Unidad 1. Resultante de un sistema de fuerzas PDF

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Un sistema de fuerzas concurrentes es aquel para el cual existe un punto en común para todas las rectas de acción de las fuerzas componentes....

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UNIDAD 1. Resultante de un sistema de fuerzas. 1.1 Concepto de sistema de fuerzas Es común que un cuerpo esté siempre sometido a la acción de dos o más fuerzas. En estos casos, el efecto conjunto puede representarse mediante una única fuerza que hace el mismo efecto que todas juntas y que se denomina fuerza resultante. Un sistema de fuerzas concurrentes es aquel para el cual existe un punto en común para todas las rectas de acción de las fuerzas componentes. La resultante es el elemento más simple al cual puede reducirse un sistema de fuerzas. Como simplificación diremos que es una fuerza que reemplaza a un sistema de fuerzas. 1.2 Principio de transmisibilidad El principio de transmisibilidad es un concepto común en la mecánica y la física donde se establece las principales condiciones del movimiento. Otro aspecto para tomar en cuenta que se puede desglosar a través de la doctrina de la transmisión es el equilibrio de un objeto sólido rígido. El cual permanecerá inalterable siempre y cuando una fuerza se ejerza en un punto dado. Las fuerzas son representadas a través de la letra F, y para que sean impenetrables, deben ser ejercidas por otra más con una magnitud, sentido y dirección equivalente. Siempre y cuando actúen sobre un punto diferente y tengan las líneas de acción en una misma dirección. Por lo general, es un concepto algo difícil de entender, pero al explicarse correctamente, con ejemplos, las personas lo logran entender correctamente. Mediante el Principio de transmisibilidad se consiguen las condiciones de equilibrio o los movimientos de los cuerpos que se mantienen rígidos. Así que, para estudiar la transmisibilidad, es necesario conocer los cuerpos rígidos, cómo actúan y cuáles son las fuerzas que los modifican. Ambas fuerzas deben ser de una misma magnitud, seguir el mismo sentido y tener como punto de destino final en una línea de acción. ¿Qué es el principio de transmisibilidad? El Principio de transmisibilidad es una doctrina que se usa en la física con el que se rigen los puntos de aplicación de una fuerza. Estos se mueven en cualquier lugar a lo largo de su línea de acción, sin llegar a cambiar las fuerzas de reacción externas en un cuerpo que se encuentra en estado rígido. Cualquier fuerza que tenga la misma magnitud, dirección y que mantengan un punto de aplicación, en algún lugar a lo largo de la línea de acción, provocará una aceleración. Por lo tanto, los puntos donde se ejercen las fuerzas de la transmisibilidad se moverán a lo largo de la línea de acción.

Cuando se analiza las fuerzas internas, o de tensión que ocurren en un cuerpo rígido, el punto exacto de la aplicación es importante. El Principio de transmisibilidad explica qué sucede con los cuerpos rígidos en el momento que son interrumpidos por una fuerza de igual magnitud provocando diferentes tensiones. Esta diferencia de tensiones puede dar lugar a cambios trascendentes en la geometría. Que, a su vez, afectarán directamente las fuerzas de reacción de los cuerpos rígidos. Es por esta razón en particular, que el Principio de transmisibilidad solo debe usarse cuando se examinan fuerzas extremas sobre cuerpos que se supone están rígidos. La doctrina tratada anteriormente dice que el punto de aplicación de las fuerzas será primero el efecto externo de una fuerza que no se modifica, siempre y cuando sea trasladada en su misma dirección. Es decir, si queremos mover un cuerpo de manera horizontal aplicando una fuerza determinada, el resultado será el mismo si lo empujamos o si lo jalamos.

Las dos fuerzas que interactúan en con cuerpo rígido, representados con F y F, mantienen un mismo efecto sobre el cuerpo rígido. Ambas fuertes son equivalentes. Con la doctrina se puede analizar adecuadamente que la acción de una fuerza puede ser transmitida a lo largo de la línea de acción donde se mueven. Esto se encuentra basado en la evidencia experimental, no puede ser derivado a partir de las propiedades establecidas de acción, sino de puro razonamiento. 1.3 Momento de una fuerza alrededor de un punto El momento de una fuerza, respecto a un punto, se define como el producto vectorial entre posición del punto de giro y el punto donde se aplica la fuerza, por la fuerza externa que genera el movimiento de rotación. Como ya se mencionó, el cálculo de la magnitud del momento o torque denotado por la letra Tao, se obtiene multiplicando las magnitudes de los vectores de fuerza y de posición por el seno del ángulo entre ellos. El momento vectorial o vector momento tiene como magnitud τ y su dirección concuerda con el eje de rotación sobre el punto O. La dirección y sentido del vector de momento τ se determina mediante la regla de la mano derecha, tal como se explicó para el producto

vectorial de dos vectores. De igual forma, para el momento de una fuerza también se puede aplicar al principio de transmisibilidad, el cual incluye el sistema de fuerzas concurrentes. Por simplicidad y hasta el momento, hemos considerado que los cuerpos con los que trabajamos son puntos materiales y no nos ha importado en absoluto en qué parte del cuerpo se aplicaban las fuerzas. Esto es una abstracción más que perfecta para introducirnos en el mundo de la dinámica, sin embargo, los cuerpos reales son cuerpos extensos y el efecto que producen las fuerzas sobre ellos dependen del punto en el que se les aplique, dando lugar no solo a movimientos de traslación sino también de rotación (giros). El momento de una fuerza M−→, también conocido como torque, momento dinámico o simplemente momento, es una magnitud vectorial que mide la capacidad que posee una fuerza para alterar la velocidad de giro de un cuerpo. Su módulo se obtiene por medio de la siguiente expresión:

M=F⋅r⋅sin α donde: • • • •

M es el módulo del momento de una fuerza F→ que se aplica sobre un cuerpo. Su unidad en el S.I. es el newton por metro (N · m). F es el módulo de dicha fuerza. Su unidad en el S.I. es el newton. r es el módulo del vector de posición que une el centro o eje de giro con el punto origen de la fuerza aplicada. Su unidad en el S.I. es el metro. α es el ángulo formado entre F→ y r→.

Para que te hagas una idea más clara, si la resultante de las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo son las responsables de provocar los cambios en la velocidad con la que se traslada, el momento resultante de las fuerzas que sufre un cuerpo es el responsable de los cambios en la velocidad con la que rota. 1.4 Teorema de Varignon El teorema de Varignon, en Mecánica, afirma que la suma de los momentos producidos por un sistema de fuerzas concurrentes respecto a un determinado punto es igual al momento de la fuerza resultante respecto al mismo punto. Por esta razón también se conoce a este teorema como el principio de los momentos. Si bien el primero en enunciarlo fue el holandés Simon Stevin (1548-1620), el creador de la paradoja hidrostática, el matemático francés Pierre Varignon (1654-1722) fue quien posteriormente le dio su forma definitiva.

Un ejemplo de cómo funciona el teorema de Varignon en Mecánica es el siguiente: supóngase que sobre un punto actúa un sistema simple de dos fuerzas coplanares y concurrentes F1 y F2, (denotadas con negritas por su carácter vectorial). Dichas fuerzas dan lugar a una fuerza neta o resultante, llamada FR. Cada fuerza ejerce un torque o momento respecto a un punto O, que se calcula mediante el producto vectorial entre el vector de posición rOP y la fuerza F, donde rOP va dirigido desde O hasta el punto de concurrencia P: MO1 = rOP × F1 MO2 = rOP × F2 Dado que FR = F1 + F2, entonces: MO = rOP × F1 + rOP × F2 = MO1 + MO2 Pero como rOP es factor común, entonces, aplicando propiedad distributiva al producto cruz: MO = rOP × (F1 + F2) = rOP × FR Por lo tanto, la suma de los momentos o torques de cada fuerza respecto al punto O, equivale al momento de la fuerza resultante respecto al mismo punto. Aplicaciones del teorema de Varignon Cuando se conoce la fuerza resultante de un sistema, el teorema de Varignon se puede aplicar para reemplazar la suma de cada uno de los momentos producidos por las fuerzas que lo componen por el momento de la resultante. Si el sistema consta de fuerzas sobre un mismo plano y el punto respecto al cual se quiere calcular el momento pertenece a ese plano, el momento resultante es perpendicular. Por ejemplo, si todas las fuerzas están en el plano xy, el momento está dirigido en el eje z y solo resta hallar su magnitud y su sentido, tal es el caso del ejemplo antes descrito. En ese caso el teorema de Varignon permite calcular el momento resultante del sistema a través de la sumatoria. Es muy útil en el caso de un sistema de fuerzas tridimensional, para el cual no se sabe a priori la dirección del momento resultante.

Para resolver estos ejercicios conviene descomponer fuerzas y vectores de posición en sus componentes rectangulares, y a partir de la sumatoria de los momentos, determinar las componentes del momento neto. 1.5 Componentes rectangulares del momento de una fuerza. En general, la determinación del momento de una fuerza en el espacio se simplifica en forma considerable si el vector de fuerza y el vector de posición a partir de su punto de aplicación se descomponen en sus componentes rectangulares x, y y z. Por ejemplo, considere el momento Mo con respecto a O de una fuerza F con componentes F x, Fy y Fz que está aplicada en el punto A de coordenadas x, y y z.

Se observa que las componentes del vector de posición r son iguales, respectivamente, a las coordenadas x, y y z del punto A, se escribe r = xi + yj + zk -----> (3.15) F = Fxi + Fyj + Fzk ------> (3.16) Al sustituir a r y a F a partir de (3.15) y (3.16) en Mo = r X F se puede escribir el momento Mo de F con respecto a O de la siguiente forma Mo = Mxi + Myj + Mzk donde las componentes escalares Mx, My y Mz están definidas por las relaciones Mx = yFz - zFy My = zFx - xFz Mz = xFy - yFx

1.6 Momento de una fuerza alrededor de un eje cualquiera y un eje determinado. El momento de una fuerza es una rotación de un cuerpo, Hibbeler (2010) nos explica que es una tendencia a que un cuerpo gire alrededor de un punto que no está en la línea de acción de la fuerza. Hibbeler (2010), así mismo, nos explica de una forma sencilla, aunque técnicamente hablando es sencilla, las condiciones a seguir para determinar el sentido con el uso de la mano derecha como se visualiza en la figura 7. Dice que si el sentido que produce es acorde al horario a las manecillas del reloj es un sentido negativo, y se comprueba también con el producto cruz, en contraparte si el sentido es contrario a las manecillas del reloj es sentido será positivo.

Un pequeño truco es determinar muy bien la fuerza con respecto al punto a "girar".

Retomando el concepto de momento de una fuerza con respecto a un punto se puede hacer notar que las componentes rectangulares, que representan la tendencia a la rotación alrededor de los ejes coordenados se obtienen proyectando el momento

sobre cada uno de los ejes así:

Para comprender mejor física y geométricamente el momento de una fuerza con respecto a un eje, consideremos la figura 1-20. Por un punto A sobre la línea de acción de la fuerza un plano P perpendicular al eje OL. En general la fuerza fuerzas

y

, siendo

paralela al eje y

se puede trazar

se puede descomponer en dos

la componente perpendicular al eje contenida en

el plano P. Como ya se mencionó, la componente

no produce momento respecto a OL.

Entonces el momento con respecto al eje será

de magnitud

perpendicular entre

y OL.Ahora bien, la componente

donde d es la distancia

se puede descomponer, en general,

en una componente radial y una componente tangencial ; obviamente no produce momento con respecto a OL, entonces podemos concluir que la única fuerza que produce momento respecto a un eje es la componente tangencial y que el valor de dicho momento es

.

Referencias Física para ciencias e ingeniería (6ª Ed.). México: Thomson. (2007). Mecánica vectorial para ingenieros Estatica. (8ª Ed.). México: McGraw-Hill. Arenas B (2012). Dinámica de un cuerpo rígido. Medellín: Universidad de Antioquia. Recuperado de: http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/file.php/801/texcuerporigido_2012_.pdf Fuente: Mecánica Vectorial Para Ingenieros – BEER JOHNSTON....