Conicas y cuadricas - Formulas e información PDF

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Formulas e información...

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FORMAS CÓNICAS Una cónica se define como el lugar geométrico de los puntos del plano euclídeo que, respecto de una referencia cartesiana rectangular, satisfacen una ecuación del tipo: 2

2

a11 x + a22 y +2 a12 xy+ 2 a01 x +2 a02 y + a00=0 donde a ij ∈ R y a11 , a22 , a12 no son los 3 nulos

La expresión polinómica de arriba se puede escribir, en forma matricial, del siguiente modo:

()

1 y ) A x =0 y

(1 x

Siendo A la matriz simétrica:

(

)

a 00 a01 a02 a 10 a12 a12 a 20 a21 a22

donde a ij =a ji para todoi ≠ j . 

La ecuación de una elipse en forma canónica es:

2 x2 y + =1 con a , b>0. a2 b2

( ) −1

A=

0

0



0 1 a2 0

0

0

1 b2

La ecuación de una hipérbola en forma canónica es:

x2

y 2 =1 con a , b> 0. − 2 a2 b −1 A=

0

0 1 a2

0

0

0

( )



0

−1 b2

La ecuación de una parábola en forma canónica es: y 2=2 px con p>0.

(

0 −p 0 A= − p 0 0 0 0 1

)

 ELIPSE Dados dos puntos del plano euclídeo,

F d (¿ ¿ 1 , F 2 )=2 c , ¿ geométrico

F1 y F 2 , con distancia a uno a otro,

F1 y F 2 , y semieje a > c al lugar

se llama elipse de focos,

formado

por

los

X =( x , y )

puntos

del

plano

tales

que

d ( X , F 1 ) ++d ( X , F2 ) =2 a .

La recta que contiene al segmento

F1 F2

y su mediatriz en los ejes de la elipse. La

intersección de los ejes es el centro de simetría y los cuatro puntos de corte de los ejes de la elipse (dos por cada eje) son los vértices. Si los focos tienen coordenadas que la ecuación de la elipse es 2

x y2 + =1. a2 b2

F1=(c , o)

y

F2 =(− c , 0 ) , no es difícil porbar

2

2

2

b = a −c .

Dado un punto

X

de

una

elipse, la recta tangente a la misma que pasa por X es bisectriz de las rectas RX F Y RX F 1

2

que unen X con

F1 y X con F2

respectivamente.

 HIPÉRBOLA Dados dos puntos del plano euclídeo,

F d (¿ ¿ 1 , F 2 )=2 c , ¿

F1 y F 2 , con distancia de uno a otro

se llama hipérbola de focos,

lugar geométrico formado por los puntos

|d ( X , F1) ++ d ( X , F 2)|=2 a

F1 y F 2 , y semieje a >0 (a < 0) al X =( x , y )

del plano tales que

.

La recta que contiene al segmento

F1 F2

y su mediatriz en los ejes de la hipérbola.

La intersección de los ejes es el centro de simetría y los dos puntos de corte de la recta que contiene F1 y F 2

con la hipérbola son los vértices.

Si las coordenadas de los focos son hipérbola es:

F1=(c , o)

y

F2 =(− c , 0 ) , la ecuación de la

x2 a

− 2

y 2 =1 b2 b2=c 2−a2 >0.

Elementos importantes de las hipérbolas son sus asíntotas. La hipérbola de la ecuación

2 x2 y − =1 tiene por asíntotas a las rectas. 2 a b2

y=±

b x a

Dado un punto X de una hipérbola, la recta tangente a la misma que pasa por X es bisectriz de las rectas respectivamente.

 PARÁBOLA

RX F Y RX F 1

2

que unen X con

F1 y X con

F2

Es el lugar geométrico de los puntos

X =( x , y )

del plano tales que equidistan de un

punto. F, llamado foco de la parábola, de una recta directriz r, situada a la distancia p > 0 de F. El eje de la parábola es la recta perpendicular a r y pasa por F. El eje corta a la parábola en un punto al que se llama vértice.

Supondremos que

F=

( 2p , 0 ) y que r ≡ {x ≡− p2 }.

Eentonces, resulta fácil probar que

la ecuación de la parábola es: 2

y =2 px

Dado un punto X de una parábola, la recta tangente a la misma que pasa por X es bisectriz de las rectas

R XF

por X. 

Secciones cónicas.

,que pasa por X y F, y la recta S, paralela al eje y que pasa

El nombre de cónica dado a elipse, hipérbola y para bola viene del hecho que estas curvas se obtienen de la intersección de un plano con un cono. Por ejemplo, el cono elipse

2

2

x + y =1

a la curva

2 2 2 C ≡ { x + y −z =0} cortado con el plano

z=1 da lugar ala

(es una circunferencia). El corte de C con el plano

2 2 z − y =1 , que es hipérbola, y el corte de C con el plano

lugar a la curva

y=1

da lugar

x+ 1=z

da

2 y =2 x+1, que es una parábola.

A la elipse, la hipérbola y la parábola se las suele llamar cónicas no degeneradas o irreducibles. No obstante, la intersección de un plano, con un cono puede dar lugar también a otras situaciones: 

C ∩ {z=0 } da lugar a la ecuación



2 C ∩ {x=0 } proporciona la ecuación y −z 2 =0 ↔( x− y ) ( x+ y ) =0 que corresponde

2

2

x + y =0

a dos rectas que se cortan. 

C ∩ {x=z } da lugar

2 y =0 que es una recta

Todas estas cónicas se denominan cónicas degeneradas. Ecuación reducida de una cónica. Sea la cónica que. Respecto de un sistema de referencia rectangular fijo R= { O, u1 ,u 2} tiene coordenadas x, y con expresión polinómica: a11 x 2 +a22 y 2+2 a12 xy +2 a01 x +2 a02 y +a00 =0 y expresión matricial:

1 y ) A x =0 ó X t AX=0 y

(1 x

Donde X=

() () 1 x y

(

y A es la matriz simétrica:

)(

a 00 a01 a02 a a−t A= a 10 a12 a12 = 00 a´ A0 a 20 a21 a22

Con aij =a ji para todo

La matriz

) ( )

i ≠ j , ´a =

a10 a20

y A 0=

(

)

a11 a12 a 21 a22

A 0 representa los coeficientes de los términos cuadráticos del polinomio.

La columna

a´

representa a los coeficientes de la parte lineal y

a00 es el término

constante. EJEMPLOS:  Dada la cónica x 2 + 2xy − y 2 − 2x − 2y + 4 = 0, se pide su clasificación y los elementos característicos de la misma.

(

)

4 −1 −1 1 1 A= −1 1 1 A 0= 1 −1 −1 1 −1

|A|=−6 y |A 0|=−2 A0

( ) () c1 1 = 1 c2

( ) () c1 1 = 0 c2

(

)

¿∗¿ ¿ a 00 ¿∗¿ ¿ ¿ ¿∗¿ ¿ a11 a22 ¿ ¿ ¿∗¿=¿ ¿ A

¿∗¿=−√ 2 ¿ ¿∗¿= √ 2 , a22 |A| =3 y que a¿11 ¿∗¿= | A 0| ¿ a00 1 ¿ 1 ¿ ¿∗¿ ¿ ¿∗¿ =0 x y ¿∗¿ ¿ ¿∗¿ x ¿ y ¿∗¿ A ¿ ¿ −√ 2 x

¿∗2

¿∗2 y ¿∗2 + √ 2 y ¿∗2=3 ó− x 2 + =1 2 3 3 √2 √2

(√ ) (√ )

V √ 2=L {( 1,−1, + √ 2 ) } y V − √2=L {( 1,− √ 2 , 1) } Eje

¿∗¿ ¿ X

( xy)=(10 ) + λ( −1+1 √2 ) Eje

¿∗¿ Y¿

( xy)=(10 ) + λ( 1−1√ 2) ()

c´ = 1 0

()

( 1 m ) A 0 1 =0 m y= ( 1+√ 2 ) ( x−1 ) y y=( 1− √2)( x−1) −x

¿∗2

+ 2

y ¿∗2

(√ ) (√ √ ) 3 √2

2

3

=1

2

Vértices:

( ) ( )()√ ( )

1−√ 2 v1 3 √ 4−2 √2 =1 + y 0 1 v2 √2 √ 4−2 √2

( )()√

1− √ 2 w1 1 3 √ 4−2 √2 = − 1 w2 0 √2 √ 4−2 √2

Focos:

( ) ()√

( )

( )()√

1−√ 2 6 √ 4−2 √ 2 1 √2 √ 4−2 √ 2

1− √ 2 f1 6 √ 4−2 √2 1 y = + f2 0 1 √2 √ 4−2 √2

g1 = 1− 0 g2

( )

 Dada la cónica y 2 − x 2 + 4x − 2y + 3 = 0 se pide su clasificación y los elementos característicos de la misma.

V −1=L {( 1, 0 )} y V 1= L { (0,1 ) }

c´ =

1 ¿ 1 ¿ ¿∗¿ =0 ¿ ¿∗¿ x y ¿∗¿ ¿ ¿∗¿ x ¿ y ¿∗¿ A ¿ ¿

(

6 0 0 ¿∗¿= 0 −1 0 0 0 1 ¿ A

x

¿∗2

Eje

− y ¿∗2=6 ó

)

x ¿∗2

(√ 6)

¿∗¿ ¿ X

( xy)=(21 )+ λ( 10 ) Eje

¿∗¿ ¿ Y

( xy)=(21 )+ λ( 01 ) x

¿∗2

− 2

( √6 )

y

¿∗2 2

( √6 )

− 2

=1

Vértices:

( ) () () v1 2 1 = ±√ 6 1 0 v2

y ¿∗2 2

( √6 )

=1

( 21)

los puntos ( 2+√ 6 ,1) y ( 2−√ 6 , 1) Focos:

()

()

f1 1 =( 1)± 2 √ 3 0 f2

los puntos ( 2+2 √3 , 1 ) y (2−2 √ 3 , 1) m± 1 y −1= x −2 y y−1=−( x −2)

 Dado el haz de cónicas: 2

2

λ x + 2 λxy + y −2 λx +2 y+ 2 λ=0

 Discutir su naturaleza en función de los valores de λ.

 Determinar el lugar geométrico de los centros de las cónicas del haz.

(

)

2 λ −λ 1 A= −λ λ λ A0 = λ λ λ 1 1 λ 1

( )

|A|=−2 λ3− λ2−λ=λ ( − 2 λ 2− λ−1 ) El polinomio

2 −2 λ −λ−1 es irreducible de modo que

Además, si se representa gráficamente o Si λ ∈(−∞ , 0), entonces o Si λ=0, entonces

|A|=0 sí y sólo si λ=0 .

3 2 −2 λ − λ −λ es claro que:

¿ A∨¿ 0.

¿ A∨¿ 0.

o Si λ ∈(0 , ∞ ), entonces ¿ A∨¿ 0. Por otro lado, ¿ A 0∨¿−λ 2+ λ=λ (1−λ), de modo que: o Si λ1 , entonces ¿ A 0∨¿ 0.

o Si λ=0 ó λ=1, entonces ¿ A 0∨¿ 0. o Si 0< λ 0. Elipse imaginaria .

¿∗¿=

|A|

| A 0|

a

¿ 00

5− √ 13 2 5+√ 13 ¿ ¿∗¿= y a22 2 ¿ a 11 ¿∗¿=

=2

. Los autovalores de A 0

son

¿

¿∗¿ x y

¿∗¿

(

1 ¿ 1 ¿ ¿∗¿ =0 ¿ ¿∗¿ x y 2 0 5+√ 13 0 2 0

0 0 5−√ 13 2

0 ¿

)

¿

5+ √ 13 ¿∗2 5−√ 13 ¿∗2 x + y +2=0 2 2  Clasificar y hallar la ecuación reducida de la cónica: 2

2

x −4 xy + y −3 x +3 y +2=0.

( ) 2

A=

|A|=

−3 2 3 2

−3 2 1

3 2

(

)

−2 A 0= 1 −2 −2 1

−2

1

−3 ,|A0| =−3 0. La matriz asociada será

( ) −1

A=

0

0 1 a2

0

0

0

0

0

0

1 2 b

0

0

0

0

−1 c2

Dados los puntos

A 1=( a ,0, 0 ), A 2=( −a , 0,0 ) , B1=(0, b , 0 ) , B 2= (0,−b , 0 ) , cuyos la

elipse cuyos vértices A 1 , A 2 , B1 , B2 y ejes las dos rectas que contienen a los dos pares

de puntos. Consideramos también las hiperbólicas de ecuaciones

2 y2 z − b2 c2

2 x2 z − a2 c 2

y

(con c >0) contenidas, respectivamente, en planos y = 0 y x=0. El

hiperboloide de una hoja que tiene por ejes los ejes coordenados y vértices

A 1 , A 2 , B1 , B2

es le lugar geométrico de los puntos del espacio que se obtiene como

la unión de la familia de elipses, perpendiculares al eje z (eje principal), y que tienen sus vértices en las hipérbolas descritas. El origen de coordenadas es el centro de este hiperboloide.

Si a = b; el hiperboloide de una hoja es una superficie de revolución, obtenida al hacer girar cualquiera de las dos hipérbolas alrededor del eje z. El eje principal se corresponde con la variable cuyo coeficiente es de signo distinto a las otras dos en la ecuación reducida. Las trazas del hiperboloide en planos paralelos a z = 0 da lugar a elipses. Los trazos en planos paralelos a x = 0 (y = 0) dan lugar a hipérbolas si

|x|≠ a(|y |≠ b)

y a un par de rectas que se cortan si |x |=a(| y|=b) El hiperboloide de una hoja es una cuádrica reglada, esto es, está engendrada por rectas

 HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS O ELÍPTICO. La ecuación de un hiperboloide de dos hojas en forma canónica es

x2

y 2 z 2 =−1 − 2 + 2 2 a b c Con a, b, c > 0. La matriz asociada será: 1

A=

0

0 1 a2

0

0

0

0

( ) 0

0

0

1 2 b

0

0

0

−1 c2

Sean a, b, c > 0 y

tienen ecuaciones

C1 =( 0, 0,c ) y C 2=( 0, 0,−c ) . Se considerarán las hipérbolas que

2 y2 z − =1 b 2 c2

y

2 2 x z − =1 a2 c 2

y que están contenidas,

respectivamente, en los planos x = 0 e y = 0. El lugar geométrico de los puntos del espacio que se obtienen como la unión de la familia de elipses, perpendiculares al eje z, y que tienen sus vértices en las hipérbolas descritas es un hiperboloide de dos hojas que tiene por ejes los ejes coordenados. El eje principal es el eje z, que contiene a los vértices C1 y C 2 .El origen de coordenadas es el centro de este hiperboloide.

Si a = b, el hiperboloide es una superficie de revolución, obtenida al hacer girar cualquiera de las dos hipérbolas alrededor del eje z. Una hipérbola contenida en el espacio, y dados sus dos ejes de simetría, si la hacemos girar en torno a uno de ellos obtendremos un hiperboloide de una hoja (de revolución) y si la hacemos girar en torno al otro eje, obtendremos un hiperboloide de dos hojas (de revolución). El eje principal se corresponde con la variable cuyo coeficiente es de signo distinto al de las otras dos en la ecuación reducida. Los trazos del hiperboloide en planos paralelos a z = 0 dan lugar a elipses si a puntos si

|z|=c y al conjunto vacío si

|z| 0. La matriz asociada será:

( ) 0 0

A=

0 1 a2

0

0

0

0

0

0

1 b2

0

0

0

0

−1 c2

|z|>c ,

Dado el par de rectas contenidas en el plano x = 0 y que se cortan en el origen.

2 y2 z − =0 y dado el par de rectas contenidas en el plano y = 0 y que se cortan en el b2 c2

origen

x2 z2 − =0 , a, b, c > 0 se llama cono elíptico al lugar geométrico de los a2 c 2

puntos del espacio que se

obtienen como unión de

las elipses perpendiculares

al eje z y que tienen sus

vértices

descritas.

en

las

rectas

Si a = b, las elipses pasan a ser circunferencias y el cono se convierte en una superficie de revolución obtenida al hacer girar cualquiera de las cuatro rectas alrededor del eje z. Las trazas del cono en los planos paralelos al plano z = 0 son elipses, salvo para z = 0, que da un punto. Las trazas del cono en los planos paralelos a los planos x = 0 e y = 0 son hipérbolas, salvo en x = 0 e y = 0, donde se obtienen un par de rectas que se cortan. El cono es una superficie reglada, esto es, está engendrada por rectas.  PARABOLOIDE ELÍPTICO. La ecuación de un paraboloide elíptico en forma canónica es: 2 x2 y + =z a2 b2

Con a, b > 0. La matriz asociada será:

0 0

A=

0 1

0

−1 2

0

0

( ) a2

0

0

1 b2

0

−1 2

0

0

0

Dadas las parábolas

2

2

x =2 pz e y =2 qz

contenidas en los planos y = 0 y x = 0

respectivamente, el paraboloide elíptico engendrado por dichas parábolas es el lugar geométrico de las elipses perpendiculares al eje z y que tienen sus vértices en los puntos de las parábolas dadas. El paraboloide elíptico carece de centro y su vértice es la intersección de las dos parábolas dadas. Los ejes son los ejes coordenados, siendo el eje principal el eje z.

Si a = b, las elipses pasan a ser circunferencias y el paraboloide elíptico se convierte en una superficie de revolución obtenida al hacer girar cualquiera de las dos parábolas alrededor del eje z. Las trazas del paraboloide elíptico en los planos paralelos al plano z = 0 son elipses, salvo para z = 0, que da un punto, y para z < 0, que da el conjunto vacío. Las trazas del paraboloide en los planos paralelos a los planos x = 0 e y = 0 son parábolas.  PARABOLOIDE HIPERBÓLICO.

La ecuación de un paraboloide hiperbólico en forma canónica es: 2 x2 y − =z a2 b 2

Con a, b > 0. La matriz asociada será:

1

A=

0

0

−1 2

( ) 0

1 a2

0

0

0

0

−1 b2

0

−1 2

0

0

0

Consideremos, en el espacio euclídeo, las parábolas de ecuación reducida y 2=−b 2 z

x 2=a2 z e

con a, b > 0. y contenidas, respectivamente, en los planos y = 0 y x = 0.

El paraboloide hiperbólico generado por estas parábolas es el lugar geométrico constituido por las parábolas paralelas a una de ellas y cuyos vértices recorren la otra. El paraboloide hiperbólico no tiene centro y su vértice es la intersección de las dos parábolas generadoras. Los ejes, en este caso, son los ejes coordenados, siendo el eje principal el eje z.Las trazas del paraboloide hiperbólico en los planos paralelos al plano z = 0 son hipérbolas, salvo para z = 0, que da un par de rectas que se cortan. Las trazas del paraboloide en los planos paralelos a los planos x = 0 e y = 0 son parábolas.

El paraboloide hiperbólico es una cuádrica reglada, esto es, está engendrada por rectas.

Ecuación reducida de una cuádrica. Sea la cuádrica que, respecto de un sistema de referencia rectangular fijo, R= { O, u1 ,u 2 , u3} 2

2

tiene coordenadas x, y, z con expresión polinómica: 2

a11 x +a22 y + a33 z +2 a12 xy +2 a13 xz +2 a23 yz +2 a01 x +2 a02 y +2 a 03 z +a00=0

Y expresión matricial:

(1 x

y

Donde X=

(

a 00 a A= 10 a 20 a 30

()

1 t x z ) A =0 ó X AX =0 y z

() 1 x y z

a01 a 11 a21 a31

y A es la matriz simétrica:

a02 a12 a22 a32

)(

a03 a13 a00 a−t = a23 a´ A 0 a33

)

Con aij =a ji para todo

a10 ´ i ≠ j , a = a20 a30

()

a11 a12 a 13 y A 0= a 21 a22 a 23 a 31 a32 a 33

(

)

A 0 representa los coeficientes de los términos cuadráticos del polinomio.

La matriz

a´

La columna

representa a los coeficientes de la parte lineal y

a00 es el término

constante. Haremos un cambio de coordenadas rectangulares (una transformación ortogonal directa compuesta con una traslación...