Concepto de conjunto vacío PDF

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Tema principal-para introducirse a los ejercicios de conjunto...

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Nombre: Gabriel Gutierrez Manzanero Asignatura: Pensamiento Matemático Catedrático: Fernando Lara Pérez Unidad 2: Conjunto y funciones lineales Tema: Teoría de conjuntos

Concepto de conjunto vacío

Técnicamente se define un conjunto vacío, como un conjunto que no tiene ningún elemento. Si me pides un ejemplo, podría decirte que T es el conjunto de los seres humanos que tienen tres cabezas, lo cual es -lógicamente- un conjunto vacío.

Parece una definición y un concepto un tanto absurdo, pero créeme que no lo es. A tal punto es un concepto clave que tiene su propio símbolo matemático que es el siguiente: Conjunto vacío = ∅ Me gustaría citar una propiedad importante del conjunto vacío, precisamente por estar relacionada al concepto de subconjunto al que hacíamos referencia en el ítem anterior. La propiedad en cuestión es la siguiente:

El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos Otra propiedad importante es que todo conjunto es sub conjunto de sí mismo. A pesar de que -al igual que la anterior- pueda parecer una propiedad absurda o muy básica, es un punto clave a la hora de demostrar la igualdad de conjuntos. Te invito a estar pendiente a un próximo post de ejercicios sobre conjuntos, como siempre, con resultados con el fin de que puedas evaluar por ti mismo en qué medida vas comprendiendo los conceptos claves de este tema y cómo vas aplicándolos a un nivel más elevado cada vez.

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Concepto de subconjunto Decimos que el conjunto A es un subconjunto del conjunto B, sí y sólo sí, todo elemento del conjunto A es también elemento del conjunto B.

Cuando trabajamos antes la relación de inclusión, decíamos que es correcto expresar esta relación (que A es un subconjunto de B) diciendo también que “A está incluido en B”. Utilizando el lenguaje o símbolos matemáticos, esto se expresa de la siguiente manera

A⊂ B Es posible realizar esta misma afirmación, pero diciendo que el conjunto B contiene al conjunto A, o -lo que es lo mismo- que el conjunto B incluye al conjunto A. Esto también puede escribirse con símbolos matemáticos:

B ⊃A ¿Te gustaría que pusiera un ejemplo real? Mira es muy sencillo: llamemos B al conjunto de los habitantes de la ciudad de Bogotá y C al conjunto de los habitantes de Colombia. Es claro y correcto decir, que los habitantes de Bogotá son un subconjunto de los habitantes de Colombia. Esto se expresaría en símbolos, de la siguiente manera:

B⊂C Lo que significa que B está incluido en C.

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Subconjunto propio

Se establece que A es un subconjunto propio de B, denotado por A B, si todo elemento de A es elemento de B, y existe al menos un elemento de B que no le pertenece A. La condición de existencia: al menos de B no le pertenecen a A – significa que el conjunto B no está incluido en A.

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Conjuntos comparables

Se le denomina conjunto comparables cuando el conjunto “A” es comparables con otro conjunto “B” cuando entre dichos conjuntos existe relación de inclusión Ejemplos:

H

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Conjunto de conjuntos

El conjunto de conjuntos, llamado también clase o familia de conjuntos, es el que tiene de elementos a otros conjuntos.

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Conjunto universal En matemáticas, principalmente en teoría de conjuntos y lógica de clases, un conjunto universal es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado. Por ejemplo, en aritmética los objetos de estudio son los números naturales, por lo que el conjunto universal para este caso puede ser el conjunto de los números naturales N. Al conjunto universal también se le denomina conjunto referencial, universo del discurso o clase universal, según el contexto, y se denota habitualmente por U o V.

La elección de un conjunto universal se hace por conveniencia, para establecer una distinción clara entre los objetos matemáticos, todos ellos en el conjunto universal; y los conjuntos formados por dichos objetos, todos ellos subconjuntos del conjunto universal. Escogido un conjunto universal, para cada conjunto de objetos existe su complementario, que contiene todos los elementos que no están en dicho conjunto.

En teoría de conjuntos, los objetos matemáticos estudiados incluyen a los propios conjuntos. El conjunto universal abarcaría entonces, no sólo objetos simples como números, sino también conjuntos de números, conjuntos de conjuntos de números, etc. Sin embargo, en este caso suponer la existencia de un conjunto universal lleva una contradicción conocida como la paradoja de Russell.

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Conjunto potencia

El conjunto potencia de un conjunto A denotado por P(A) o por (A) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.

Todos los subconjuntos

Si tenemos un conjunto {a, b, c}:

Un subconjunto suyo podría ser {a}, o {b}, o {a, c}, o los demás Y {a, b, c} también es un subconjunto de {a, b, c} (sí, es verdad, pero no es un "subconjunto propio") Y el conjunto vacío {} también es un subconjunto de {a, b, c} De hecho, si haces una lista de todos los subconjuntos de S= {a, b, c} tendrás el conjunto potencia de {a, b, c}:

P(S) = { {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

Piensa en que estas son las diferentes maneras de elegir los elementos (el orden no importa), incluido tomarlos todos o ninguno.

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Conjunto disjuntos

En matemáticas, dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Equivalentemente, dos conjuntos son disjuntos si su intersección es vacía. Por ejemplo, {1, 2, 3} y {a, b, c} son conjuntos disjuntos.

Dos conjuntos A y B son disjuntos si se cumple que ningún elemento de A lo es de B o viceversa:

Otra manera de expresarlo es mediante su intersección, que está formada por sus elementos en común. La intersección de dos conjuntos disjuntos A y B es vacía

En general, dada una colección de conjuntos A, B, C, etc. se dice que estos son disjuntos por pares o mutuamente disjuntos si dos conjuntos cualesquiera de la colección son disjuntos entre sí. En términos de una familia de conjuntos {Ai}

Por ejemplo, la colección { {1}, {2}, {3} } es disjunta por pares. La familia { {1, 2}, {2, 3}, {4} } no lo es: a pesar de que no hay ningún elemento común a todos los conjuntos de la misma, la pareja {1, 2} y {2, 3} no es disjunta.

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Diagrama de Venn Euler

Un diagrama de Euler o esquema de Euler es una manera diagramática de representar a los conjuntos y sus relaciones. Son una representación moderna de los círculos de Euler, los cuales deben su nombre a su creador, Leonhard Euler.

Los diagramas de Euler normalmente consisten de simples curvas cerradas en el plano que son usadas para describir conjuntos. Las relaciones espaciales entre las curvas (superposición, contención o ninguno) corresponden, respectivamente, a relaciones de intersección, subconjunto y disjuntes, de la teoría de conjuntos. Estos diagramas son una generalización del bien conocido diagrama de Venn, el cual representa todas las posibles intersecciones entre los conjuntos presentes dados. A la intersección del interior de una colección de curvas con el exterior del resto de curvas se le llama zona. Así, dado un conjunto de curvas, en los diagramas de Venn todas las zonas deben estar presentes, pero no así en un diagrama de Euler, donde algunas zonas podrían no estar.

En el sentido de la lógica, uno puede usar la semántica de un modelo teórico para interpretar los diagramas de Euler dentro de un dominio de discurso. En el ejemplo de la figura, el diagrama de Euler representa que los conjuntos Animal y Mineral son disjuntos, porque las curvas correspondientes son disjuntas, y también que el conjunto Four Legs es un subconjunto del conjunto Animal. El diagrama de Venn que usa las mismas categorías Animal, Mineral y Four Legs no encapsula esta información. Tradicionalmente, este vacío de un conjunto en los diagramas de Venn es descrito por un sombreado o achurado de la región. Los diagramas de Euler, en cambio, representan vacío ya sea por el sombreado o por la omisión de una de las zonas.

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A menudo se impone un conjunto de condiciones bien formadas, que corresponden a restricciones topológicas o geométricas impuestas a la estructura del diagrama. Por ejemplo, se puede forzar la conectitud de las zonas, o prohibir la concurrencia de curvas o puntos múltiples como forma de representar intersecciones

Tangenciales de curvas. En el diagrama de abajo, se observa la transformación secuencial de pequeños diagramas de Venn en diagramas de Euler; algunos de los diagramas intermedios tienen concurrencia de curvas. Sin embargo, esta secuencia de transformaciones desde un diagrama de Venn con sombreado hasta un diagrama de Euler sin sombreado, no es siempre posible. En efecto, existen ejemplos de diagramas de Euler con 9 conjuntos que no son diagramables usando curvas cerradas simples y sin la creación de zonas no deseadas, puesto que ellos tendrían que tener grafos duales no planares....