Clase 1 ejercicios resueltos PDF

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Resolución de angulos, teoremas de pitagoras, teorema de thales, otros...

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Ángulos. ¿Qué es un ángulo? Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tiene un origen común. Partes de un ángulo  En un plano, dos semirrectas con un origen común siempre generan dos ángulos.  En el dibujo, podemos ver dos, el A y el B.  Están compuestos por dos lados y un vértice en el origen cada uno.

Tipos de ángulos Hay varios tipos según su tamaño: 

Ángulo agudo: Mide menos de 90° y más de 0 °.



Ángulo recto: Mide 90° y sus lados son siempre perpendiculares entre sí.



Ángulo obtuso: Mayor que 90° pero menor que 180°.



Ángulo llano o extendido: Mide 180°.

Tipos de ángulos por su suma 

Complementarios



Suplementarios

Decimos que dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º (ángulo recto).

En este caso 70 ° y 20 ° son complementarios porque 70° + 20° = 90°.

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180º (ángulo llano, o extendido).

Tipos de ángulos por su posición 

Consecutivos



Adyacentes



Opuestos por el vértice

Los

ángulos

que

tienen

el

vértice

y

un

lado

común

se

llaman ángulos consecutivos.

Los ángulos ① y ② son consecutivos ya que comparten el vértice y uno de los lados. Dos ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano, sin poseer ningún punto interior en común.

Dos ángulos opuestos por el vértice tienen el vértice común y sus lados son semirrectas opuestas. Siempre tienen igual medida, ya que tienen la misma amplitud.

El triángulo El triángulo, tiene tres ángulos, tres vértices y tres lados. Esto la convierte en la figura geométrica con menor número de lados y ángulos que se puede construir. Hay varios tipos diferentes de triángulos. Pero la diferencia entre ellos no depende del tamaño ni de la posición, sino de la medida de sus ángulos. Un dato importante es que la suma de las medidas de sus tres ángulos interiores siempre es 180º y la suma de las medidas de sus tres ángulos exteriores siempre es 360º. Es una propiedad de todos los triángulos.

Clases de triángulos según la relación entre sus ángulos: Triángulo equilátero

El triángulo equilátero es aquel triángulo que tiene los tres lados de igual longitud. En consecuencia, las medidas de sus ángulos internos serán iguales y su valor de cada uno es 60°.

Propiedades del Triángulo Equilátero Propiedad N° 01: En un triángulo equilátero las líneas notables: Mediana, Bisectriz, Altura y Mediatriz son iguales en segmento y longitud. Véase la Figura: 01.

Propiedad N° 02: Al trazarse cualquier línea notable: bisectriz, altura, mediana y mediatriz en un triángulo equilátero, estas dividen al triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos congruentes (véase Figura: 02). En cualquiera de estos triángulos se puede aplicar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas de 30° y 60° (véase la Figura: 03).

c 2=a 2 + b2 =¿ c = √a2+ b2

a2=c 2−b2=¿ a=√ c 2−b2 c=10

a=6

2

2

2

c =a +b 2 2 2 c =6 +8 c 2=36+64

b=8

2 / √❑ c =100 c= √ 100 c=10

Propiedad N° 03: En un triángulo equilátero los puntos notables: baricentro, incentro, circuncentro y ortocentro coinciden en un mismo “punto” y se cumple que la distancia de dich u distancia a la base. Véase la figura 0

Perímetro del Triángulo Equilátero El perímetro de un triángulo se define como la suma de las longitudes de los lados. Entonces calcular el perímetro del triángulo equilátero será fácil, solo tenemos que conocer su lado y sumarlo tres veces, que sería lo mismo el lado multiplicado por tres, veamos:

De esta figura, la longitud del lado del triángulo equilátero es“a”: ⇒ Perímetro del Δ ABC = a + a + a = 3*a La altura de un triángulo equilátero se puede calcular rápidamente de dos formas, que sería por el teorema de Pitágoras o por razones trigonométricas. En cualquiera de los dos métodos se requiere conocer el lado del triángulo equilátero.

Método 1: TEOREMA DE PITÁGORAS

c

a=6 b

a/2=3 2

2

a

2

c =a + b 62=3 2+b2 2 2 2 b =6 −3 b2=36− 9 2 b =27

b=√ 9∗3 b=√ 9∗ √ 3

b=√ 27

= 5,196152

b=3 √ 3 El teorema de Pitágoras nos permite calcular la altura del triángulo equilátero de forma sencilla. En la Figura: 07, aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo BHC: h2= a2– (a/2 )2= (3/4)a2 Simplificando tenemos:

Método 2: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Por trigonometría la altura de un triángulo equilátero también se calcula rápidamente. En la Figura: 07, aplicamos razón trigonométrica de 60° en el triángulo rectángulo BHC: h = a * sen60°

Área de un Triángulo Equilátero El área del triángulo equilátero se calcula partiendo de la fórmula para hallar área de la región de cualquier triángulo: “(Base x Altura) /2”.

En la Figura: 08, sea “A” el área del triángulo equilátero ABC (área de la región triangular equilatera). Entonces: A = (Base x Altura) /2 = (a.h)/2…(1) La altura (h) en función de “a” lo hemos calculado y es: h = (a√3)/2. Reemplazando en (1), tenemos la siguiente fórmula para calcular el área del triángulo equilátero en función del lado:

Ejercicio 01: En el triángulo equilátero que se muestra la altura BH mide √3m. Calcular el perímetro y el área de la región triangular ABC.

a ´ HC= 2 H = √3 a

√3 a/2

Perímetro del triángulo P= 3a P= 3*2 = 6 Area =

b∗h 2∗√ 3 = =√3 2 2

2 a 2 ( ) +( √3) =a2 2 a2 +3=a2 /*4 4

a2 +12=4 a 2 2 2 12=4 a −a 12=3 a 2 12 =a2 3 a2=4 a=2...