD 

7.1435 i 0.9 j  0.9922i  0.1250 j 7.2

Vector posición trazado desde el punto A hacia cualquier punto sobre la línea de acción de la fuerza FC. Coordenadas del punto referencial de cálculo del momento: A ( 0 , 0 , 0 ) Punto sobre la línea de acción de la fuerza: E ( 2.1,  0.9 , 0 ) Vector posición: r  2.1i  0.9 j Fuerza. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

FEF  FEF u EF

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

uEF: vector unitario de la dirección de la fuerza.

Coordenadas de los puntos E y F: E ( 2.1,  0.9 , 0 ) , F ( 2.4 cos 7.18º , 2.4 sen 7.18º , 2.4 ) Vector EF: EF  0.2812i  1.20 j  2.4 k

Módulo del vector EF: EF  2.70

 0.2812i  1.20 j  2.4k  FFC  24.3    2.5308 i  10.8 j  21.6 k 2.70  

Momento.

M AD

0. 9922 0. 1250  2 .1 0.9 2. 5308 10 .8

0 0  24 .96 kN.m 21 .6

Ejercicios propuestos. 65. La tapa ABCD de un baúl de 0.61×1.00 m tiene bisagras a lo largo de AB y se mantiene abierta mediante una cuerda DEC que pasa sobre un gancho en E sin fricción. Si la tensión de la cuerda es de 66 N, determine el momento de la fuerza ejercida sobre la cuerda en D respecto de cada uno de los ejes coordenados. Respuesta:

M x  31.2 N.m ,

M y  13.20 N.m ,

M z  2.42 N.m .

Figura Problemas 65 y 66.

66. La tapa ABCD de un baúl de 0.61×1.00 m tiene bisagras a lo largo de AB y se mantiene abierta mediante una cuerda DEC que pasa sobre un gancho en E sin fricción. Si la tensión de la cuerda es de 66 N, determine el momento de la fuerza ejercida sobre la cuerda en C respecto de cada uno de los ejes coordenados. Respuesta: M x  25.6 N.m , M y  10.80 N.m , M z  40.6 N.m .

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

67. El marco ACD está articulado en A y en D y se sostiene por medio de un cable, el cual pasa a través de un anillo en B y está unido a los ganchos en G y H. Si se sabe que la tensión en el cable es de 450 N, determine el momento respecto de la diagonal AD de la fuerza ejercida sobre el marco por el tramo BG del cable. Respuesta: –111.0 N.m. 68. La placa triangular ABC se sostiene mediante soportes de rótula en B y D y se mantiene

en

la

posición

mostrada

mediante los cables AE y CF. Si la fuerza ejercida por el cable AE en A es de 55 N, y la fuerza ejercida por el cable CF en C es de 33 N, determine el momento de esa fuerza respecto de la línea que une los puntos D y B.

Figura Problemas 68 y 69.

Respuesta: 2.28 N.m.

69. La placa triangular ABC se sostiene mediante soportes de rótula en B y D y se mantiene en la posición mostrada mediante los cables AE y CF. Si la fuerza ejercida por el cable CF en C es de 33 N, determine el momento de esa fuerza respecto de la línea que une los puntos D y B. Respuesta: –9.50 N.m. 70. Un letrero erigido sobre suelo irregular se sostiene mediante los cables atirantados EF y EG. Si la fuerza ejercida por el cable EF en E es de 46 lb, determine el momento de esa fuerza alrededor de la línea que une los puntos A y D. Respuesta: 1359 lb.in.

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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza.

Momento de una fuerza respecto a un eje dado.

71. Un letrero erigido sobre suelo irregular se sostiene mediante los cables atirantados EF y EG. Si la fuerza ejercida por el cable EG en E es de 54 lb, determine el momento de esa fuerza alrededor de la línea que une los puntos A y D.

Figura problemas 70 y 71. 72. Un tetraedro regular tiene seis lados de longitud a. Si una fuerza P se aplica a lo largo del borde BC como se muestra en la figura. Determine el momento de la fuerza P alrededor del borde OA. Respuesta:

aP . 2

...