Momento lineal conservación del impulso PDF

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en este repaso observaremos la conservación del impulso, se nos mostraran y explicaran de manera muy detallada centros de masa, ecuaciones cinemáticas, sistemas de partículas...

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Momento lineal: conservación del impulso Introducción y resumen Conservación del momento Introducción resumida y

conservación

resumida del momento Hasta este punto hemos estudiado la mecánica de

partículas

individuales. Hemos

generado

ecuaciones cinemáticas para el movimiento de proyectiles, desarrollado las leyes de Newton para el movimiento de una sola partícula y establecido el trabajo y la energía de una sola partícula. Para obtener una mayor comprensión de la mecánica clásica, debemos pasar ahora a la mecánica de un sistema de partículas que interactúan

mutuamente. Podemos

estudiar

tanto el movimiento general de un sistema dado como las interacciones que ocurren en el

sistema. De esta manera podemos ampliar aún más nuestros principios de mecánica. Comenzamos por establecer el concepto de centro

de

masa

de

un

sistema

de

partículas. Esta cantidad será esencial para realizar cálculos con respecto al movimiento general de un sistema dado. A continuación, presentaremos los conceptos de impulso y momento, y los relacionaremos en el poderoso y útil Teorema de impulso-momento. Finalmente, estudiaremos la cantidad de movimiento de un sistema de partículas y aportaremos nuestro conocimiento establecer

del

centro

nuestra

de

segunda

masa

para

ley

de

conservación: la conservación de la cantidad de movimiento lineal. Esta ley es el objetivo de esta

sección

y

regirá

los

cálculos

prácticamente cualquier curso de física.

en

En cierto sentido, el esfuerzo de este tema refleja el de

Trabajo,

Energía y

Poder. Allí

desarrollamos la idea de trabajo y derivamos de ella

la

conservación

de

la

energía. Aquí,

desarrollamos la idea de impulso y derivamos de ella la conservación del momento. No es casualidad que los temas sean similares: el resultado de cada uno es una ley universal de conservación. Centro de masa Hasta este punto de nuestro estudio de la mecánica

clásica,

hemos

estudiado

principalmente el movimiento de una partícula

o

comprensión

cuerpo. Para de

la

ampliar

mecánica,

sola

nuestra debemos

comenzar a examinar las interacciones de muchas partículas a la vez. Para comenzar este estudio, definimos y examinamos un nuevo concepto, el centro de masa, que nos permitirá

realizar cálculos mecánicos para un sistema de partículas. El centro de masa de dos partículas Comenzamos por definir y explicar el concepto de centro de masa para el sistema de partículas más simple posible, uno que contiene solo dos partículas. De nuestro trabajo en esta sección generalizaremos para sistemas que contienen muchas partículas. Antes de cuantificar nuestra idea de centro de masa, debemos explicarla conceptualmente. El concepto de centro de masa nos permite describir el movimiento de un sistema de partículas

por

punto. Usaremos

el el

movimiento centro

de

de

un

solo

masa

para

calcular la cinemática y la dinámica del sistema en

su

conjunto,

independientemente

movimiento de las partículas individuales.

del

Centro de masa de dos partículas en una dimensión Si una partícula con masa m de x

1

1

tiene una posición

y una partícula con masa m

posición de x

2

2

tiene una

, entonces la posición del centro

de masa de las dos partículas está dada por: x

cm

=

Por tanto, la posición del centro de masa es un punto en el espacio que no es necesariamente parte

de

ninguna

de

las

partículas. Este

fenómeno tiene un sentido intuitivo: conecte los dos objetos con un poste ligero pero rígido. Si sostiene el poste en la posición del centro de masa de los objetos, se equilibrarán. Ese punto de equilibrio a menudo no existirá dentro de ningún objeto. Centro de masa para dos partículas más allá de una dimensión

Ahora que tenemos la posición, ampliamos el concepto de centro de masa a velocidad y aceleración, y así nos damos las herramientas para describir el movimiento de un sistema de partículas. Tomando una derivada de tiempo simple de nuestra expresión para x

cm

vemos

que: v

cm

=

Por tanto, tenemos una expresión muy similar para

la

velocidad

masa. Diferenciando

del

centro

nuevamente,

de

podemos

generar una expresión para la aceleración: un

cm

=

Con este conjunto de tres ecuaciones hemos generado

los

elementos

necesarios

cinemática de un sistema de partículas.

de

la

Sin embargo, desde nuestra última ecuación también podemos extendernos a la dinámica del centro de masa. Considere dos partículas que interactúan mutuamente en un sistema sin fuerzas externas. Deje que la fuerza ejercida sobre m

2

por m

1

sea F

21

, y la fuerza ejercida

sobre m

1

por m

2

por F

12

. Aplicando la segunda

ley

de

que F

12

Newton

= m 1a

1

yF

21

podemos

afirmar

= m 2 a 2. Ahora podemos

sustituir esto en nuestra expresión para la aceleración del centro de masa: un

cm

Sin

= embargo,

Newton, F -F

21

12

yF

según 21

. Entonces a

la

tercera

ley

son fuerzas reactivas, y F cm

de 12

=

= 0 . Por lo tanto, si un

sistema de partículas no experimenta una fuerza externa neta, el centro de masa del sistema se moverá a una velocidad constante.

Pero, ¿y si hay una fuerza neta? ¿Podemos predecir cómo se moverá el sistema? Considere nuevamente nuestro ejemplo de un sistema de dos

cuerpos,

con m

fuerza externa de F fuerza de F en

experimentando

una

y m 2experimentando una

. También debemos seguir teniendo

2

cuenta

partículas, F

1

1

las 21

yF

fuerzas 12

entre

las

dos

. Según la segunda ley de

Newton:

F F

1 2

+F +F

=m 1 a =m 2 a

12 21

Sustituyendo

esta

1 2

expresión

en

nuestra

ecuación de aceleración del centro de masa obtenemos: F

1

+F

2

+F

12

Nuevamente, podemos

+F

21

sin

sumar

produciendo:

= m 1a

1

+ m 2a

embargo, F las

12

=

fuerzas

2

-F

21

,

y

externas,

F Sea

ext

= m 1a

M

la

ext

= Ma

+ m 2a

masa

tanto, M = m F

1

1

+m

2

2

=(m

total

1

+m

del

2

)a

cm

sistema. Por

y:

cm

Esta ecuación tiene un parecido sorprendente con la Segunda Ley de Newton. En este caso, sin embargo,

no

estamos

hablando

de

la

aceleración de partículas individuales, sino de todo el sistema. La aceleración general de un sistema de partículas, sin importar cómo se muevan las partículas individuales, se puede calcular

mediante

esta

ecuación. Considere

ahora una sola partícula de masa Mcolocada en el centro de masa del sistema. Expuesta a las mismas fuerzas, la única partícula se acelerará de

la

misma

sistema. Esto importante:

manera

nos

lleva

que a

lo

una

haría

el

declaración

El

movimiento

general

de

un

sistema

de

partículas se puede encontrar aplicando las leyes de Newton como si la masa total del sistema se concentrara en el centro de masa y la fuerza externa se aplicara en este punto. Sistemas de más de dos partículas Hemos

obtenido

cálculos

un

mecánicos

partículas. Sin simplicidad,

método para

embargo,

solo

para

un en

obtuvimos

realizar

sistema aras

esto

de

de

la

para

un

sistema de dos partículas. Una derivación para un sistema de n partículas sería bastante compleja. Bastará con una simple extensión de nuestras ecuaciones de dos partículas a un sistema de n partículas. Centro de masa de muchas partículas Anteriormente, M se como M = m

1

+m

2

definía . Sin

embargo,

para

continuar con el estudio del centro de masa debemos

generalizar

esta

definición. Si

hay n partículas sistema, M = m otras

en 1

+m

palabras, Mda

sistema. Equipados

2

+m

...

+m

la

masa

con

esta

podemos

simplemente

ecuaciones

para

la

+

3

un n

. En

total

definición,

establecer

posición,

del las

velocidad

y

aceleración del centro de masa de un sistema de muchas partículas, similar al caso de dos partículas. Así, para un sistema de n partículas:

x

cm

=

m nx

n

v

cm

=

m nv

n

cm

=

m na

n

F

=Ma

un

ext

cm

Estas ecuaciones requieren poca explicación, ya que

son

idénticas

ecuaciones de dos

en

forma

a

nuestras

partículas. Sin embargo,

todas estas ecuaciones para la dinámica del

centro de masa pueden parecer confusas, por lo que

analizaremos

un

breve

ejemplo

para

aclararlo. Considere un misil compuesto de cuatro partes, viajando en una trayectoria parabólica a través del

aire. En

cierto

punto,

un

mecanismo

explosivo en el misil lo rompe en sus cuatro partes, todas las cuales disparan en varias direcciones, como se muestra a continuación.

Figura: Un misil rompiéndose en pedazos ¿Qué se puede decir sobre el movimiento del sistema de las cuatro partes? Sabemos que todas las fuerzas aplicadas a las partes del misil tras la explosión fueron fuerzas internas y, por

lo tanto, fueron anuladas por alguna otra fuerza reactiva: la tercera ley de Newton. La única fuerza externa que actúa sobre el sistema es la gravedad, y actúa de la misma manera que lo hacía antes de la explosión. Por lo tanto, aunque las piezas del misil vuelan en direcciones impredecibles, podemos predecir con seguridad que el centro de masa de las cuatro piezas continuará en la misma trayectoria parabólica que había recorrido antes de la colisión. Un ejemplo así muestra el poder de la noción de centro de masa. Con este concepto podemos predecir el comportamiento emergente de un conjunto de partículas que viajan de manera impredecible. Ahora hemos mostrado una forma de calcular el movimiento del sistema de partículas en su conjunto. Pero para explicar verdaderamente el movimiento, debemos generar una ley sobre cómo reacciona cada una de las partículas

individuales. Lo

hacemos

introduciendo

el

concepto de momento lineal en la siguiente sección Impulso y momentum Habiendo

estudiado

el

movimiento

macroscópico de un sistema de partículas, pasamos ahora al movimiento microscópico: el movimiento de partículas individuales en el sistema. Este movimiento está determinado por las fuerzas aplicadas a cada partícula por las otras

partículas. Examinaremos

cómo

estas

fuerzas cambian el movimiento de las partículas y

generan

nuestra

segunda

gran

ley

de

conservación, la conservación del momento lineal. Impulso A menudo, en los sistemas de partículas, dos partículas interactúan aplicando una

fuerza

entre sí durante un período de tiempo finito, como en una colisión. La física de las colisiones se examinará más a fondo en el próximo SparkNote como una extensión de nuestra ley de conservación, pero por ahora veremos el caso general de las fuerzas que actúan durante un

período

de

tiempo. Definiremos

este

concepto, fuerza aplicada durante un período de tiempo, como impulso. El impulso se puede definir matemáticamente y se denota por J : J = FΔt

Así como el trabajo era una fuerza a distancia, el impulso

es

una

tiempo. Trabajo

fuerza

aplicado

a

lo

largo

principalmente

del a

fuerzas que se considerarían externas en un sistema de partículas: gravedad, fuerza de resorte, fricción. El impulso, sin embargo, se aplica principalmente a interacciones finitas en

el tiempo, que se ven mejor en interacciones de partículas. Un buen ejemplo de impulso es la acción

de

bate. Aunque

golpear el

una

pelota

contacto

con

puede

un

parecer

instantáneo, en realidad hay un corto período de tiempo en el que el bate ejerce una fuerza sobre la pelota. El impulso en esta situación es la fuerza

promedio

ejercida

por

el

bate

multiplicada por el tiempo que el bate y la pelota

estuvieron

en

contacto. También

es

importante tener en cuenta que el impulso es una cantidad vectorial que apunta en la misma dirección que la fuerza aplicada. Dada

la

situación

de

golpear

una

pelota,

¿podemos predecir el movimiento resultante de la

pelota? Analicemos

nuestra

ecuación

de

impulso más de cerca y conviértala en una expresión

cinemática. Primero

sustituimos F = ma en nuestra ecuación: J = FΔt = ( ma ) Δt

Pero la aceleración también se puede expresar como a = J=m

. Por lo tanto:

Δt = mΔv = Δ ( mv ) = mv f - mv

o

El gran impulso aplicado por el bate en realidad invierte la dirección de la pelota, provocando un gran cambio en la velocidad. Recuerde que cuando encontramos que el trabajo provocó un cambio en la cantidad mv

2,

lo definimos como energía cinética. De

manera similar, definimos el impulso de acuerdo con nuestra ecuación para un impulso. Impulso A partir de nuestra ecuación que relaciona impulso

y

velocidad,

es

lógico

definir

el

momento de una sola partícula, denotado por el vector p , como tal: p = mv

Nuevamente,

el

impulso

es

una

cantidad

vectorial que apunta en la dirección de la velocidad del objeto. A partir de esta definición podemos generar dos ecuaciones importantes, la primera relaciona la fuerza y la aceleración, la segunda relaciona el impulso y la cantidad de movimiento. Ecuación 1: Fuerza y aceleración relativas La primera ecuación, que involucra cálculo, vuelve a las leyes de Newton. Si tomamos una derivada en el tiempo de nuestra expresión de momento obtenemos la siguiente ecuación:

=

( mv ) = m

= ma =

F

Por lo tanto =

F

Es esta ecuación, no F = ma, la que Newton usó originalmente

para

relacionar

fuerza

y

aceleración. Aunque en la mecánica clásica las dos

ecuaciones

son

equivalentes,

en

la

relatividad se encuentra que solo la ecuación que involucra el momento es válida, ya que la masa

se

convierte

en

una

cantidad

variable. Aunque esta ecuación no es esencial para la mecánica clásica, se vuelve bastante útil en física de alto nivel. Ecuación 2: El teorema impulso-momento La segunda ecuación que podemos generar a partir de nuestra definición de impulso proviene de

nuestras

ecuaciones

para

el

impulso. Recordar que: J = mv f - mv

o

Sustituyendo nuestra expresión por impulso, encontramos que: J=pf-p

o

= Δp

Esta ecuación se conoce como el teorema de impulso-momento. Dicho

verbalmente,

un

impulso dado a una partícula provoca un cambio en el momento de esa partícula. Teniendo en cuenta

esta

ecuación,

el

impulso

es

conceptualmente bastante similar a la energía cinética. Ambas cantidades se definen con base en conceptos relacionados con la fuerza: la energía cinética se define por el trabajo y la cantidad

de

movimiento

se

define