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Formulario de matemáticas III (preparatoria)

FÓRMULAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

CONCEPTOS BÁSICOS

7

Condición para que dos rectas sean paralelas

13

Forma simétrica (intersección con los ejes)

x y + =1 a b

m1 = m 2

1

Distancia entre dos puntos:

8

Condiciones para que dos rectas sean perpendiculares

14

Ax + By + C = 0

1 m1 • m 2 = "1 o m2 = " m1

d = (x 2 " x1 ) 2 + (y 2 " y1 ) 2

Forma general (igualar a cero) Pendiente de la recta Ordenada de la recta

m=" 2

División de un segmento en una razón dada:

x=

P(x,y)

"

9

y1 + ry 2 1+ r

b="

C B

15 Cálculo de la distancia de un punto a una recta

x1 y1 x2 y2 1 1 #+( x1 y 2 + x 2 y 3 + K + x n y1) & A= M = % ( 2 2 %$"( x 2 y1 + x 3 y 2 + K + x1 y n) (' xn yn x1 y1

x1 + rx 2 , 1+ r

y=

Área de un polígono de n lados

A B

d=

Ax + By + C A2 + B2

3 Punto medio de un segmento recta

x1 + x 2 2 P(x,y) " , y1 + y 2 y= 2 x=

4

Pendiente de una recta Dado el ángulo Dado dos puntos

m = tan "

m=

ECUACIONES DE LA RECTA

10

Forma ordinaria (pendiente / ordenada)

CÓNICAS

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

y = mx + b

y 2 " y1 x 2 " x1

5 Ángulo de inclinación de una recta 11

Forma punto / pendiente

Ecuación general de las cónicas

16

17

Identificación de las cónicas Discriminante:

" = tan#1 (m )

6

Ángulo entre dos rectas dadas sus pendientes

$ m #m ' 1 " = tan#1 & 2 ) %1+ m1 • m 2 (

y " y1 = m(x " x1)

12

I = B 2 " 4 AC

B 2 " 4 AC < 0 (negativo) 2 Parábola: B " 4 AC = 0 (cero) 2 Hipérbola: B " 4 AC > 0 (positivo) Elipse:

Forma cuando pasa por dos puntos

#y "y& y " y1 = % 2 1(( x " x1 ) $ x 2 " x1 '

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CIRCUNFERENCIA

1

Formulario de matemáticas III (preparatoria)

18 Datos importantes para obtener la 22 Datos importantes para obtener la ecuación 26 ecuación de la circunferencia:

Horizontal (vértice fuera del origen)

de la parábola:

V(h,k) = coordenadas del vértice.

"

Ecuación

C(h,k) = coordenadas del centro. p = distancia del vértice al foco.

( y # k)

2

= 4 p( x # h )

" V(h,k) " (h + p,k ) Foco Directriz " x = h # p Lado recto " LR = 4 p Eje focal " y = k Vértice

r = radio Eje focal = horizontal / vertical

19 Ecuación ordinaria con centro en 23

Horizontal (vértice en el origen)

el origen

Forma general de la parábola (caso con eje horizontal)

y 2 = 4 px

Ecuación "

x2 + y2 = r2

27

y 2 + Dx + Ey + F = 0

" V(0,0) " ( p,0) Directriz " x = #p Lado recto " LR = 4 p Eje focal " y = 0 Vértice Foco

donde:

D = "4 p E = "2k F = k 2 + 4 ph

20

Ecuación ordinaria con centro fuera del origen

24

Vertical (vértice en el origen)

28

Forma general de la parábola (caso con eje vertical)

Ecuación

" x 2 = 4 py " V(0,0) Vértice Foco " (0, p) " y = #p Directriz Lado recto " LR = 4 p Eje focal " x = 0

(x " h) 2 + (y " k) 2 = r 2

x 2 + Dx + Ey + F = 0 donde:

D = "2h E = "4 p F = h 2 + 4 pk

21 Ecuación general o desarrollada

25

Vertical (vértice fuera del origen)

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 D E h=" k =" 2, 2, donde: r=

D 2 + E 2 " 4F 2

Ecuación

"

( x # h)

2

= 4 p( y # k )

" V(h,k) " (h,k + p ) Foco Directriz " y = k # p Lado recto " LR = 4 p Eje focal " x = h Vértice

ELIPSE

PARÁBOLA Visita en internet: www.asesoriasdematematicas.com

2

Formulario de matemáticas III (preparatoria)

29

Datos importantes para obtener la ecuación de la elipse:

Forma ordinaria en el origen (eje mayor - vertical)

32

C (h,k) = coordenadas del centro. Ecuación

"

a = longitud del semieje mayor. b = longitud del semieje menor. Centro

"

Vértices

"

Eje mayor = Horizontal / Vertical

Focos

35

Forma general de la elipse (caso horizontal)

Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

x2 y2 =1 + b2 a2

donde:

C(0,0)

A = b2

Vmayor (0 ,±a)

C = a2

Vmenor (±b,0)

D = "2b 2 h

"

E = "2a 2 k

F(0, ± c )

F = b 2 h 2 + a 2 k 2 " a 2b 2

30

Ecuaciones importantes de la elipse

33

Forma ordinaria fuera del origen (eje mayor - horizontal)

c = distancia del centro al foco. Ecuación

"

c = a2 " b2 LR = Lado recto

2b 2 LR = a

Vértices

e = excentricidad ( e < 1) 2

e= 31

c a "b = a a

"

Centro

"

Vértices

"

Focos

"

Vmenor (h ,k ± b)

"

34

F(h ± c,k)

Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 donde:

A = a2 C = b2 D = "2a 2 h E = "2b 2 k F = a 2 h 2 + b 2 k 2 " a 2b 2

Forma ordinaria fuera del origen (eje mayor – vertical)

x2 y2 =1 + a2 b2

Ecuación

C(0,0)

Centro

"

Vértices

"

"

Vmayor (± a,0) Vmenor (0 ,±b) F(±c,0)

Vmayor (h ± a,k)

Forma general de la elipse (caso vertical)

2

Forma ordinaria en el origen (eje mayor - horizontal)

Ecuación

Focos

"

(x " h) 2 (y " k) 2 =1 + b2 a2 C ( h,k)

"

Centro

36

Focos

"

(x " h) 2 (y " k) 2 =1 + a2 b2 C ( h,k)

HIPÉRBOLA

Vmayor ( h,k ± a) Vmenor (h ± b,k) F(h,k ± c)

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3

Formulario de matemáticas III (preparatoria)

37

Datos importantes para obtener la ecuación de la hipérbola:

40

C (h,k) = coordenadas del centro.

Ecuación "

a = long. del semieje transverso.

Focos Ecuaciones importantes de la hipérbola

y2 x2 " =1 a2 b2

41

"

donde: C(0,0)

A = b2 C = "a 2 D = "2b 2 h E = 2a 2 k F = b 2 h 2 " a 2 k 2 " a 2b 2

F(0, ±c )

Forma ordinaria fuera del origen (eje focal - horizontal) 2

c = distancia del centro al foco. Ecuación

(x " h ) " a2

c = a2 + b2 "

Centro

( y " k) "

2

b2

=1

2

e= 39

a +b c = a a

Forma ordinaria en el origen (eje focal - horizontal) 2 x2 y Ecuación " 2 " 2 = 1 a b

Centro

"

C(0,0)

x y + =0 a b Asíntotas " x y " =0 a b Focos

"

F(±c,0)

Focos

2

42

"

Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 donde:

A = "a 2

x"h y"k + =0 b a " Asíntotas x"h y"k " =0 a b

e = excentricidad ( e > 1)

Forma general de la hipérbola (caso vertical)

C(h,k)

LR = Lado recto

2b 2 LR = a

Forma general de la hipérbola (caso horizontal)

Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

y x + =0 a b Asíntotas " y x " =0 a b

Eje Focal = Horizontal / Vertical

38

"

Centro

b = long. del semieje conjugado.

43

Forma ordinaria en el origen (eje focal - vertical)

C = b2 D = 2a 2 h E = "2b 2 k F = b 2 k 2 " a 2 h 2 " a 2b 2

F(h ± c,k)

Forma ordinaria fuera del origen (eje focal - vertical)

Ecuación Centro

" "

(y " k )2 " ( x " h) 2 a2

b2

=1

C(h,k)

y"k x"h =0 + b a Asíntotas " y"k x"h =0 " b a Focos

"

F(h,k ± c)

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