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Formación para la investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro

CONSERVACION DEL MOMENTUM LINEAL

Adriana Lucía Olarte Pérez. 2191982. Estudiante – Química Laura Daniela Pachón Acuña. 2191995. Estudiante – Química María Paula Pedraza Peñaloza. 2191989. Estudiante – Química Subgrupo J3A-4

‘’ Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.’’ -Isaac Newton-

RESUMEN Este informe está diseñado para el análisis del momento lineal y la energía cinética para las colisiones ya sean elásticas o inelásticas con el coeficiente de restitución; en base a los datos del simulador se obtuvieron los datos correspondientes los cuales se utilizan para el proceso de análisis correspondiente en donde se observa cuando se conserva el movimiento observando y calculando la energía cinética inicial y final para así hallar su respectivo delta.

INTRODUCCIÓN Una interacción de corta duración entre dos cuerpos o más simultáneamente que causa un cambio en el movimiento de los cuerpos involucrados debido a las fuerzas internas que actúan entre ellos durante este choque se le atribuye al nombre de una colisión. Todas las colisiones conservan el momento lineal, lo que distingue a los diferentes tipos de colisiones es si también conservan energía cinética. [1] Las colisiones son de tres tipos: colisión perfectamente elástica, colisión inelástica, colisión perfectamente inelástica. Específicamente, las colisiones pueden ser elásticas, lo que significa que conservan tanto el momento lineal como la energía cinética, o inelásticas, lo que significa que conservan el momento lineal, pero no la energía cinética. Una colisión inelástica a veces también se llama colisión plástica. Una colisión "perfectamente inelástica" 1

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es un caso límite de colisión inelástica en la que los dos cuerpos se fusionan después del impacto. El grado en que una colisión es elástica o inelástica se cuantifica mediante el coeficiente de restitución, un valor que generalmente oscila entre cero y uno. Una colisión perfectamente elástica tiene un coeficiente de restitución de uno, una colisión perfectamente inelástica tiene un coeficiente de restitución cero. Hay dos tipos de colisiones entre dos cuerpos: 1) Colisiones frontales o colisiones unidimensionales, donde la velocidad de cada cuerpo justo antes del impacto es a lo largo de la línea de impacto, y 2) Colisiones no frontales, colisiones oblicuas o colisiones bidimensionales donde la velocidad de cada cuerpo justo antes del impacto no está a lo largo de la línea de impacto. [2] En el presente informe se estudiará y comprobará el momentum lineal de una colisión, de la misma manera su energía cinética y coeficiente de restitución, de forma experimental, en el plano unidimensional, con la finalidad de analizar y comprobar los diferentes datos teóricos, haciendo uso de los diferentes datos experimentales ya establecidos por el docente. En el informe se podrá encontrar una metodología en la cual se describen los procesos que se llevaron a cabo para poder realizar cada uno de los análisis y toma de datos del proyecto, luego se analizará y demostrará cada una de las fórmulas utilizadas para poder comparar con los datos teóricos, cada dato experimental con su respectiva incertidumbre, por último, se podrán observar los resultados obtenidos, como también las conclusiones y las correspondientes referencias. METODOLOGIA En este laboratorio se empleó un simulador virtual [3] en el cual se presentan diferentes choques de objetos con los cuales la masa y velocidad varían con su respectiva distancia, de estas se sacaron las incertidumbres respectivamente y en base a estos datos obtenidos, se analizó el principio de la conservación del momento lineal y en base a esto identificar el coeficiente de restitución, analizando así los tipos de choque que se produjeron y como esto influye en cada uno de los objetos.

ANALISIS Y TRATAMIENTO DE DATOS

Punto #1 En la siguiente tabla 1. se muestra los datos antes de una colisión elástica entre dos esferas m1=0,5 [kg] y m2=1,5 [kg] (en 1 dimensión), la masa m1 tiene una velocidad característica mientras que m2 permanece en reposo, el delta de la energía cinética experimental es ΔEc=1 [J]. tome sistema de referencia (+) a la derecha y (-) a la izquierda.

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Masas±0,5[kg] X ± 1 [m] Vi ± 1 [m/s]

0,5 0,0 2,0 1,00 1,5 2,0 0,0 0,00 Tabla 1. Datos experimentales antes de la colisión.

Masas±0,5[kg] X ± 0,84[m]

𝑘𝑔∗𝑚 ] 𝑠

Pi ± 0,5 [

Vf ± 1 [m/s]

Pf ± 0,5 𝑘𝑔∗𝑚 [ ] 𝑠

0,5 1,02 -1,00 -0,50 1,5 2,69 1,00 1,00 Tabla 2. Datos experimentales después de la colisión.

Cálculo de la incertidumbre de la posición antes de la colisión (x): 𝑥 = 𝑥 ± 𝛿𝑥 𝑁

1 𝑥 = ∑ 𝑥 𝑁

(1)

𝑖=1

1 𝑥 = [0,0 + 2,0] = 1 [𝑚] 2 𝑁

1 𝛿𝑥 = ∑|𝑥 − 𝑥 | 𝑁

𝛿𝑥 =

(2)

𝑖=1

1 [|0,0 − 1| + |2,0 − 1|] = 1 [𝑚] 2 𝒙 = 𝟏 ± 𝟏 [𝒎]

Para el cálculo de las incertidumbres de la posición después de la colisión, la velocidad inicial y final junto con los momentos inicial y final se hizo uso de la ecuación (1) y (2).

a) Determine del ΔEc teórico y comparare con el valor experimental, que conclusiones puedes obtener • ΔEc teórico=1 [J] Cálculo de la ΔEc experimental: 3

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𝑬𝒄𝒊 = 𝑬𝒄𝒇 1 1 1 1 𝑚1 ∗ 𝑣𝑖 2 + 𝑚2 ∗ 𝑣2𝑖 2 = 𝑚1 ∗ 𝑣𝑓 2 + 𝑚2 ∗ 𝑣2𝑓 2 2 2 2 2

(3)

1 1 1 1 (0,5)(2,0)2 + (1,5)(0,0)2 = (0,5)(−1,00)2 + (1,5)(1,00)2 2 2 2 2 1=1

Para poder hallar el valor del ΔEc experimental se hace uso de la ecuación (4) 𝜟𝑬𝒄 = 𝑬𝒄𝒊 − 𝑬𝒄𝒇

(4)

𝜟𝑬𝒄 = 𝟏 − 𝟏 𝜟𝑬𝒄 = 𝟎 [𝑱] En conclusión, se puede observar que el valor de la energía cinética experimental es igual tanto en la energía inicial como en la final, los objetos antes de la colisión se encuentran todavía en la forma de energía cinética después de la misma, por lo tanto, la energía cinética del sistema se conserva.

Cálculo del error porcentual:

%E =

|𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙| ∗ 100% 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑜 %E =

(5)

|1 − 0| ∗ 100 1

%E = 100%

En base al cálculo del error porcentual se puede deducir que el valor teórico y el valor experimental del ΔEc no concuerdan, ya que al aplicar la ecuación (4) en el cálculo experimental se halla un valor de 0 [J] esto quiere decir que el valor de la energía cinética inicial es igual al valor de energía cinética final por ende el delta de energía es igual a cero. 4

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b) Demuestre que el sistema es una colisión elástica por medio del coeficiente de restitución y compare con su valor teórico e = 1, que conclusiones puedes obtener. •

Coeficiente de restitución teórico e = 1 Cálculo del coeficiente de restitución experimental: 𝑒=

𝑒=

(−𝑣𝑓1 + 𝑣𝑓2) (𝑣𝑜1 − 𝑣𝑜2 )

(6)

(−(−1,00) + (1,00)) (2,00 − 0,00) 𝑒=1

• Coeficiente de restitución experimental e=1 En base al coeficiente de restitución calculado experimentalmente junto con los cálculos realizados de energía cinética total la cual se conserva en todo el sistema, se puede concluir que el sistema describe una colisión elástica. También se puede analizar que el valor teórico y el valor experimental son iguales por ende la fórmula para hallar el valor experimental es bastante exacta. c) ¿Se conserva la cantidad de movimiento?, demuestre, y que conclusiones puedes obtener. 󰇍𝒑󰇍 𝒊 = 𝒑󰇍 𝒇 𝑚1 ∗ 𝑣1𝑖 + 𝑚2 ∗ 𝑣2𝑖 = 𝑚1 ∗ 𝑣1𝑓 + 𝑚2 ∗ 𝑣2𝑓

(7)

(0,5 ∗ 2,0) + (1,5 ∗ 0,0) = (0,5 ∗ −1,00) + (1,5 ∗ 1,00) 𝐾𝑔 ∗ 𝑚 1 = 1[ ] 𝑠

Se puede observar que la cantidad de movimiento inicial es igual a la final por lo que se puede concluir que la cantidad de movimiento se conserva, gracias a que no existen fuerzas externas en el sistema. Considerando la conservación de la energía cinética y la cantidad de movimiento, junto con el valor del coeficiente de restitución, se deduce que el choque es elástico.

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d) ¿Qué sucedería si la masa que colisiona m1 fuera mayor que la masa en reposo m2? juegue con el simulador. calcule la el momentum antes de la colisión y después de la colisión, que conclusiones puedes obtener. •

Antes de la colisión

Ilustración 1. Datos experimentales antes de la colisión. [3]

•

Después de la colisión

Ilustración 2. Datos experimentales después de la colisión. [3]

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Se tomo un valor mayor para la masa m1 que corresponde a 1,05 [kg] y un valor menor para la masa m2 el cual es 0,50 [kg] antes de la colisión la masa m1 poseía una velocidad de 1,00 [m/s] mientras que la masa m2 se encontraba en reposo.

Cálculo del momentum antes de la colisión:

𝑝𝑖 = 𝑚1 ∗ 𝑣1𝑖 + 𝑚2 ∗ 𝑣2𝑖

(5)

𝑝𝑖 = (1,50)(1,00) + (0,50)(0,00) 𝐾𝑔 ∗ 𝑚 ] 𝑝𝑖 = 1,5 [ 𝑠

Cálculo del momentum después de la colisión: 𝑝𝑓 = 𝑚1 ∗ 𝑣1𝑓 + 𝑚2 ∗ 𝑣2𝑓

(6)

𝑝𝑓 = (1,50)(0,50) + (0,50)(1,50) 𝐾𝑔 ∗ 𝑚 𝑝𝑓 = 1,5 [ ] 𝑠

Al igualar la cantidad de movimiento inicial con la final se obtiene: 𝒑 󰇍󰇍 𝒊 = 𝒑󰇍 𝒇

𝐾𝑔 ∗ 𝑚 𝟏, 𝟓 = 𝟏, 𝟓 [ ] 𝑠 En base a los datos obtenidos del valor inicial y el valor final del momentum lineal se concluye que el momento lineal se conserva ya que no existen fuerzas externas que estén afectando el sistema. Sus valores antes de la colisión y después de la colisión varían, pero el momento se conserva en todo el sistema. 7

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Punto #2 Colisión entre dos esferas con igual masa. A continuación, se realizan los respectivos cálculos de las incertidumbres para la tabla 3, datos experimentales antes de la colisión Para la distancia x [m] •

 ± 𝛿𝑋 𝑋 = 𝑋

1 𝑋 = 𝑁 ∑ 𝑥𝑖

𝛿𝑋 =

1 ∑(|𝑋𝑖 𝑁

(10)

− 𝑋|)

1.08+2.63 = 1.855 ≈ 1.86 [m] 𝑋 = 2

𝛿𝑋 =

|1.08 − 1.86| + |2.63 − 1.86| = 0.775 ≈ 0.78 [𝑚] 2 𝑋 = 1.86 ± 0.78 [𝑚]

Para la velocidad v [m/s] 𝑉𝑖 = 𝑉 ± 𝛿𝑉

𝑉 = 𝛿𝑉 =

3.00 + (−3.00) = 0.00[𝑚/𝑠] 2

|3.00 − 0| + |−3.00 − 0| = 3.00[𝑚/𝑠] 2 𝑉𝑖 = 0.00 ± 3.00[𝑚/𝑠]

Para el momentum 𝑃𝑖 [

𝐾𝑔∗𝑚 𝑠

] 𝑃𝑖 = 𝑃 ± 𝛿𝑃

𝑃 =

6.00 + (−6.00) 𝐾𝑔 ∗ 𝑚 ] = 0.00 [ 𝑠 2 8

(11)

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𝛿𝑃 =

𝐾𝑔 ∗ 𝑚 |6.00 − 0| + |−6.00 − 0| = 6.00 [ ] 2 𝑠 𝐾𝑔 ∗ 𝑚 ] 𝑃𝑖 = 0.00 ± 6.00 [ 𝑠

En base a las incertidumbres anteriormente calculadas se obtiene la tabla 𝑋 ± 0.78 [𝑚]

Masa [Kg]

𝑉𝑖 ± 3.00 [𝑚/𝑠]

2.0 1.08 2.0 2.63 Tabla 3. Datos experimentales antes de la colisión.

3.00 -3.00

𝐾𝑔 ∗ 𝑚 ] 𝑃𝑖 ± 6.00 [ 𝑠 6.00 -6.00

• Incertidumbres correspondientes a la tabla 2, datos experimentales después de la colisión Para la distancia x [m] 0.59+3.12 = 1.855 ≈ 1.86 [m] 𝑋 = 2

𝛿𝑋 =

|0.59 − 1.86| + |3.12 − 1.86| = 1.2675 ≈ 1.27 [𝑚] 2 𝑋 = 1.86 ± 1.27 [𝑚]

Para la velocidad v [m/s] 𝑉𝑖 = 𝑉 ± 𝛿𝑉

= 𝑉 𝛿𝑉 =

(−3.00) + (3.00) = 0.00[𝑚/𝑠] 2

|− 3.00 − 0| + |3.00 − 0| = 3.00[𝑚/𝑠] 2 𝑉𝑖 = 0.00 ± 3.00[𝑚/𝑠]

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Para el momentum 𝑃𝑖 [

𝐾𝑔∗𝑚 ] 𝑠

𝑃𝑖 = 𝑃 ± 𝛿𝑃

= 𝑃 𝛿𝑃 =

(− 6.00) + (6.00) 𝐾𝑔 ∗ 𝑚 = 0.00 [ ] 2 𝑠

|− 6.00 − 0| + |6.00 − 0| 𝐾𝑔 ∗ 𝑚 ] = 6.00 [ 𝑠 2 𝐾𝑔 ∗ 𝑚 𝑃𝑖 = 0.00 ± 6.00 [ ] 𝑠

En base a las incertidumbres anteriormente calculadas se obtiene la tabla 4

Masa [Kg]

𝑋 ± 1.27 [𝑚]

𝑉𝑓 ± 3.00 [𝑚/𝑠]

2.0 0.59 - 3.00 2.0 3.12 3.00 Tabla 4. Datos experimentales después de la colisión.

𝐾𝑔 ∗ 𝑚 ] 𝑃𝑓 ± 6.00 [ 𝑠 - 6.00 6.00

Determine el ∆𝐸𝑐 teórico y compare con el valor experimentar, que conclusiones puedes obtener. Para el delta de la energía cinética se iguala la energía cinética inicial con la energía cinética final, por tanto •

Para la Ec inicial [J] 𝐸𝑐 =

𝐸𝑐𝑚1 =

𝑚 ∗ 𝑣2 2

(2.00) ∗ (3.00)2 = 9[𝐽] 2 10

(12)

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(2.00) ∗ (−3.00)2 = 9[𝐽] 2

𝐸𝑐𝑚2 =

Para la energía cinética total antes de la colisión 𝐸𝑐𝑖 = 9 + 9 = 18[𝐽]

Para la Ec final [J]

𝐸𝑐𝑚1 =

(2.00) ∗ (− 3.00)2 = 9[𝐽] 2

𝐸𝑐𝑚2 =

(2.00) ∗ (3.00)2 = 9[𝐽] 2

Para la energía cinética total antes de la colisión 𝐸𝑐𝑓 = 9 + 9 = 18[𝐽]

Teniendo la energía cinética total inicial y final, se haya el delta, por tanto ∆𝐸𝑐 = 18 − 18 = 0[𝐽]

Se halla el error porcentual del delta de la energía cinética experimental con la teórica en base a la ecuación 4 %𝐸 =

|𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙| ∗ 100% 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 %𝐸 =

| 18 − 0 | ∗ 100% = 100% 18

Su variación en la energía cinética es igual a cero debido que se presenta un choque elástico, por tanto, su energía cinética inicial es igual a su energía cinética final, entonces el simulador posee un alto error en el cálculo de la variación de la energía cinética.

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•

Qué tipo de colisión presenta este sistema, elástico e inelástico, demuestre por medio del coeficiente de restitución y compare con su valor teórico e = 1 si es elástico y e = 0 si es inelástico, qué conclusiones puedes obtener. 𝑉2𝑓 − 𝑉1𝑓 𝑒 = − 𝑉2𝑖 − 𝑉1𝑖

𝑒 =

(−3.00) − (3.00) = 1 (3.00) − (−3.00)

Con esto y con el punto anterior se infiere que corresponde a un choque elástico con su coeficiente de restitución igual a uno, por tanto, la energía cinética y el momentum lineal se conservan.

•

¿Se conserva la cantidad de movimiento? Demuestre y que conclusiones puedes obtener.

La cantidad de movimiento se presenta como el producto de la masa por su velocidad, como se trata de un choque elástico, la suma total de su masa y velocidad inicial debe ser igual a la suma total de su masa y velocidad final, entonces 𝑚1𝑖 ∗ 𝑉1𝑖 + 𝑚2𝑖 ∗ 𝑉2𝑖 = 𝑚1𝑓 ∗ 𝑉1𝑓 + 𝑚2𝑓 ∗ 𝑉2𝑓 Sustituyendo (2.0 ∗ 3.00) + (2.0 ∗ (−3.00)) = (2.0 ∗ (−3.00)) + (2.0 ∗ 3.00) 𝐾𝑔 ∗ 𝑚 ] 0=0 [ 𝑠

Como se puede observar, el momentum es igual en los dos casos, se puede inferir que, si se conserva la cantidad de movimiento, esto gracias a que el sistema no es afectado por fuerzas externas y porque todas las fuerzas que se encuentran involucradas durante el choque son fuerzas interiores al sistema de cuerpos.

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Punto #3 Colisión entre dos esferas de diferentes masas y direcciones opuestas. Se muestra los datos antes de una colisión entre dos esferas m1=0,2 [kg] y m2=0,1 [kg] (en 1 dimensión), la masa m1 tiene una velocidad en dirección (+) y m2 en dirección (-),El delta de la energía cinética experimental es ∆Ec=0,11 [J]. tome sistema de referencia (+) a la derecha y (-) a la Masas 𝑚1 𝑚2 izquierda.

𝑥 ± 0.500 [𝑚]

𝑣𝑖 ± 0.750 [𝑚⁄ 𝑠]

1.000 2.000

1.000 -0.500

Tabla 5. Datos experimentales antes de la colisión. Cálculo de la incertidumbre de las distancias: 𝑥 = 𝑥 ± 𝛿𝑥

(𝟏𝟑)

1 𝑥 = ∑ 𝑥𝑖 𝑁

(𝟏𝟒)

𝑁

𝑖=1

𝑥 =

1 [3.000] 2

𝑥 = 1.500 [𝑚] 𝑁

1 𝛿𝑥 = ∑|𝑥𝑖 − 𝑥 | 𝑁 𝑖=1

(𝟏𝟓)

1 𝛿𝑥 = [1.000] 2

𝛿𝑥 = 0.500 [𝑚]

𝑥 = 1.500 ± 0.500 [𝑚] 13

𝑘𝑔 ∗ 𝑚 ] 𝑃𝑖 ± 0.125 [ 𝑠 0.200 -0.050

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Cálculo de la incertidumbre de las velocidades iniciales: 𝑣𝑖 = 𝑣 ± 𝛿𝑣

(𝟏𝟔)

1 𝑣 = ∑ 𝑣𝑖 𝑁

(𝟏𝟕)

𝑁

𝑖=1

𝑣 =

1 [0.500] 2

𝑣 = 0.250 [𝑚/𝑠] 𝑁

1 𝛿𝑣 = ∑|𝑣𝑖 − 𝑣| 𝑁 𝑖=1

(𝟏𝟖)

1 [1.500] 2

𝛿𝑣 =

𝛿𝑣 = 0.750 [𝑚/𝑠]

𝑣 = 0.250 ± 0.750 [𝑚/𝑠] Cálculo de la incertidumbre de los momentos lineales iniciales: 𝑃 = 𝑃 ± 𝛿𝑃

(𝟏𝟗)

1  = ∑ 𝑃𝑖 𝑃 𝑁

(𝟐𝟎)

𝑁

𝑖=1

𝑃 =

1 [0.150] 2

𝑘𝑔 ∗ 𝑚 𝑃 = 0.075 [ ] 𝑠 𝑁

1 𝛿𝑃 = ∑|𝑃𝑖 − 𝑃  | 𝑁 𝑖=1

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(𝟐𝟏)

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𝛿𝑃 =

1 [0.250] 2

𝑘𝑔 ∗ 𝑚 ] 𝛿𝑃 = 0.125 [ 𝑠

𝑘𝑔 ∗ 𝑚 ] 𝑃 = 0.075 ± 0.125 [ 𝑠

Masas

𝑣𝑓 ± 0.750 [𝑚⁄𝑠]

𝑥 ± 0.257[𝑚]

1.562 0.000 𝑚1 2.075 1.500 𝑚2 Tabla 6 . Datos experimentales después de la colisión. Cálculo de la incertidumbre de las distancias: 𝑥 = 𝑥 ± 𝛿𝑥 𝑁

1 𝑥 = ∑ 𝑥𝑖 𝑁 𝑖=1

1 𝑥 = [3.637] 2

𝑥 = 1.819 [𝑚] 𝑁

1 𝛿𝑥 = ∑|𝑥 − 𝑥 | 𝑁 𝑖=1

1 𝛿𝑥 = [0.513] 2

𝛿𝑥 = 0.257 [𝑚]

𝑥 = 1.819 ± 0.257 [𝑚] Cálculo de la incertidumbre de las velocidades iniciales: 𝑣𝑖 = 𝑣 ± 𝛿𝑣 15

𝑘𝑔 ∗ 𝑚 𝑃𝑓 ± 0.750 [ ] 𝑠 0.000 1.500

Formación para la investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro 𝑁

1 (𝑣 ) = ∑ 𝑣𝑖 𝑁 𝑖=1

1 𝑣 = [1.500] 2

𝑣 = 0.750 [𝑚/𝑠] 𝑁

1 𝛿𝑣 = ∑|𝑣𝑖 − 𝑣| 𝑁 𝑖=1

1 [1.500] 2

𝛿𝑣 =

𝛿𝑣 = 0.750 [𝑚/𝑠]

𝑣 = 0.750 ± 0.750 [𝑚/𝑠] Cálculo de la incertidumbre de los momentos lineales iniciales: 𝑃 = 𝑃 ± 𝛿𝑃 𝑁

1 ∑ 𝑃𝑖 𝑁

𝑃 =

𝑖=1

1 𝑃 = [1.500] 2

𝑘𝑔 ∗ 𝑚 𝑃 = 0.750 [ ] 𝑠 𝑁

1 𝛿𝑃 = ∑|𝑃𝑖 − 𝑃  | 𝑁 𝑖=1

𝛿𝑃 =

1 [1.500] 2

𝑘𝑔 ∗ 𝑚 𝛿𝑃 = 0.750 [ ] 𝑠 16

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𝑘𝑔 ∗ 𝑚 ] 𝑃 = 0.750 ± 0.750 [ 𝑠 •

Determine el ∆Ec teórico y comparare con el valor experimental, ¿Qué tipo de colisión presenta este sistema? Demuestre por medio del coeficiente de restitución y com...