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Composición y descomposición de fuerzas

Física

Fuerzas El mejor ejemplo de fuerza es la medida con la que podemos empujar o mover un cuerpo. Una definición más apropiada es que una fuerza implica una interacción entre dos cuerpos o entre un cuerpo y su entorno. Es sencillo destacar que siempre que nos referimos a la fuerza, aludimos a la acción que un cuerpo ejerce sobre otro. La fuerza es una magnitud vectorial y, por ello, es representada por un vector, pues tiene magnitud, dirección y punto de aplicación. Figura 1: Conceptos de fuerza

Fuente: Young y Freedman, 2009, p. 108.

Figura 2: Concepto de fuerza normal y de fricción

Fuente: elaboración propia.

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Fuerza normal La fuerza normal, [representada por la letra N (Figura 2)] es ejercida sobre un objeto por cualquier superficie con la que esté en contacto. El adjetivo normal significa que la fuerza siempre actúa perpendicular a la superficie de contacto, sin importar el ángulo de esa superficie. En cambio, la fuerza de fricción, [representada por la letra f en la Figura 2, es ejercida sobre un objeto] por una superficie y actúa paralela a la superficie, en la dirección opuesta al deslizamiento. La fuerza del tirón ejercida por una cuerda o por un cordel tenso sobre un objeto al cual se ata se llama fuerza de tensión [ y está representada por la letra F en Figura 1.] Existen también las fuerzas que resultan de la interacción entre el cuerpo y su entorno. Se llaman fuerzas de largo alcance y pueden actuar, aunque los cuerpos estén separados entre sí por un vacío. Un típico ejemplo de ello es la fuerza (de atracción o repulsión, en función a cómo los acomodemos) entre dos imanes, como también la más universal de este tipo de fuerzas: la fuerza de gravedad. La fuerza con la que la tierra atrae a cualquier cuerpo hacia sí se llama peso del cuerpo. (Young y Freedman, 2009, p. 108).

Medida de una fuerza. Sistemas de fuerzas de la unidad Para describir una fuerza, [la cual recordemos que es una magnitud vectorial], debemos indicar la dirección en la cual actúa, así como su magnitud, es decir, la cantidad que describe “cuánto” o “qué tanto” la fuerza empuja o tira y su punto de apoyo o aplicación. La unidad de magnitud de fuerza en el SI es el newton, que se [abrevia con la letra N y equivale a otorgarle una aceleración de 1 metros por cada segundo al cuadrado, a una masa de 1 kg de masa]. El instrumento que se utiliza normalmente para medir las fuerzas es la varilla de resorte, o dinamómetro, que no es más que un resorte calibrado que se estira en función de la fuerza que realizamos, luego medimos esa elongación [la comparamos con la escala de calibración, y así] hemos hallado el valor de la fuerza. En la figura 5 se miden el tirón y

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el empujón ejercidos sobre la caja de ejemplo. En ambos casos, existe un vector que representa la dirección con la que realizamos el movimiento. (Young y Freedman, 2009, p. 109). Figura 3: ¿Cómo medimos una fuerza?

Fuente: Young y Freedman, 2009, p. 109.

Cuanto más grande sea el vector, ¿más grande será la magnitud de la fuerza?

Figura 4: Sistemas de fuerzas de la unidad

Fuente: Young y Freedman, 2013, p. 106.

El sistema de fuerzas tendrá vital importancia en el estudio de la física, pues las implicancias de este sencillo concepto son simplemente geniales. Todas las fuerzas que actúen sobre un cuerpo podrán siempre reemplazarse por una única fuerza, a la que denominaremos resultante. Esta será la suma

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vectorial de todas las anteriores y actuará en el mismo punto de aplicación, por lo que reemplazará el efecto de aquellas. Dada una fuerza, siempre puede concebirse la posibilidad de anularla y, por lo tanto, de invalidar sus efectos al aplicar una fuerza de la misma intensidad que la resultante, que actúe sobre la misma recta de acción, pero en sentido contrario. Llamamos opuestas a las fuerzas aplicadas en la misma recta de acción que tienen la misma intensidad y sentido contrario. En particular, denominaremos equilibrante a la fuerza opuesta a la resultante.

Si quisiéramos anular el efecto de la fuerza resultante, ¿dónde deberíamos agregar una fuerza? ¿De qué magnitud? ¿Con qué dirección?

Composición y descomposición de fuerzas La composición de fuerzas concurrentes tiene por objeto reemplazar todas las que actúan sobre una partícula por una sola fuerza, llamada resultante, que produce el mismo efecto sobre aquella. Como vimos en la Figura 4, sobre la caja actuaban las fuerzas F1 y F2. La fuerza R es la resultante; para obtenerla, aplicaremos primero el método gráfico y utilizaremos la ley del paralelogramo. La ley del paralelogramo para la adición de dos fuerzas consiste en construir un paralelogramo utilizando las fuerzas F1 y F2 como sus lados. La diagonal R que parte del punto O y llega al extremo del paralelogramo es la resultante de las dos fuerzas anteriores. Como las fuerzas F1 y F2 tenían una dirección y un módulo, la resultante R también lo tendrá.

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Figura 5: Composición de fuerzas

Fuente: Young y Freedman, 2013, p. 110.

La descomposición de fuerzas consiste en reemplazar una sola fuerza por dos o más que produzcan sobre la partícula, juntas, el mismo efecto de la fuerza que es reemplazada. A estas se les llama componentes de la fuerza original F. Como puede suponerse, existe un número infinito de posibilidades para cada sistema.

Fuerzas concurrentes. Momento de fuerzas concurrentes. Teorema de Varignon Un sistema de fuerzas es un conjunto particular de fuerzas que se intersecan en un punto. Si la línea de acción de todas esas fuerzas pasa por un mismo punto o por una partícula, estas son concurrentes. Si el conjunto de fuerzas está contenido en un mismo plano, entonces las fuerzas se llaman coplanares o bidimensionales. La siguiente figura ejemplifica un sistema de fuerzas concurrentes en el plano.

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Figura 6: Fuerzas concurrentes

Fuente: Beer, Russell y Eisenberg, 2010, p. 16.

Cuando se grafican fuerzas, generalmente se respetan escalas para tener una idea de la magnitud de la fuerza aplicada; los otros puntos, la dirección y el sentido, quedan definidos por la ubicación de la flecha respecto de los ejes. Las fuerzas son concurrentes, también, cuando la recta de acción de las fuerzas pasa por un mismo punto del cuerpo.

Momento de fuerzas concurrentes El concepto de momento se define de la siguiente manera (simplificando fuerzas internas que se oponen al movimiento): si se aplica sobre un cuerpo una fuerza F a una distancia r de un eje fijo dado, se lo podrá girar. En la Figura 7, vemos una fuerza F que actúa sobre un punto A del cuerpo rígido.

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Figura 7: Momento de fuerzas

Fuente: Beer, Russell y Eisenberg, 2010, p. 81.

El momento de una fuerza F con respecto a un punto O se define como el producto vectorial de r y F, y se escribe: MO = r × F. De acuerdo con la definición del producto vectorial, el momento MO debe ser perpendicular al plano que contiene al punto O y a la fuerza F. El sentido de MO se define por la regla de la mano derecha. Se debe ir cerrando la mano derecha de manera que los dedos se vayan plegando sobre la palma en el mismo sentido de la rotación que la fuerza F generaría sobre el cuerpo rígido en función del eje fijo dirigido que pasa por la línea de acción de MO. Realizando este movimiento, el dedo pulgar de la mano derecha indicará el sentido del momento. Cuando representamos una magnitud vectorial, por caso, la fuerza F, si usamos la letra F, estamos refiriéndonos solo a su magnitud, en tanto que, si la representamos por la letra en negritas F, entonces nos referimos a ella como un vector, es decir, además de su magnitud o intensidad, se alude a su dirección, su sentido y su punto de apoyo o aplicación. La regla de la mano derecha se aplica en estructuras de determinada longitud y ancho, donde se desprecia su espesor. Pero existe otra relación muy simple e importante. Si tomamos en cuenta el movimiento natural de las agujas de un reloj, podemos entender rápidamente el sentido positivo o negativo que tendrá el momento. Cuando una fuerza aplicada tienda a hacer rotar el plano en sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj, por convención, al momento se le asigna valor positivo: MO = +r × F. En el caso de que la fuerza F sea ortogonal al vector posición r, entonces el producto vectorial es directamente el producto de sus módulos, en tanto que si entre ellos hay un ángulo, el cual es distinto a 90°, entonces debemos multiplicarlo por el seno del ángulo que forman r y F. Análogamente, cuando la fuerza aplicada tienda a hacer rotar la placa en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj, por convención, se le asigna valor negativo: MO = -r × F.

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Teorema de Varignon Dijimos previamente que las fuerzas son vectores. Las operaciones que realicemos con fuerzas podrán tomarse, sin ningún miedo a equivocarnos, como operaciones matemáticamente vectoriales. La aplicación de la propiedad distributiva de los productos de vectores es útil para determinar el momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes. Pierre Varignon descubrió esto y lo postuló así: el momento con respecto a un punto dado ‘O’ de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto ‘O’. Esto es, si las fuerzas F1+F2+F3+F4 se aplican sobre un punto A y si r es el vector de posición de A, entonces el momento con respecto al punto O será: r (F1+F2+F3+F4) = rF1 + rF2 + rF3 + rF4. Es decir, el momento de la suma de varias fuerzas es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas. Figura 8: Teorema de Varignon

Fuente: Beer, Russell y Eisenberg, 2010, p. 83.

En términos estadísticos, el centro de masa es una posición media ponderada de la masa de las partículas.

Centro de gravedad. Centro de masa. Cupla o par de fuerzas El peso de cada cuerpo es el producto de la masa del cuerpo por la constante gravitacional de la tierra, también denominada aceleración de la gravedad. La forma geométrica de cada cuerpo permite encontrar un punto donde puede considerarse centrado todo su peso. Ese será su centro de gravedad, el cual podrá pertenecer al cuerpo o estar fuera de él.

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Figura 9: Distintas ubicaciones del centro de gravedad

Fuente: Beer, Russell y Eisenberg, 2010, p. 220.

Una manera útil de encontrar el centro de gravedad de figuras complejas es descomponer cada figura en figuras más simples, como un conjunto de  del centro de gravedad G de objeto cilindros, cubos, esferas, etc. La abscisa X de interés, puede determinarse a partir de las abscisas x1, x2, xn, de los centros de gravedad de las diferentes partes que constituyen la figura, expresando que el momento producido por el peso de toda las figuras con respecto al eje y es igual a la suma de los momentos de los pesos de las  del centro de diferentes partes con respecto a ese mismo eje. La ordenada Y gravedad de la placa se encuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al eje x. ∑ MY: X (W1 + W2 + Wn) = x1W1 + x2W2 + xnWn. Podrás encontrar un ejemplo de cómo se busca el centro de masa de una molécula de agua acudiendo a Young y Freedman (2013).

∑ MX: Y (W1 + W2 + Wn) = y1W1 + y2W2 + ynWn. Estas ecuaciones pueden utilizarse para resolver el caso de la placa de la Figura 9. Como estamos hablando de momentos, es muy importante tener en cuenta los signos de cada figura simple y luego sumar o restar según corresponda.

Figura 10: Descomposición de la figura en formas más simples

Fuente: Beer, Russell y Eisenberg, 2010, p. 226.

Centro de masa Podemos replantear el principio de conservación del momento lineal en una forma útil usando el concepto de centro de masa. Supongamos que tenemos 10

varias partículas con masas m1, m2, etcétera. Las coordenadas de m1 son (x1, y1), las de m2 son (x2, y2) y así sucesivamente. Definimos el centro de masa del sistema como el punto con coordenadas (x cm, ycm) dadas por las ecuaciones mostradas, a continuación, en la Figura 11.

Figura 11: Coordenadas del centro de masa

Fuente: Young y Freedman, 2009, p. 356.

El vector de posición del centro de masa se puede expresar en términos de los vectores de posición de las partículas, observe la Figura 12. Figura 12: Equivalencia de las ecuaciones de coordenadas

Fuente: Young y Freedman, 2009, p 356.

Cupla o par de fuerzas Un par de fuerzas es la combinación de dos fuerzas que tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos. Es obvio entonces que, cuando realicemos la suma de las componentes de las dos fuerzas en cualquier dirección, será igual a cero. ¡Pero cuidado! La suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto dado no es cero, sino que tenderán a hacerlo rotar; esto lo aplicamos cotidianamente cuando abrimos una canilla.

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Figura 13: Par de fuerzas en acción

Fuente: Beer, Russell y Eisenberg, 2010, p. 107.

El vector M se conoce como el momento del par y es perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas. La magnitud está dada por: M = r × F × sen θ = F × d. Aquí, d es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de F y -F. El sentido de M está definido por la regla de la mano derecha. Es importante destacar que el vector r es independiente de la elección del origen ‘O’ de los ejes coordenados, por lo que podría obtenerse el mismo resultado si los momentos de F y -F se hubieran calculado con respecto a un punto ‘O’. Por tanto, el momento M de un par es un vector libre que puede ser aplicado en cualquier punto.

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Referencias Beer, E., Russell, A. y Eisenberg, A. (2010). Mecánica vectorial para ingenieros, estática (9.a ed.). MX: McGraw Hill. Maroto Centeno, J. (s. f.). Introducción a las máquinas simples y compuestas. Andalucía, ES: Universidad de Jaén. Recuperado de http://www4.ujaen.es/~jamaroto/MAQUINAS%20SIMPLES%20Y%20COMPUESTA S.pdf Young, H. y Freedman, R. (2009). Física universitaria (Vol. 1, 12.a ed.). MX: Pearson.

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