Geometria Analitica Circunferencias 2017 1 PDF

Preview

Summary

resumo sobre geometria analítica...

Description

G.A. – Equação da Circunferência Nível Básico 1. (Eear 2017) As posições dos pontos A (1, 7) e B (7, 1) em relação à circunferência de equação (x  6)2  (y  2)2  16 são, respectivamente, a) interna e interna. b) interna e externa. c) externa e interna. d) externa e externa. 2. (Upf 2016) Considere, num referencial xy, a circunferência de equação (x  1)2  (y  3)2  9. A equação que define uma reta tangente a essa circunferência é: a) x  3 b) x  3 c) y  0 d) y  5 e) x  0 3. (Uece 2016) No plano cartesiano usual, a equação da circunferência que contém os pontos (4, 0), (4, 0) e (0, 8) é x 2  y 2  my  n  0. O valor da soma m2  n é a) 30. b) 10. c) 40. d) 20. 4. (Ulbra 2016) As retas 2x  y  4  0 e 2x  3y  12  0 interceptam-se no centro de uma circunferência de raio igual a 3. Então podemos dizer que a) a circunferência possui centro no ponto (2, 3). b) a circunferência corta o eixo y em dois pontos. c) a circunferência corta o eixo x em um ponto. d) a circunferência é tangente ao eixo x. e) a circunferência é tangente ao eixo y. 5. (Uem-pas 2016) Considere as retas r : y  2x, s : 3y  6x  3  0 e a reta que passa por (1, 2) e (1, 3). Assinale o que for correto. 01) As retas r e s são concorrentes. 02) As retas e r são perpendiculares. 04) A distância entre os pontos de coordenadas (1, 2) e (1, 3) é 1. 08) O triângulo, formado pela origem e pelos pontos em que s intercepta os eixos, tem área 1 . 4 www.nsaulasparticulares.com.br

Página 1 de 22

16) A circunferência de centro na interseção de com o eixo x e que passa pelo ponto onde 2 2 r também intercepta o eixo x é dada por x  y  1. 6. (Uece 2016) No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, se a 2 2 circunferência x  y  8x  6y  16  0 possui n interseções com os eixos coordenados, então, o valor de n é a) 2. b) 1. c) 3. d) 4. 7. (Cefet MG 2015) Considere as circunferências

λ 1 : (x  2)2  (y  1)2  5 e λ 2 : (x  4)2  (y  3)2  9.  5 A área do triângulo cujos os vértices são os centros dessas circunferências e o ponto P  0, ,  2 em unidades de área, é igual a 13 a) . 2 11 b) . 2 9 c) . 4 7 d) . 4 5 e) . 4

8. (Unisc 2015) Observando o círculo abaixo, representado no sistema de coordenadas cartesianas, identifique, entre as alternativas apresentadas, a equação que o representa. 2 2 a) x  (y  2)  10. 2 2 b) (x  3)  y  10. 2 2 c) (x  3)  (y  2)  13. 2 2 d) (x  3)  (y  2)  13. 2 2 e) (x  3)  (y  2)  13.

9. (Imed 2015) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C com centro no ponto P(4,  2) é tangente ao eixo das ordenadas. Nessa situação, a equação geral dessa circunferência corresponde a: 2 2 a) x  y  8x  8y  4  0 2 2 b) x  y  8x  4y  4  0 2 2 c) x  y  8x  8y  4  0

d) x 2  y 2  8x  4y  4  0 2 2 e) x  y  8x  4y  4  0

www.nsaulasparticulares.com.br

Página 2 de 22

10. (Ueg 2015) Observe a figura a seguir.

Sabendo-se que a circunferência de maior raio passa pelo centro da circunferência de menor raio, a equação da circunferência de maior raio é a) x2  y2  4x  4y  18  0 b) x2  y2  4x  4y  14  0 c) x2  y2  8x  8y  14  0 d) x2  y2  8x  8y  18  0 11. (Upe 2015) No sistema cartesiano, sendo a circunferência C de equação x 2  y 2  6x  2y  6. Qual a equação da circunferência C ' simétrica de C em relação à origem do sistema? a) x2  y2  6x  2y  4 b) x2  y2  6x  2y  4 c) x2  y2  6x  2y  4 d) x2  y2  6x  2y  6 e) x2  y2  6x  2y  6

www.nsaulasparticulares.com.br

Página 3 de 22

Nível Médio 12. (Ufsc 2017) A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade em que uma unidade linear do plano cartesiano corresponde a 1km.

Com base nos dados da figura, é correto afirmar que: 01) A equação da reta que passa pela praça e pela igreja também passa pelo banco. 02) A reta que passa pelo banco e é perpendicular à reta que passa pela igreja e pelo hotel tem equação y  8. 04) A equação da circunferência com centro na praça e que passa pela escola é 2 2 x  y  10x  6y  24  0. 08) A distância da escola ao hotel é de 73 km. 16) A área do quadrilátero convexo formado pela escola, pelo banco, pelo hotel e pela igreja tem 23,5 km2 . 32) O ponto da circunferência, com centro na praça e que passa pela escola, que fica mais próximo da igreja é (3, 4). 13. (Ufjf-pism 3 2017) Considere os pontos P(2, 4), Q(1, 0) e S(5, 3). a) Determine a equação da reta contendo o segmento PQ, da reta contendo o segmento PS e da reta contendo o segmento QS. b) Considere o triângulo de vértices P, Q e S. O triângulo dado é retângulo? Justifique sua resposta. c) Obtenha a equação da circunferência que contém os pontos P, Q e S.

www.nsaulasparticulares.com.br

Página 4 de 22

14. (Acafe 2017) Na figura abaixo, a reta (r) dada pela equação x  y  10  0 se intercepta com a reta (t) no ponto P(x, y).

Então, a soma das coordenadas do ponto P é igual a: a) 11. b) 12. c) 9. d) 10. 15. (Acafe 2017) Os pontos A(1, 1), B(1, 9) e C(7, 1) são os vértices do triângulo inscrito numa circunferência de equação x2  y2  mx  ny  p  0. O valor de m  2n  3p é igual a: a) 29. b) 20. c) 65. d) 28. 16. (Unicamp 2017) Considere a circunferência de equação cartesiana x2  y2  x  y. Qual das equações a seguir representa uma reta que divide essa circunferência em duas partes iguais? a) x  y  1. b) x  y  1. c) x  y  1. d) x  y  1. 17. (Ufpr 2017) Seja C1 o círculo de raio r  2 e centro no ponto P  (3, 4). a) Qual é a equação do círculo C1 ? b) Considere o círculo C 2 definido pela equação x2  y2  ρ2 . Para quais valores de ρ o círculo C1 intersecta o círculo C2 ?

www.nsaulasparticulares.com.br

Página 5 de 22

18. (G1 - cftrj 2017) O arco de circunferência NP foi criado a partir de uma circunferência de raio MN, desenhada no plano cartesiano, conforme a figura a seguir, onde N  (0, 12) e P  (8, 0).

Quais são as coordenadas do ponto M? 19. (Upe-ssa 3 2016) Uma reta r de equação ax  by  c  0 tangencia a circunferência β de equação x2  y2  2x  6y  8  0 no ponto P  (2, 0). Qual é o valor de a  b  c ? a) b) c) d) e)

2 3 4 5 6

20. (Uem 2016) Considere um sistema cartesiano ortogonal de origem O  0, 0 . Um ponto nesse sistema é representado por um par ordenado P  (x, y), onde a coordenada x é chamada de abscissa e a coordenada y, de ordenada. Assinale o que for correto. 01) Considere duas circunferências, a primeira de centro em P1  (1, 1) e a segunda de centro  1 1 em P2   1,  , ambas de raio igual a . A interseção entre elas é vazia. 2 4  

02) A reta de equaēćo y  2x  5 intersecta a circunferźncia de equaēćo (x  2)2  y2  6, nos pontos P1  (1, 7) e P2  (0, 5). 04) A equação x2  6x  y2  2y  6 é a equação da circunferência de centro em P  (3, 1) e raio 2. 08) O ponto P  (1, 3) pertence à circunferência de equação (x  1) 2  (y  2) 2  1.

2 3 16) As retas r e s, respectivamente, de equações y   x  3 e y  x, são 3 2 perpendiculares.

www.nsaulasparticulares.com.br

Página 6 de 22

2 2 21. (Acafe 2016) Considere a circunferência dada pela equação C1 : x  y  12x  6y  36  0 2 2 e outra circunferência dada por C2 : x  y  4x  6y  9  0, com os pontos A e B, tangentes às circunferências C1 e C 2, respectivamente.

O comprimento do segmento AB (em unidades de comprimento) é:

a) 4 b) 5 c) 4 d) 5

3. 5. 5. 3.

22. (Unesp 2016) Uma empresa oferece frete gratuito para entregas do seu produto em um raio de até 25 km do depósito. Para a distância que ultrapassar 25 km, medida em linha reta desde o depósito, a empresa cobra R$ 20,00 por quilômetro que ultrapasse os 25 km iniciais gratuitos. Essa cobrança também é feita de forma proporcional em caso de frações de quilômetros. Um consumidor do produto reside 20 km a leste do depósito e x km ao sul. Apresente uma figura representando a situação descrita e determine o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na entrega do produto em sua residência. Em seguida, determine o custo do frete C (em reais), em função de x, para o caso em que C(x)  0. 23. (G1 - ifal 2016) O diâmetro de uma circunferência tem extremidades nos pontos A(2,  6) e B(4, 0) do plano cartesiano. A equação reduzida dessa circunferência é a) (x  1)2  (y  3)2  18. b) (x  1)2  (y  3)2  72. c) (x  1)2  (y  3)2  9. d) (x  3)2  (y  3)2  18. e) (x  3)2  (y  3)2  72. 24. (Uem 2016) Considerando P  (2, 1) e Q  (4, 5) pontos das extremidades de um dos diâmetros da circunferência C, onde P, Q  C, assinale o que for correto. 01) o ponto (1, 6) pertence à circunferência C. 02) o centro da circunferência C é (1, 3). 04) o raio da circunferência C é 2 13. 08) a corda determinada pelos pontos (2, 5) e (3, 0) é um diâmetro de C. 2 2 16) a equação C da circunferência é dada por x  y  2x  6y  3  0.

www.nsaulasparticulares.com.br

Página 7 de 22

25. (Ueg 2016) A circunferência de centro (8, 4) que tangencia externamente a circunferência

x 2  y 2  4x  8y  16 possui raio igual a a) b) c) d) e)

16 10 8 6 4

26. (Uel 2016) Alice comprou um terreno de forma triangular e solicitou a um engenheiro civil que fizesse a planta da casa a ser construída, incluindo um gazebo e uma piscina na área de lazer. A proposta do engenheiro foi construir a casa em formato de L, um gazebo de forma trapezoidal e uma piscina com formato circular. Considere a seguir, no plano cartesiano, a planta feita pelo engenheiro, na qual constam o esboço do terreno, da localização da casa, do gazebo e da piscina.

a) Determine a área representada pela região triangular ABC, em m2 , ocupada pelo terreno. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução deste item. b) Considerando que o ponto L pertence à circunferência do círculo de centro K e que é o ponto de interseção das retas t e s, em que t é a reta determinada pelos pontos P e O e s é a reta determinada pelos pontos E e K, determine a equação reduzida da circunferência de centro K, que representa a piscina no plano cartesiano. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução deste item.

www.nsaulasparticulares.com.br

Página 8 de 22

27. (Fac. Pequeno Príncipe - Medici 2016) Uma arruela, que é um disco fino com furo circular interno, tem suas dimensões projetadas sobre um sistema de coordenadas cartesianas. A 2 2 equação da circunferência externa é obtida e tem a forma x  y  8x  8y  7  0. A distância da circunferência interna para a externa é de 2,5 cm. O furo interno, que está no meio da arruela, tem área igual a:

a) b) c) d) e)

5π cm2. 9 9π cm2. 4 25 π cm 2. 4 27 π cm 2. 4 36 π cm 2. 25

28. (Pucsp 2016) Na figura tem-se a representação de λ, circunferência de centro C e tangente aos eixos coordenados nos pontos A e B.

2 2 Se a equação de λ é x  y  8x  8y  16  0, então a área da região hachurada, em unidades de superfície, é a) 8  (π  2)

b) 8  (π  4) c) 4  (π  2) d) 4  (π  4)

www.nsaulasparticulares.com.br

Página 9 de 22

29. (Enem PPL 2015) Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema. A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.

Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: x 2  y 2  2x  4y  31  0. A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não. Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas a) A e C. b) B e C. c) B e D. d) A, B e C. e) B, C e D. 30. (Unirio 2000) Considerando uma circunferência de centro (2, 1), que passa pelo ponto (2, 2), assinale a opção correta. 2 2 a) A equação da circunferência é (x - 2) + (y - 1) = 3. 2 2 b) O interior da circunferência é representado pela inequação x + 4x + y + 2y < 4. 2 2 c) O interior da circunferência é representado pela inequação x - 4x + y - 2y < 4. 2 2 d) O exterior da circunferência é representado pela inequação x - 4x + y - 2y > -2. e) O ponto (5, -1) pertence à circunferência.

www.nsaulasparticulares.com.br

Página 10 de 22

Gabarito: Resposta da questão 1: [C] 2 2 Seja f(x, y )  (x  6)  (y  2)  16. Logo, temos

f(1, 7)  (1 6)2  (7 2)2  16  25  25  16  0, implicando em (1, 7) exterior à circunferência, e f(7, 1)  (7  6)2  (1 2)2  16  1 1 16  0, implicando em (7, 1) interior à circunferência. Resposta da questão 2: [C] Desde que a circunferência possui centro no ponto (1, 3) e raio 3, é fácil ver que a reta y  0 é tangente à circunferência. Resposta da questão 3: [D] Sabendo que (4, 0) pertence à circunferência, vem 42  n  0  n  16.

Tomando o ponto (0, 8), segue que 82  m  8  16  0  m  6.

Portanto, a resposta é 62  (16)  20. Resposta da questão 4: [E] Calculando as coordenadas do centro da circunferência, tem-se: y  4  3y  12  4y  8  y  2  Centro Circunferência  3,2 2x  2  4  0  2x  6  x  3 Sabendo-se as coordenadas do centro e o raio, é possível desenhar a circunferência no plano cartesiano. Esta tangencia o eixo y e corta o eixo x em dois pontos. Logo, a alternativa correta é a letra [E].

www.nsaulasparticulares.com.br

Página 11 de 22

Resposta da questão 5: 04 + 08 = 12. [01] Falsa. Reescrevendo a equação da reta s na forma explícita, temos y  2x  1. Logo, sendo iguais os coeficientes angulares de r e de s, podemos concluir que essas retas são paralelas. [02] Falsa. Sendo iguais as abscissas dos pontos (1, 2) e (1, 3), é fácil ver que a equação da reta é x  1. Daí, como a reta r não é paralela ao eixo das abscissas, podemos concluir que e r não são perpendiculares. [04] Verdadeira. Os pontos (1, 2) e (1, 3) pertencem à reta x  1. Em consequência, a distância entre eles é 3  2  1.  1  [08] Verdadeira. A reta s intersecta os eixos coordenados nos pontos (0, 1) e  , 0 . Por  2  1 1 1 conseguinte, a área do triângulo mencionado é  1  . 2 2 4

[16] Falsa. A reta

intersecta o eixo das abscissas no ponto (1, 0). Por outro lado, a

2

circunferência x  y 2  1 possui centro na origem e raio 1. Contradição. Resposta da questão 6: [B] 2 2 2 2 Completando os quadrados, vem x  y  8x  6y  16  0  (x  4)  (y  3)  9. Logo, o raio da circunferência mede 3 e seu centro é (4, 3).

A resposta é 1, pois a circunferência é tangente ao eixo das abscissas no ponto (4, 0). Resposta da questão 7: [A] Sejam A e B, respectivamente, os centros de λ1 e λ 2 . Logo, como A  (2,  1) e B  (4, 3), tem-se que a área do triângulo ABP é dada por 0 1  5 2 2

2 4 1 3

0

1 5    6  10  5  4 2 2 13  . 2

Resposta da questão 8: [D] É fácil ver que o centro da circunferência é um ponto do segundo quadrante. Desse modo, temse que a equação da circunferência só pode ser (x  3)2  (y  2)2  13, pois seu centro é o ponto (3, 2).

www.nsaulasparticulares.com.br

Página 12 de 22

Resposta da questão 9: [B] Se o centro da circunferência é o ponto P(4,  2) e esta é também tangente ao eixo y, pode-se concluir que outro ponto desta mesma circunferência será o ponto tangente T(0,  2). Ainda, pode-se deduzir que o raio da mesma circunferência é igual a 4. Logo, pela fórmula utilizada para calcular a distância entre dois pontos, pode-se deduzir a equação geral desta circunferência:

(x 4) 2  (y  2) 2  (4) 2  x 2 y 2 8x  4y  4  0 Resposta da questão 10: [C] Sejam C1  (4, 4) e C2  (1, 1), respectivamente, os centros das circunferências maior e menor. O raio da circunferência maior corresponde à distância entre os centros das circunferências, ou seja,

d(C1, C2 ) 

(4  1) 2  (4  1) 2  18.

Portanto, a equação da circunferência maior é (x  4)2  (y  4)2  ( 18)2  x 2  y 2  8x  8y  14  0. Resposta da questão 11: [D] A equação reduzida de C é 2 2 2 2 x  y  6x  2y   6  (x  3)  9  (y  1)  1  6

 (x  3) 2  (y  1) 2  2 2. Por conseguinte, a equação de C' é (x  3)2  (y  1)2  22  x 2  y 2  6x  2y  6. Resposta da questão 12: 04 + 08 + 16 = 28. [01] Falsa. Tem-se que 5 3 8 5  25  3  24  9  40  5  2. 3 5 1 3 Portanto, a reta não passa pelos três pontos. [02] Falsa. A reta que passa pela igreja e pelo hotel tem por equação y  5. Por outro lado, a reta que passa pelo banco e é perpendicular à reta y  5 é a reta de equação x  8. [04] Verdadeira. O quadrado da distância entre a praça e a escola é igual a d2 (P, E)  (5  2)2  (3  2)2  10km2 . Desse modo, a equação da circunferência com centro na praça e que passa pela escola é (x  5)2  (y  3)2  10  x 2  y 2  10x  6y  24  0. www.nsaulasparticulares.com.br

Página 13 de 22

[08] Verdadeira. De fato, temos

d(E, H) 

(10 2)2  (5  2) 2  73 km.

[16] Verdadeira. Com efeito, segue que 1 2 8 10 3 2 (EBHI)   2 2 1 5 5 2 

1  | 2  40  50  6  16 10 15 10 | 2

 23,5 km 2 .

[32] Falsa. O ponto que está mais próximo da igreja corresponde ao ponto de interseção da reta que passa por P(5, 3) e I(3, 5) com a circunferência de equação (x  5)2  (y  3)2  10, de tal sorte que a abscissa desse ponto seja um número real menor do que 3. Portanto, não pode ser (3, 4). Resposta da questão 13: a) Calculando: y  y0  m   x  x 0  4  0  mPQ   2  1  4  3mPQ  mPQ  4

3 4 4 4 reta PQ  y  0  x 1 y x 3      3  3 4  3  mPS   2  5   1  7mPS  mPS  1 7 26 1 1 reta PS  y 4  x 2 y x 7      7  7 3  0  mQS    5  1  3  4mQS  mQS   3

4

reta QS  y  0   3   x  1  y   3 x  3 4 4 4

b) Sim, pois as retas PQ e QS são perpendiculares. 1 mPQ    PQ  QS mQS c) Se o triângulo PQS é retângulo no ponto Q, então o segmento PS é igual ao diâmetro e o ponto Q pertence à circunferência. Assim, pode-se escrever:

 2  5 2   4  3 2

2R  dPS  C

 50  5 2  R 

5 2 2

PS 2 5 4 3   3 7  ,    , 2 2   2 2   2



equação  x  3

   y  7 2 2

2

2



50 4

www.nsaulasparticulares.com.br

Página 14 de 22

Resposta da questão 14: [D] Percebe-se que o ponto P pertence à reta t e também à reta r, logo deve obedecer a equação x  y  10  0. Essa mesma pode ser escrita como: x  y  10. Logo, a soma das coordenadas será igual a 10. Ou ainda pode-se resolver o exercício calculando, ou seja: chamando os pontos de intersecção da reta r com a circunferência de A e B, pode-se escrever: A  0,y   x  y  10  0  0  y 10  0  y  10  A 0, 10 

B x,0  x  y  10  0  x  0  10  0  x  10  B 10, 0  Centro  C 0, 0  Raio = distância entre C e A  R  10 Ponto de intersecção entre a reta t e a circunferência  T  6, b  Circunferência:

x 2  y 2  R 2  6 2  b 2  10 2  36  b 2  100  com pontos C 0, 0 e T 6,  8 :

Reta s

ms   s

b  8 (...