06 geometria analitica 4 eso PDF

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Tema 7.- Geometría Analítica

L os s V ect cto res es y su s O per era c io nes es Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector está definido por:    

Origen o Punto de Aplicación: punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo: longitud del vector. Dirección: viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

AB

Sentido

AB

Fin

Dirección Origen

BA

A

A

B

B

Igu gua lda dad de e Vec tor ores Mismo módulo, dirección y sentido, aunque no tienen porqué tener el mismo origen y el mismo final. Vec ec tor or cero o

Vec tor ue s to ect or Op O pu o

-1 · v

0·v =0

Vect ores Uni nita tar ios os

= -v

Son los que tienen como módulo 1

a de de 2 Vectores Suma

es ta de Ve Vectore ress Res

u - v =u1 -v1 , u2 - v2

u + v = u1 +v1 , u2 +v2

B

B-A

A

A

A+B

B

Co mbin inac ac ió n L inea eall de e vec ec t o re s a·v + b·u = a v1 + b u1 , a v2 + b u2  

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos Esta combinación lineal es única De Depe de epen den pe nde denci cia e In Ind encia Li Li nea eal

Varios vectores se llaman Linealmente Dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. Cuándo no es así, se llaman Linealmente Independientes. Ope peraci cio nes es con C o ord rdena na das as

u u1 , u2 Sumaa de ct t ores de 2 2 ve vec

u + v = u1 + v1 , u2 + v2 Pro orr p or u un n nº roduc to o de de un un ve vect cto nº

a · u = a u1 , a u2

y

v

v 1 , v2 Rest a de de 2 2 v ect ct or es

u - v = u1 - v1 , u2 - v2 Com ombi n aci ón lin ine al de de v e ctor ores es

a·u + b·v=au1 + bv1 , au2 + bv2

á

á

Matemáticas _ B_ 4º ESO

to o Esc allarr d e 2 v e c tor rodu du cct sca ores es Pro u · v = u · v · cos (u , v ) = k Pro ropiedade s

u· v = v·u u·v +w=u ·v+u ·w u ≠0 y

u· v = 0 ⇔ u ⊥ v

v≠0 

u u1 , u2 y v

v 1 , v2  u

· v = u1 ·v1 + u2 ·v2 = k

Aplica ciio nes c ac es Mó Mó du lo r o de un u n Vec ecto tor

u =u

·u



u = u1

Á ngu o de do gul o do s Ve Ve ct ores es

2

+ u22

cos (u · v ) =

u· v u ·v

R ela la cio io nes es e ntr tre P unt nt oss d ell Plan an o P unt nto Medi dio de e u n Seg egme nto to A (x1, y1)

M

M=

B (x2, y2)

x1 + x2 y1 + y2 , 2 2

C o mpr probac ac ión ón si 3 Punto s e stá tán Al Alin ine a d oss A (x1, y1)

B (x2, y2)

y2 - y1

C (x3, y3)

x2 - x1

=

y3 - y2 x3 - x2

Ec Ecu ua aci s de ci one nes e Rec ecta ta s Para determinar una recta necesitamos una de estas dos condicion es 

Un punto P x0 , y0 y un vector u =a, b



Dos puntos P x0 , y0 , Qx1 , y1  Un punto P x0 , y0 y un vector PQ gme nta tari a o Can óni nica ca S egm

to oria e ct ial Vec

x y =1 + abscisa en origen ordenada en origen

x, y= xo , y0 + t a, b

P aramétr tr ica cas

x = x0 + a · t y= y0 + b · t

Co Co nti tinu a

y - y0 x - x0 = a b

∀t∈r Pu o – Pen n to endi dien ente te Punt

y - y0 =

∀t∈r

b x - x0 → a

m=

b a

(pendiente)

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Tema 7.- Geometría Analítica

Exp xp líc íciita ta

Im Imp plí lí cit ita o Gen enera rall

v

Ax + By + C = 0 y = m·x + n u = a, b  v

A

u

m: pendiente n: ordenada en el origen

-B, A  m =

v =A, B  u

B

–b, a  m =

b a

-A B

Pa ull ari da ad d mo y Perp rp end ndic i cu ri d Pa ra le li smo Pos atiiv a s de 2 Re cta osici one ness Rel ela t va tas Coi nci d entes

Infinitos puntos en común

Se ant e s Se can

Pe cu u lar are s Pe r pend iic

le e las ral as Para

1 punto en común

1 punto en común Forman un ángulo de 90º

Ningún punto en común

m1 = m2

m1 = -

1 m2

Forma General

A B C = = A' B' C'

B A ≠ A' B'

A B C = ≠ A' B' C'

Forma Explícita

m = m' n = n'

m ≠ m'

m = m' n ≠ n'

Soluciones del Sistema

Infinitas

Una Solución

Sin Solución

Regi one Pl la ano gio nes s enn ell P Rec ecta ta

Cir ircunf ere nci cia

P (x, y)

C

r2 =x – a 2 + y – b2

y=m·x+n

r

(a, b)

Se distinguen dos regiones Regiió n1 g ón 1

y>m·x+n

Podemos saber si un punto cualquiera está situado en el interior o en el exterior de la circunferencia:

Reg eg i ónn 2

y x-a + y-b

Exter er i or 2

2

r < x-a2 + y-b2...