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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE FACULTAD Ingeniería

CURSO Geometría Analítica y Algebra

CICLO II

DOCENTE .

INTEGRANTES . . . . . .

Traslación y Rotación de Cónicas

INDICE

1. DETERMINACION GRAFICA DE LAS SECCIONES CONICAS.............pág. 4 2. TRASLACIÓN DE EJES...........................................................................pág. 6 3. ROTACIÓN DE EJES...............................................................................pág. 10 3.1. Eliminación del Término xy................................................................pág. 14 3.2. Uso del discriminante.........................................................................pág 16

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Traslación y Rotación de Cónicas

INTRODUCCION Cuando se introdujo el concepto de sistema coordenado, se buscaba indicar la posición de un móvil respecto a un sistema de referencia. Sin embargo, para un mismo móvil se puede referir su ubicación dependiendo del punto de referencia que se considere, si nos preguntamos ¿Qué ocurre si el móvil se desplaza? Obviamente, dicho desplazamiento describirá una curva, la cual si se puede expresar matemáticamente, dicha expresión matemática que resulta ser una ecuación estará también referida respecto al sistema de referencia que consideremos. Si logramos describir el comportamiento de un móvil, se podrá analizar de manera detallada cualquier cambio en su desplazamiento, velocidad, aceleración, etc; para ello buscamos el sistema más adecuado que nos permita analizar dicho comportamiento. ¿Qué ocurre si una ecuación matemática que expresa el comportamiento de un móvil no es fácil de analizar? Probablemente, si lo referimos a otro sistema, dicha ecuación nos resulta más simple y por tanto exprese el comportamiento del mismo móvil de manera más sencilla. Por lo tanto, es necesario conocer las formas de obtener la ecuación de punto cuando el sistema de referencia ha sido trasladado, rotado o probablemente ambos a la vez; para ello lo invitamos a leer el presente capitulo que aclarará determinados conceptos referidos a la relatividad de posición, velocidad y de tiempo, conceptos que fueron introducidos por Newton

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Traslación y Rotación de Cónicas DESARROLLO DEL TEMA 1. DETERMINACION GRAFICA DE LAS SECCIONES CONICAS La siguiente figura se llama doble como circular recto o simplemente cono. Se genera por una recta que se hace girar alrededor de un eje fijo, de modo que la recta pase siempre por un punto fijo denominado vértice y haga el mismo ángulo con el eje; las curvas cónicas pueden obtenerse al intersectar un cono con un plano (se les suele llamar cónicas o secciones cónicas).

Las cónicas más importantes son las elipses, parábolas e hipérbolas, una muestra gráfica se da a continuación:

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Traslación y Rotación de Cónicas Obtenemos la parábola cuando interceptamos un plano inclinado con uno de los mantos del cono.

Obtenemos la hipérbola cuando se intercepta un plano inclinado con los mantos del cono.

Cuando el plano de corte se elige de modo que pase por el vértice, es posible obtener en la intersección un punto o un par de rectas (a estas curvas cónicas se les denomina secciones cónicas degeneradas).

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Traslación y Rotación de Cónicas 2. TRASLACIÓN DE EJES Se da cuando el origen de coordenadas se traslada a un determinado punto del plano XY manteniendo sus respectivos ejes homólogos paralelos (en el nuevo sistema X’Y’, X’ es homólogo de X e Y’ de Y), también deben mantener la misma unidad de escala, esto es, si en el sistema XY la distancia entre dos puntos A y B es 10 entonces en el sistema X’Y’ sigue siendo 10. Gráficamente:

Y

C(h;k) : origen del nuevo sistema X’Y’. Además, estará usted observando que el punto P tiene dos formas de poder expresarlo:  

En el sistema XY : P(x;y) En el sistema X’Y’ : P(x’;y’)

Luego de la figura anterior obtenemos: x=x’+h y=y’+k

… (1)

Estas relaciones mostradas sirven para encontrar las coordenadas en el sistema XY (x’y) cuando nos dan como dato las coordenadas (x’;y’) de un punto cuando los ejes se han trasladado a un nuevo origen O’(h;k). El caso recíproco ocurre cuando a partir de la ecuación (1) se despeja x’ e y’ , así se obtiene: x’=x-h y’=y-k

… (2)

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Traslación y Rotación de Cónicas Ejemplo 1 Halle las coordenadas del punto P(3;5) en el nuevo sistema X’Y’ cuando el origen se ha trasladado al punto (1;2)

De los datos P(x,y) = (3;5) y O’(h;k) 0 (1;2) Aplicando la fórmula 2 '

'

x = x −h=3−1 → x =2 '

'

y = y − k =5 −2→ y =3

∴( x ' ; y' ) = ( 2; 3 ) (Coordenadas de P en el sistema X’Y’) De la misma forma usted puede verificar para las coordenadas del punto Q. Ejemplo 2 Halle la ecuación de la C.T. está en el punto (-1;-1).

( x 2+ y 2=1 ) en un nuevo sistema X’Y’, cuyo origen

Resolución Dado el enunciado, como el radio de la circunferencia trigonométrica es uno y la distancia del origen a los ejes X e Y es uno también, entonces podemos plantear el siguiente gráfico:

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Se observa que un punto P(x;y) del sistema XY se puede escribir como: '

x=x + h

y = y ' +k Donde O’(h;k) es el nuevo origen, luego x=x ' −1

…(∝

'

y = y −1

Por tanto, la ecuación de la circunferencia en el sistema XÝ´deberá estar en términos de x´e y’, por lo que reemplazamos ( ∝ ) en la ecuación. x 2+ y 2 =1 '

2

'

2

→(x −1) +( y +1) =1 Esta ecuación es para el sistema X’Y’ (ver la siguiente figura)

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Traslación y Rotación de Cónicas Ejemplo 3

(

Realice la gráfica y=2 sen x−

)

π +1 ; por el método de traslación de ejes. 2

Resolución Dada la ecuación original

(

y−1=2 sen x − Debido a que

π 2

)

π +1 , acomodamos esta expresión 2

)

y−1

x−

(

y=2 sen x−

π 2

puede ser cambiado por y’ (nuevo sistema) y puede ser cambiado por x’ (nuevo sistema)

Entonces queda y ' =2 senx '

La gráfica de esta ecuación para un sistema X’Y’ es bastante sencilla y la mostramos a continuación

Y la pregunta que se hará el lector es ¿Dónde está el sistema XY? A continuación le informamos que debido a las ecuaciones deducidas en (2)

x’=x-h

y’=y-k En nuestro caso son:

x'= x−

π 2

'

y = y −1

De donde O’(0;0) en el sistema X’Y’ tendrá el siguiente par ordenado respecto del sistema XY como se muestra en la siguiente figura.

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O'

( π2 ; 1)

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3. ROTACIÓN DE EJES Dado la ubicación de un punto en un plano puede ser representado de varias formas (distintos pares ordenados) de acuerdo al sistema de referencia que utilice, dicho sistema puede ser obtenido mediante una traslación o rotación de ejes. En la presente sección haremos más énfasis en lo último. Como se sabe, las secciones cónicas presentan muchas aplicaciones, pero mayormente cuando se requiere analizarlas están escritas en su forma canónica (más sencillo de analizar), esto es cuando los ejes de la sección cónica son paralelos a los ejes del sistema de referencia, como por ejemplo lo que se muestra en las siguientes figuras

Pero hay ocasiones en las cuales dichos ejes no son paralelos a los ejes X o Y, como se muestra en el siguiente caso:

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Eje mayor de la elipse, como se observa no es paralela ni al eje X ni al eje Y.

Algo más que podemos acotar sobre la forma de la ecuación de dicha elipse, la cual la obtenemos a partir del punto P(x;y) que pertenece a la elipse, teniendo como dato adicional que la distancia V1V2=6 Para que sea una elipse debe cumplir que: dPF1 + dPF2 = V1V2 →√ (x−1)2 +( y−2)2+ √ (x+ 1)2 +( y+ 2)2=6

Elevando al cuadrado dos veces obtenemos la siguiente ecuación: 2

2

8 x −4 xy +5 y =36

La cual presenta el término cruzado -4xy que indicará en adelante los ejes de dicha sección cónica no son paralelas a los ejes del sistema XY. Una pregunta inmediata por parte del lector sería ¿Por qué no rotamos los ejes del sistema de tal forma que coincidan con los ejes de la sección cónica? Esta apreciación es correcta, pero observe que no se puede rotar cualquier ángulo; para que lo mencionado suceda, para hallar dicho ángulo de rotación es necesario tener en cuenta ciertas nociones previas. A continuación se verá la forma de relacionar un punto P(x;y) con su forma de expresarlo en otro sistema X’Y’ donde este último con respecto al sistema XY ha rotado un ángulo anti horario tal como α , el cual se considerará en el siguiente intervalo 0 0 → A' y C '

(Tienen el mismo signo)

Suponiendo →

'

'

A >0 →C >0

' 2 (x ' −h)2 ( y −k ) + =k 2 (√ C ' ) √( A ' )2

De esta ecuación:  Si K 0 : Es una elipse o circunferencia, dependiendo de A’ y C’ si son diferentes o iguales respectivamente. De igual forma los otros casos. Ejemplo Usando el discriminante, identifique la gráfica a la cual pertenece la siguiente ecuación de segundo grado. 2

2

8 x −3 xy+ 5 y −7 x+6=0

B 2−4 AC =−151...