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Cinemática sistema de fuerzas Stalin Cázares...

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ESTÁTICA

SISTEMAS DE FUERZAS Y EQUILIBRIO

Segunda Subunidad

FÍSICA, PRIMER TOMO

ASAJ-053

ESTÁTICA

SISTEMAS DE FUERZAS Y EQUILIBRIO

Segunda Subunidad

SISTEMAS Y

DE

FUERZAS

EQUILIBRIO

En esta subunidad se aplicarán muchos de los conceptos matemáticos estudiados en la sección anterior, Elementos de Álgebra Vectorial. Podemos considerar que éste es el primer capítulo que pertenece propiamente al ámbito de la Física, correspondiente a la gran rama llamada Mecánica. Aunque más adelante se definirá de una manera más rigurosa el concepto de fuerza, para esta sección vamos a aceptar que una “fuerza es la causa física capaz de alterar la condición de movimiento o de reposo de una partícula o cuerpo”. La fuerza es una cantidad vectorial, muy importante, de modo que su completa descripción requiere de magnitud, dirección y sentido, por ejemplo:  F  800 N ; 30  ; 60 

o:





    F  600 i  580 j  750 k N

Puesto que una fuerza puede alterar la condición de movimiento de un cuerpo (conocido también como sistema de partículas), es necesario conocer un dato adicional acerca de la misma: se trata del “punto de aplicación”, ya que una misma fuerza, al ser aplicada en diferentes puntos del cuerpo, producirá efectos cinemáticos o movimientos diferentes. Para comprender mejor esto veamos la figura anexa: en ambos casos se 

aplica el mismo vector fuerza F , pero en puntos diferentes, lo cual causará movimientos subsiguientes diferentes: en el primer caso el cuerpo se pondrá en movimiento de traslación hacia la derecha, sin ningún tipo de rotación; en el segundo caso el cuerpo se pondrá en traslación hacia la derecha, pero presentará además un movimiento de rotación antihoraria. Vemos pues la importancia de conocer el punto de aplicación de una fuerza. FÍSICA, PRIMER TOMO

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1.2.1 COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES OBJETIVOS DE TEMA: Analizar y sintetizar los conceptos relacionados con el tema. Descubrir y aprender las reglas para la composición de fuerzas concurrentes. Aplicarlas correctamente a la solución de los problemas propuestos. Admirar el trabajo de quienes elaboraron esta teoría.

Composición de fuerzas significa “suma vectorial de las mismas”. Se llaman fuerzas concurrentes aquellas cuyas rectas directrices se intersectan en un punto común C, conocido como punto de concurrencia, sin importar ni el sentido ni los puntos de aplicación de dichas fuerzas, como se muestra en la figura 1.2.1.1. Un sistema de fuerzas concurrentes puede darse tanto en el plano como en el espacio. Entonces, se llama composición de fuerzas concurrentes la suma vectorial de las fuerzas cuyas rectas directrices pasan por un punto común. Cuando las fuerzas están expresadas en forma analítica y no se indican los puntos de aplicación de las mismas, se supondrá que dichas fuerzas son concurrentes y que el punto de concurrencia es el origen del siste ma de referencia utilizado. La com posición de fuerzas concurrentes da como resultado una sola fuerza, conocida con el nom bre de “fuerza resultante” o simplemente “resultante”, la cual provocará por sí misma los mismos efectos dinámicos sobre el cuerpo que el producido por el conjunto de fuerzas concurrentes.

Figura

1.2.1.1

 La fuerza resultante se simboliza con R y está dada por:       R   Fi  F1  F2  F3  ....... Fn

(1.2.1.1) 

NOTA: La recta directriz de la fuerza resultante R pasa también por el punto de concurrencia C.

Ejercicio modelo 1.2.1.1 Halle la resultante de las siguientes fuerzas concurrentes:

 

  F1  20 i  30   F3  10 i  20

 

  j  25 k N ;   j  20 k N ;

 

  F 2  30 i  10   F4  5 i  10

 

  j  15 k N ;   j  10 k N

Tenemos:  F1  F2  F3  F4

   

N N N





    20 i  30 j  25 k     30 i  10 j  15 k     10 i  20 j  20 k      5 i  10 j  10 k

luego:

N

    R  55 i  50 j  20 k N

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o, equivalentemente:  R  5 925 N ; 44 ,396 ; 130 ,509 ; 105 ,060 

Ejercicio modelo 1.2.1.2 Halle la resultante de las siguientes fuerzas concurrentes:

    F1  200 N ; 60  ; 150  ; F2  300 N ; 20  ; 70  ; F 3  400 N ; 80  ; 10  y F4  500 N ; 150  ; 60  .

Vemos que todas las fuerzas están en el plano y que están expresadas en forma trigonométrica. Las podríamos sumar en forma trigonométrica de la siguiente forma: sumamos las dos primeras, su resultante sumamos con la tercera, la nueva resultante sumamos con la cuarta y hallamos la resultante final. Hacerlo así es largo y difícil. Lo mejor es expresar las cuatro fuerzas en forma analítica y luego proceder a determinar la resultante; es lo que haremos ahora:  F1  F2  F3  F4

   



   200 Cos 60 i  200 Cos 150 j N    300 Cos 20 i  300 Cos 70 j N    400 Cos 80 i  400 Cos 10 j N    500 Cos 150 i  500 Cos 60 j N

luego:



 





   R  18 ,354 i  573 ,324 j N

o equivalentemente:  R  573 ,618 N ; 88 ,166  ; 1,834 

ACTIVIDADES: a) Marque verdadero (V) o falso (F): 1- Una fuerza: -

es una cantidad vectorial. requiere de punto de aplicación. altera el estado de movimiento de un cuerpo. se mide en newtons. puede frenar el movimiento de un cuerpo.

( ( ( ( (

) ) ) ) )

( ( ( ( (

) ) ) ) )

2- Fuerzas concurrentes son: -

las únicas que se deben sumar vectorialmente. las que se aplican en un mismo punto. aquellas cuyas rectas directrices se intersectan en un punto común. las que sumadas dan la fuerza resultante. las que se hacen presentes cuando se las llama.

b) Resuelva, en su cuaderno de ejercicios, los siguientes problemas: 1- Un poste se mantiene vertical mediante un cable fijo al mismo, a 6 m de altura, y fijo a una estaca en el suelo, a 7 m de la base del poste. Si la fuerza que soporta el cable (tensión) es de 4 880 N, halle la magnitud de las com ponentes horizontal y vertical de la tensión que el cable ejerce sobre el poste. FÍSICA, PRIMER TOMO

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2- Un bloque de 560 N reposa sobre una superficie horizontal lisa (sin rozamiento). Se le empuja con una fuerza de 340 N que forma un ángulo de 40° con la horizontal. Calcule la magnitud de las componentes perpendicular y paralela al piso de la fuerza resultante (peso más fuerza aplicada). Vea la figura. 3- Un plano inclinado liso (sin rozamiento) tiene 4 m de alto y 14 m de largo. Sobre el plano se encuentra un bloque de 3 800 N en reposo atrancado por un tope. Calcule las fuerzas que el bloque ejerce sobre el plano inclinado y sobre el tope. 4- Determine la fuerza resultante debida al siguiente conjunto de fuerzas concurrentes:   F1  2 600 N ; 30 ; 60  ; F2  3 200 N ; 120 ; 30  ;   F3  4 800 N ; 50  ; 140  ; F4  3 400 ; 140  ; 130 

5- Encuentre la resultante de cada uno de los siguientes sistemas de fuerzas:

Puente, ejemplo de estructura estática. FÍSICA, PRIMER TOMO

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1.2.2 T O R Q U E OBJETIVOS DE TEMA: Descubrir y aprender la definición de este importante concepto físico. Aplicarlo correctamente al resolver los problemas propuestos en las actividades. Despertar el interés por el tema y sus repercusiones en la vida cotidiana.

El torque, también conocido como “momento de fuerza”, es un concepto físico muy importante y sencillo a la vez. Se trata de una cantidad vectorial que se simboliza con la letra  griega  y se define mediante la sencilla expresión vectorial: 





 O  rOF  F

(1.2.2.1)

 donde rOF es el vector posición del punto de 

aplicación de la fuerza F con respecto a cierto punto O, aunque es más conveniente referir el torque a algún eje. En consecuencia, siempre que se hable de torque habrá que especificar el punto o eje con respecto al cual se lo calcula.

Figura

1.2.2.1

Se llama “vector posición” el vector que parte del origen del sistema de referencia, o de un punto cualquiera, o de un eje, y llega hasta el punto P en el que se aplica la fuerza. Aunque hay semejanzas entre el vector posición y el vector desplazamiento, no se los debe confundir: el primero sólo ubica un punto con respecto a otro; el segundo, en cambio, implica movimiento real de alguna partícula o móvil desde un punto inicial hasta otro final.   Ya que el torque es el producto vectorial de los vectores rOF y F , su dirección es perpendi-

cular a los mismos, su sentido está dado por la “ley de la mano derecha del producto vectorial” y su   magnitud es   rOF F Sen  , donde  es el ángulo formado por los vectores rOF y F , figura 1.2.2.1.

Físicamente, el torque es la causa o agente que produce la rotación de un cuerpo o altera dicho movimiento, por lo que se puede concluir diciendo que “el torque es en el movimiento de rotación lo que la fuerza es en el movimiento de traslación”. El torque será muy utilizado más adelante, cua ndo estudiemos la Dinámica rotacional.

Ejercicio modelo 1.2.2.1

La varilla EB de la figura puede rotar libremente en torno al punto E. Se aplica la fuerza F  20 N en la forma indicada. Determine el torque que se aplica a la varilla con respecto al punto E.

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El correspondiente diagrama de vectores es:

Por lo tanto:





  r EB  10 i m    F  20 Cos 230 i  20 Cos 140 j N





de modo que:  i 

E  

 j

 k

10

0

0

20 Cos 230

20 Cos 140

0







 E  153 ,209 k N .m

En consecuencia el sentido del torque aplicado es hacia dentro del plano del papel, como se ha indicado en el diagrama de vectores. La resolución anterior se ha efectuado en forma analítica; pero dada la sencillez del problema podría también haberse realizado en forma trigonométrica, veamos: Magnitud :   rF Sen   10 . 20 Sen 130  153 ,209 N . m Dirección : perpendicu lar al plano XY , que es el plano del



E 

es decir la dirección S ent ido :

 Z esto es , alejándose

papel ,

es la del eje Z . del lector .

Ejercicio modelo 1.2.2.2 











Determine el torque producido por la fuerza F  50 i  40 j  30 k N

aplicada en el punto

P  8 ; 7 ; 5 , con respecto al punto Q  4 ; 2 ; 8  . 

Primeramente determinamos el vector rQP :





    rQP  12 i  9 j  3 k m

entonces:  i 

 Q  12 50

 j

 k

9

3

 40

30

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



     390 i  510 j  30 k N .m

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o equivalentemente: 

 Q  642 ,729 N .m ; 127 ,358 ; 142 ,513  ; 92 ,675 

ACTIVIDADES:

a) Marque verdadero (V) o falso (F): 1- El torque es: -

un concepto matemático. un concepto físico. una persona que no ha desarrollado su tacto. una cantidad escalar. el causante del movimiento de rotación.

( ( ( ( (

) ) ) ) )

( ( (

) ) )

2- Una puerta se abre rotando sobre sus bisagras merced: - a la fuerza aplicada. - al torque aplicado. - a la suma de una fuerza y un torque.

b) Complete: 1- El torque, con respecto a un punto A, se define mediante: ............................................................. 2- Todo torque debe calcularse con respecto a ...................................................................................

c) Resuelva, en su cuaderno de ejercicios, los siguientes problemas: 1- ¿Qué torque se aplica sobre un perno si se utiliza una llave de 32 cm de longitud sobre la que se aplica perpendicularmente y en su extremo opuesto una fuerza de 320 N? 

2- Determine el torque que produce la fuerza F  860 N ; 90  ; 45  ; 45  aplicada en el punto A 7 ; 0 ; 7  m , con respecto a cada uno de los ejes cartesianos.

3- Halle el torque producido por la fuerza





    F  488 i  356 j  508 k N

aplicada

P  6 ; 8 ;  6 ,

a)

con

respecto:

al

en

punto

R 8 ; 6 ; 4  , b) al punto S 4 ; 12 ; 10  .

4- Halle el torque que produce cada una de las fuerzas de la figura con respecto al vértice E:

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1.2.3 TORQUE DE N FUERZAS CONCURRENTES OBJETIVOS DE TEMA: Discutir y aprender la secuencia para resolver torques producidos por sistemas de fuerzas concurrentes. Aplicarla correctamente al desarrollar las micro pruebas y problemas propuestos en las actividades. Despertar el afecto por el tema.









Cuando se tienen N fuerzas concurrentes, F1 , F 2 , F3 , ......, Fn , la fuerza resultante es   R   F i . El torque resultante, con respecto a un eje o al punto O, debido a las N fuerzas es:                O    Oi   O1   O2   O 3 ...   O n  r1  F1  r2  F2  r3  F3  ...  rn  Fn

Pero, debido a que las fuerzas son concurrentes, se las puede desplazar para que todas ellas actúen 

en el punto de concurrencia C, cuyo vector posición con respecto al punto O es rOC . Entonces: 



 O  rOC



            F1  rOC  F2  rOC  F3  ... rOC  Fn  rOC  F1  F2  F3  ... Fn



lo que equivale a decir: 





 O  rOC  R

(1.2.3.1)

 donde rOC es el vector posición del punto de concurrencia C con respecto al punto O.

En consecuencia, el torque resultante debido a N fuerzas concurrentes puede ser determinado de dos maneras: 



a) Hallando los torques parciales  O i , correspondientes a las fuerzas parciales Fi y realizando la suma vectorial de los mismos: 



 O    Oi  b) Hallando la fuerza resultante R y calculando el torque de dicha fuerza resultante: 





 O  rOC  R

Ejercicio modelo 1.2.3.1 Determine, por los dos métodos, el torque resultante, con respecto al vértice H, del sistema de fuerzas que actúan sobre el paralelepípedo de la figura. Colocamos el sistema de referencia con su origen en el vértice D, lo cual ya se ha hecho, tal como se muestra en la figura. Escribimos las coordenadas de los diferentes vértices en los que actúan una o más fuerzas y también las del punto H; escribimos además las ecuaciones analíticas de todas las fuerzas que intervienen y de los vectores posición de los puntos de aplicación de las mismas con respecto al vértice H: FÍSICA, PRIMER TOMO

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B 6 ; 10 ; 0  , F 6 ; 10 ; 4  , G 0 ; 10 ; 4  , E 6 ; 0 ; 4  , H 0 ; 0 ; 4 

   

   

     HE   6 i

   m

    r1  HB  6 i  10 j  4 k m    r2  HF  6 i  10 j m   r3  HG  10 j m

  F1   100 k N   F2  60 i N   F3   50 i N   F4  120 j N

 r4

a) Primer método: Hallamos los torques correspondientes a cada fuerza:  j

 k

 H 1  r1  F1  6 10

4







 i 0



 j

 k

6

10

0

60

0

0











 H 3  r 3  F3 

 i

 j

0

10

 50  j

 H 4  r4  F4  6

0









  600 k N .m  k





 0  500 k N .m

0

 i





 100

0

 i

 H 2  r2  F 2 



   1 000 i  600 j N .m

0  k





 0  720 k N .m

0 120

0

y ahora determinamos el torque total: 













1 000 i 600 j 620 k N . m  H    Hi  

b) Segundo método: En la figura podemos observar que el punto de concurrencia de las fuerzas es F 6 ; 10 ; 4  , 









cuyo vector posición con respecto a H  0 ; 0 ; 4 es r HF  6 i  10 j m . Determinamos la fuerza resultante; se obtiene:





    R  10 i  120 j  100 k N

y ahora determinamos el torque:



H

   r HF  R 

 i

 j

 k

6

10

0

10 120





    1 000 i  600 j  620 k N .m

 100

Como se puede ver, es idéntico al obtenido por el otro método. FÍSICA, PRIMER TOMO

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ACTIVIDADES: a) Complete: 1- El torque resultante debido a N fuerzas concurrentes puede hallarse de dos maneras: i) ............................ ;

ii) ............................

2- ¿Cuántos satélites de Saturno eran conocidos en la época de Herschel? ........................................

b) Resuelva, en su cuaderno de ejercicios, los siguientes problemas: 1- Halle el torque resultante, del conjunto de fuerzas concurrentes mostrado en la figura, con respecto: a) al vértice B, b) al vértice C. 2- Las fuerzas:

  

  F1  220 i  150   F2  230 i  320   F3  210 i  210

  

  j  310 k N   j  140 k N   j  320 k N

actúan en el punto P  8 ; 6 ; 2 . Determine el torque resultante con respecto: a) al punto E 1;  3 ; 5  , b) al punto G 8 ; 8 ; 8 .

HERSCHEL, SIR WILLIAM (1738 a 1822). Astrónomo alemán. Herschel permaneció en Inglaterra casi toda su vida. Su talento musical le dio algunos éxitos en Inglaterra, donde llegó en 1757 y ya por el añ...