TEMA 1 Geometria Analitica Ejercicios de Lehmann PDF

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GEOMETRIA ANALITICA

M.C. Armando Espinoza Rodríguez

TEMA 1

Alumno.- Mario Alberto Rea Morquecho. 2 Semestre “B”, Ingeniería Civil

08/03/2021 Gómez Palacio, Dgo

Actividad 1 Segmento rectilíneo dirigido. La porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilíneo o simplemente segmento.

A

B

AB es un segmento cuyos extremos son A y B. La longitud del segmento AB se representa por AB. La distancia entre dos puntos se define como el valor numérico o valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos . De acuerdo con esto, si especificamos que el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa. Sistema coordenado lineal esquema por medio del cual se establece una correspondencia biunívoca entre puntos de una recta y los números reales, tal esquema se llama sistema coordenado, pero si todos los puntos están sobre una misma recta, al sistema se le llama sistema unidimensional o sistema coordenado lineal. Sistema coordenado en el plano. En un sistema coordenado lineal, cuyos puntos están restringidos a estar sobre una recta, el eje , es evidente que estamos extremadamente limitados en nuestra investigación analítica de propiedades geométricas . Así ,por ejemplo , es imposible estudiar las propiedades de los puntos de una circunferencia. Para extender la utilidad del método analítico, consideraremos ahora un sistema coordenado en el cual un punto puede moverse en todas direcciones manteniéndose siempre en un plano. Este se llama sistema coordenado-bidimensional o plano , y es el sistema coordenado usado en la Geometría analítica plana. la Geometría analítica se conoce también con el nombre de Geometría cartesiana. Por la parte que toma en la unificaci6n de las diversas ramas de las matemáticas , la introducción de la Geometría analítica representa uno de los adelantos más importantes en el desarrollo de las matemáticas. En Geometría analítica, por el contrario, una gran variedad de problemas se pueden resolver muy fácilmente por medio de un procedimiento uniforme asociado con el uso de un sistema coordenado. Recíprocamente , los métodos de la Geometría

analítica pueden usarse para obtener una representación geométrica de las ecuaciones y de las relaciones funcionales. Se llama ángulo de inclinación de una recta el formado por la parte positiva del eje X y la recta, cuando esta se considera dirigida hacia arriba. Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m. Cualquier recta que coincida o sea paralela al eje Y será perpendicular al eje X, y su ángulo de inclinación será de 90". Como tg 90" no está definida, la pendiente de una recta paralela al eje Y no existe. Podemos establecer, por lo tanto, que toda recta perpendicular al eje X no tiene pendiente. Consideremos el sencillo teorema siguiente de la Geometría elemental : Si un triángulo es isósceles , los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Este teorema establece que si un triángulo es isósceles necesariamente se verifica que los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Por tanto, podemos decir que la existencia de dos ángulos iguales es una condición necesaria para que el triángulo sea isósceles. Pero el reciproco de este teorema también es verdadero , a saber: Si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a estos ángulos son también iguales , y el triángulo es isósceles . Este teorema establece que la existencia de dos ángulos iguales es suficiente para que un triángulo sea isósceles. De ahí deducimos que la existencia de dos ángulos iguales es una condición suficiente para que el triángulo sea isósceles. Podemos entonces combinar ambos teoremas, directo y reciproco , en el siguiente enunciado único : Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea isósceles es que dos de sus ángulos sean iguales. Una frase de uso frecuente en lugar de ' ' una condición necesaria y suficiente " es " si y solamente si ". De una manera más general, si la hipótesis A de un teorema implica la verdad de una tesis B, entonces B es una condición necesaria para A. Por otra parte , si , recíprocamente , B implica la verdad de A, entonces B es una condición suficiente para A debemos hacer notar, sin embargo, que una condición puede ser necesaria sin ser suficiente, y viceversa. Por ejemplo, para que un triángulo sea equilátero , es necesario que sea isósceles ; pero la condición no es suficiente, ya que un triángulo puede ser isósceles sin ser equilátero. Por geometría elemental, un ángulo exterior de un triángulo es igual a la

suma de los dos ángulos interiores opuestos. una condición necesaria y suficiente para el paralelismo de dos rectas es que sus pendientes sean iguales. De aquí se deduce el siguiente corolario de gran importancia practica la condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas es que sus pendientes sean iguales. Si dos rectas son perpendiculares, el ángulo comprendido entre ellas es de 90'.

Actividad 2 Después de obtener la ecuación para una condición geométrica dada, es posible, frecuentemente , determinar por un estudio de esta ecuación posteriores características geométricas y propiedades para la condición dada . Nuestro propósito al considerar inicialmente separados los dos problemas no es de mucha necesidad sino , más bien, de conveniencia ; de esta manera tenemos que enfocar nuestra atención sobre un número menor de ideas a la vez. f (x , y) = 0 En general, hay un número infinito cie pares de valores de x y y que satisfacen esta ecuación. Cada uno de tales pares de valores reales se toma como las coordenadas (x , y) de un punto en el plano. El conjunto de los puntos , y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación, se llama grafica de la ecuación o , bien , su lugar geométrico. Cualquier punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación pertenece a la gráfica de la ecuación. No debe insistirse mucho en aquello de que solamente aquellos puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación pertenecen a su lugar geométrico. Lo importante es que si las coordenadas de un punto satisfacen una ecuación, ese punto pertenece a la gráfica de esa ecuación y ,recíprocamente, si un punto este sobre la gráfica de una ecuación, sus coordenadas satisfacen la ecuación. Como las coordenadas de los puntos de un lugar geométrico están restringidas por su ecuación tales puntos estarán localizados, en general, en posiciones tales que, tomadas en conjunto, formen un trazo definido llamado curva, grafica, o lugar geométrico. El primer punto que estudiaremos en relación con la discusión de una ecuación es el de las intercepciones de la curva con los ejes coordenados. Llamaremos intercepción de una curva con el eje X a la abscisa del punto de intersección de la curva con el eje. Análogamente, la intercepción con el eje Y es la ordenada del punto de intersección de la curva con dicho eje. El segundo punto que consideraremos, en relación con la discusión de una ecuación , es la simetría de la curva que representa , con respecto a los ejes coordenados y con respecto al origen. Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la recta es perpendicular al segmento que los

une en su punto medio. La recta con respecto a la cual son simétricos los dos puntos se llama eje de simetría. Se dice que una curva es simétrica con respecto a un eje de simetría cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente también de la curva , tal que estos dos puntos son simétricos con respecto al eje. Se dice que una curva es simétrica con respecto a un centro de simetría 0 cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente , también de la curva , tal que estos dos puntos son simétricos con respecto a 0. Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero , dicha recta se llama asíntota de la curva. Esta definición implica dos cosas : 1) una curva que tiene una asíntota no es cerrada o de extensión finita , sino que se extiende indefinidamente ; 2) una curva se aproxima a la asíntota más y más a medida que se extiende más y más en el plano coordenado. Siendo la asíntota una línea recta, puede tener una cualquiera de tres posiciones particulares. Si es paralela o coincide con el eje X , se llama asíntota horizontal; si es paralela o coincide con el eje Y, asíntota vertical; y si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados , asíntota oblicua. La discusión de una ecuación y su representación gráfica constituyen , en conjunto, un problema de tan gran importancia en todas las ramas de la Matemática y sus aplicaciones, que se le ha dado el nombre especial de construcción de curvas. el trazado de una curva constara de los seis pasos siguientes : 1 . Determinación de las intercepciones con los ejes coordenados . 2. Determinación de la simetría de la curva con respecto a los ejes coordenados y al origen . 3. Determinación de la extensión de la curva. 4. Determinación de las ecuaciones de las asíntotas verticales u horizontales que la curva puede tener. 5. Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener una gráfica adecuada 6. Trazado de la curva.

Actividad 3 4. Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: (- 5) y (6); (3) Y (-7): (-8) y (-12). Solución: P1(-5) Y P2(6): d(P1,P2) = l 𝑥2 − 𝑥1 l = 6-(-5) l = 11 P1(3) Y P2(-7): d(P1,P2) = l 𝑥2 − 𝑥1 l = (-7)-3 l = -10 l = 10

P1(-8) y P2(-12): d(P1,P2) = l 𝑥2 − 𝑥1 l = l (-12)-(-8) l = -4 l = 4

5. La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es (- 2), hallar el otro punto. (Dos casos.) Solución: Supongamos que P1 (-2) y P2( 𝑥2 ) d(P1,P2) = 9 ---- l 𝑥2− − (−2) = 9

l𝑥2 + 2 l= 9 𝑥2 + 2 = 9 . 6 𝑥2 + 2 = −9 𝑥2 = 7 𝑥2 = −11 : P2(7) – P2(-11)

8. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los puntos (- 7) y (- 19). Solución: Sea P1 (-7) , P2 (-19) y los puntos de trisección P ( 𝑥3 ) y Q (𝑥4 ) Si P y Q dividen el segmento p1p2 en tres partes iguales

De donde 𝑥2 = 11 Q es punto medio de PP2 = M es punto medo de P1P2 =

−7−19 2

= −13

−11+(−19) 2

𝑃1𝑃

𝑃𝑃2

=

= −15

1

2

_

𝑋3 −(−7) −19−𝑥

=

1 2

P (-11) , Q (-15) y M ( -13)

9. Un extremo de un segmento dirigido es el punto (- 8) y su punto medio es (3). Hallar la coordenada del otro extremo. Solución: Sean P1 (-8) , M (3) y P2 (𝑥2)) : 3 = tanto p2 (14)

−8+ 𝑥2 2

de donde: 𝑥2 = 14 por lo

12. Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2, - 1), (7, - 1) y el cuarto vértice y el área del rectángulo.

(7, 3). Hallar

Solución: Sea A ( 2,-1), B ( 7,-1), C (7,3) Y D (X,Y) Por el teorema 1, AB = 7-2 = 5 DC = 7 – x Si AB=DC 5=7 – x , de donde: x= 2 BC = 3-(-1) = 4 AD = y-(-1) = y+1: Si AD=BC: 4 = y+1, de donde : y=3: D (2,3) a ( ABCD) = l AB l x l BC l = 5 x 4 = 20 u

13. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1, - 2), (4, - 2), (4, 2). Determinar las longitudes de los catetos, y después calcular el área del triángulo y la longitud de la hipotenusa. Solución: l AB l = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 l = l 4-1 l = 3 , l BC l = l 𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 l = l 2-(-2) l = 4 A (AABC) =

1

2

𝑙 𝐴𝐵 𝑙 𝑥 𝑙 𝐵𝐶 𝑙 = 6

14. En el triángulo rectángulo del ejercicio 13, determinar primero los puntos medios de los catetos y, después, el punto medio de la hipotenusa. 1 1

1

5

Solución: Si M ( x , y)es un punto medio de AB = x = ( ) = 2 , y = (−2 − 2) = −2 2 4 1

BC = x = (4 + 4) = 4 , y = (2 − 2) = 0 AC = x =

M(

5

2

2

1

2

, 0) N ( 4,0 ) y P ( 2 , 0) 5

1

2

2

(1 + 4) = 2 , 𝑦 = 5

1

2

(−2 + 2) = 0

15. Hallar la distancia del origen al punto (a, b). QA = abscisa de P = a AP = ordenada de P = b

Teorema de Pitágoras ; l QP l + l CA l +l AP l = 𝑎2 + 𝑏2 ,d( 0,P) = √= 𝑎2 + 𝑏2 16. Hallar la distancia entre los puntos (6, 0) y (0, - 8). 0A = abscisa de A = 6 , 0B = ordenada de B = 8

= 62 + 82 = 100 d ( A,B ) = 10

17. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1, 3), (7, 3), (9, 8) y (3, 8). Demostrar que el cuadrilátero es un paralelogramo y calcular su área. Solución: I AD I = I 3-1I = 2 y I DD I = I 8-3I = 5 Pitágoras: I AD I = 4 + 25 = 29 AD = √29 I BC I – I 9-7 I = 2 y CC = I 8 – 3 I = 5 I BC I = 4 + 25 = 29

BC = √29

por lo tanto AD es igual a BC y así queda

demostrado que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo Grupo 2 Dibújese una figura para cada ejercicio. 1. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son(-3,-1), (0, 3), (3, 4), (4,- 1). I AB I = √= (0 + 3)2 + (3 + 1)2 = √= 9 + 16 = 5

I BC I = √= (3 − 0)2 + (4 − 3)2 = √= 9 + 1 = √ 10

I CD I = √= (4 − 3)2 + (−1 − 4)2 = √= 1 + 25 = √26

I AD I = I Xd – Xa I = I 4 – ( -3) I = 7

perímetro = 12 + √10 + √26 = 20.26

2. Demostrar que los puntos (- 2, - 1), (2, 2), (5, - 2), son los vértices de un triángulo isósceles. I AB I = √= (2 + 2)2 + (2 + 1)2 = √= 16 + 9 = 5

I BC I = √= (5 − 2)2 + (−2 − 2)2 = √= 9 + 16 = 5

I CD I = √= (5 + 2)2 + (−2 + 1)2 = √= 49 + 1 = 7.07

Siendo I AB I = I BC I , el ABC es isósceles

3. Demostrar que los puntos (2, −2), (−8, 4),(5, 3) son los vértices de un triángulo rectángulo, y hallar su área. I AB I = √= (−8 − 2)2 + (4 + 2)2 = √ 136 I AC I = √= (5 − 2)2 + (3 + 2)2 = √34

I BC I = √= (5 + 8)2 + (3 − 4)2 = √170

I AB I = 136 , I AC I = 34 y I BC I = 170 = 136 + 34 = I AC I + I BC I se cumple Pitágoras ABC es el rectángulo en A a (ABC) = 1 1 𝐼 𝐴𝐵 𝐼 𝑥 𝐼 𝐴𝐶 𝐼 − ( √ 136)(√ 34) = 34 u 2

2

4. - Demostrar que los puntos (12, 1), (−3, −2),(2, −1) son colineales, es decir, que están sobre una misma línea recta. I AB I = I AC I + I CB I

I AB I = √= (−3 − 12)2 + (−2 − 1)2 = √ 234

I AC I = √= (2 − 12)2 + (−1 − 1)2 = √104 I BC I = √= (2 + 3)2 + (−1 + 2)2 = √26 son colineales

I AB I = I AC I + I CB I : los tres puntos

5. - Demostrar que los puntos (0, 1), (3, 5),(7, 2),(4, −2) son los vértices de un

cuadrado.

I AB I = √ (3 − 0)2 + (5 − 1)2 = 5 I BC I = √ (7 − 3)2 + (2 − 5)2 = 5

𝐼 𝐶𝐷 𝐼 = √ (4 − 7)2 + (−2 − 2)2 = 5

I DA I = √= (0 − 4)2 + (1 + 2)2 = 5

I AC I = √= (7 − 0)2 + (2 − 1)2 = √50

I BC I = √= (3 − 4) 2 + (5 + 2)2 = √50 Por lo tanto el cuadrilátero ABCD es un cuadrado

6. - Los vértices de un triángulo son A (3, 8), B (2, -1) y C (6, -1). Si D es el punto medio del lado BC. Calcular la longitud de la mediana AD. Sea D (x,y) el punto medio de BC 1 𝑥 = (2 + 6) = 4 2

𝑦=

1 (−1 − 1) = −1 2

I DA I = √= (4 − 3) 2 + (−1 − 8)2 = √82

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝐷(4, −1)

7. - Demostrar que los cuatro puntos (1, 1), (3, 5), (11, 6), (9, 2) son los vértices de un paralelogramo. I AB I = √ (3 − 1)2 + (5 − 1)2 = √20 I DC I = √ (11 − 9)2 + (6 − 2)2 = √20

𝐼 𝐶𝐵 𝐼 = √ (11 − 3)2 + (6 − 5)2 = √65 I DA I = √ (9 − 1)2 + (2 − 1)2 = √65

I AB I = I DC I y I BC I = I AD I

, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo

8. - Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (0, 0), (1, 2), (3, -4). Sugestión. Úsese la segunda fórmula del Apéndice IA, I. I BC I = a = 2√10 p=

1|

p=

1|

1 4

2

2

, 𝐼 𝐴𝐶 𝐼 = 𝑏 = 5

( √5 + 2√10 + 5 )

( √5 + 2√10 − 5 )

∶

∶

𝑝−𝑎 =

𝑝−𝑎 =

𝐼 𝐴𝐵 𝐼 = 𝑐 = √5 1|

2

1|

2

( 5 + 5 − 2√10)

( 5 + 2 √10 − √5)

√100(√5 − 1)(√5 + 1) 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝐴𝐵𝐶 = 5 𝑢

9. - Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto (3, -2). Si la abscisa del otro extremo es 6 hallar su ordenada. (Dos soluciones.) A ( 3 , -2) , B ( 6 , y )

y I AB I = 5 √ (6 − 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 5

9 +( y + 2) = 25x ( y + 2 ) = 16

y+2=4 y=2 :

y + 2 = -4 y = -6

10. - Determinar la ecuación algebraica que expresa el hecho de que el punto (x, y) equidista de los dos puntos (- 3, 5). (7, -9). I AP I = I BP I √ (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 5)2 = √ (𝑥 − 7)2 + (𝑦 + 9)2

𝑥 2 + 6𝑥 + 9 + 𝑦 2 − 10𝑦 + 25 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 49 + 𝑦 2 + 18𝑦 + 81 5x – 7y – 24 = 0

Grupo 3 5. - Los vértices de un triángulo son los puntos (2, –2), (-1, 4) y (4, -5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados. 𝑚 𝑑𝑒 𝐴𝐵 =

4−(−2) = −1−2

−2

𝑚 𝑑𝑒 𝐵𝐶 =

5−4 4−(−1)

=

1 5

𝑚 𝑑𝑒 𝐴𝐶 =

7 5−(−2) =2 4−2

6. Demostrar por medio de pendientes que los puntos (9,2), (11,6), (3,5) 𝑦 (1,1) son vértices de un paralelogramo.

𝑚 𝑑𝑒 𝐴𝐵 = m de AB = m de DC

11 − 9

5 −1= 2 ∶ 𝑚 𝑑𝑒 𝐷𝐶 = 3 − 1

=2

AB I DC

𝑚 𝑑𝑒 𝐶𝐵 = m de CB = m de DA

6−2

6−5 1 = 11 − 3 8

CB I DA ,

∶ 𝑚 𝑑𝑒 𝐷𝐴 =

2−1 1 = 9−1 8

el cuadrilátero ABCD es una paralelogramo

7. Una recta de pendiente 3 pasa por un punto (3,2). La abscisa de otro punto de la erecta es 4. Hallar su ordenada A ( 3 , 2 ) , B ( 4 , y) 𝑚=

𝑦−2 𝑦−2 +3= 4−3 1

𝑦=5

8. Una recta de pendiente −2 pasa por un punto (2,7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6. ¿cual es la abscisa de A y cuál es la ordenada de B? m = -2 P ( 2 , 7 ) A ( x , 3 ) y B ( 6 , y ) 𝑚 𝑃𝐴 =

3−7 𝑦−7 = −2 , 𝑦 = −1 = −2 , 𝑥 = 4 , 𝑚 𝑃𝐵 = 6−2 𝑥−2

9. Tres de los vértices de un paralelogramo son (−1,4), (1, −1) 𝑦 (6,1) si la ordenada del cuarto vértice es 6 ¿cuál es su abscisa? V= D ( x , 6 )

𝑚 𝐵𝐴 =

4+1 5 6−1 = − , 𝑚 𝐶𝐷 = = −1 − 1 2 𝑥−6

BA I CD = −

5 2

=

5

𝑋−6

𝑥=4

10. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos (−2,1), (3,4) 𝑦 (5, −2). Comprobar los resultados.

𝑡𝑔 𝐴 =

𝑚3 − 𝑚2 𝑚1 ∗ 𝑚3

=−

𝑚2 −𝑚1

7 3 9 1+ 7

−3−

=

18 13

= 1.834 𝐴 = 54, 10

35 3 −3 − 5 9 = 4.5 𝐵 = 77 , 22 𝑡𝑔 𝐵 = =− 9 =2 𝑚1 ∗ 𝑚2 1− 5 𝑚1 − 𝑚3

𝑡𝑔 𝐶 = 1+𝑚1∗𝑚 = −

53 37 − 9 1−

= 8 = 1.125 𝐶 = 48 , 22 9

A + B + C = 54° 10¨ + 77° 28´ + 48° 22¨ = 180° Grupo 5

1. 5𝑥 + 4𝑦 − 20 = 0 Intersección

5𝑥 + 4(0) = 20; 20/5=x=4 5(0) + 4𝑦 = 20;

20 =𝑦=5 4

Simetría

5(−𝑥 ) + 4𝑦 − 20

= 0, 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎, 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚.

5𝑥 + 4(−𝑦) − 20

= 0, 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎, 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚. 5𝑥 + 4𝑦 + 20

= 0 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎, 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚. 2. 3𝑥 − 2𝑦 = 0 Intersección

3(0) − 2𝑦, 𝑦 = 0 3𝑥 − 2(0) = 𝑥 = 0

Simetría

3(−𝑥) − 2𝑦 (0) no es sim. 3𝑥 − 2(−𝑦 ) = 0 no es sim. 3𝑥 − 2𝑦 = (−0)es sim.

Extensión

5𝑥 = −4𝑦 + 20, 4(−𝑦 + 5) = −𝑦 = 4𝑥 5 4𝑦 = −5𝑥 + 20 (−𝑥 + 4) 𝑦 = −𝑥 = 5 4

Extensión

3 3𝑥 = 2𝑦, 𝑥 = 𝑦 2 2 3𝑥 = 2𝑦, 𝑥 = 𝑦 3

3. 3𝑥 2 + 3𝑦 2 = 0 Intersección

10 3(0) + 3𝑦 2 = 10 𝑦 = √ 3

1...