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La finalidad del presente artículo es
determinar y analizar las propiedades de la
convolución continua y discreta de señales,
utilizando simulaciones implementadas en Matlab,
comprendiendo los parámetros necesarios en la
programación de scripts, para la correcta ejecuci...

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CONVOLUCIONES, CORRELACIONES Y AUTOCORRELACIONES Aplicación de convoluciones en imágenes con procesamiento en MatLab

Resumen— La finalidad del presente artículo es determinar y analizar las propiedades de la convolución continua y discreta de señales, utilizando simulaciones implementadas en Matlab, comprendiendo los parámetros necesarios en la programación de scripts, para la correcta ejecución de las simulaciones de convolución, además de identificar las diferencias y similitudes entre las operaciones de convolución, correlación y autocorrelación. La metodología es aplicada por medio de MatLab, obtenido las posibles respuestas de los sistemas en la manera que se establescan los respectivos análisis necesarios con el fin de obtener y comprobar los resultados que se encuentran en las señales de estudio. Los resultados encontrados se encuentran acumulados por medio de gráficas, cálculos e imágenes que ilustran el proceso realizado al igual que una respectiva observación para cada caso en estudio. Index Terms—convolución, correlación, autocorrelación, MatLab, señales discretas, continuas.

I.

INTRODUCCIÓN

La necesidad es la razón por la cual se han constatado grandes descubrimientos a través de la historia, demostrando que las capacidades humanas van a paso de gigante, de esta manera el análisis respectivos de este tema a constituido las bases respectivas de grandes descubrimientos, que como ya se han mencionado se han venido refutando en el tiempo, evolucionando y desarrollando nuevas teorías e hipótesis que constituyen la construcción de un conocimiento basado en la demostración de la verdad, aunque es un poco contradictorio, es muy coherente, debido a que no debemos caer en la verdades absolutas; por

1 UCSA (2013). Convoluciones, procesamiento de señales. Rama IEEE de la UCSA. Tomado de:

ello, la importancia de estudiar este tema es apreciar y comprobar las respectivas temas considerados como verdad, llevando al análisis práctico de modelos matemáticos y simulados, refutando las teorías impuestas, constituyendo un continuo aprendizaje y sobre todo heredando un conocimientos para las futuras generaciones. Aplicar una convolución, “es una operación matemática que combina dos señales para producir una tercera señal”1 es una forma sintetizada de profundizar en dicho tema reconociendo el gran margen de aplicación con lo referido no solo a los modelos matemáticos sino de igual manera sus aplicaciones como lo son en este caso específico, la manera cómo podemos procesar una imagen en MatLab aplicando en palabras coloquiales filtros con el fin de obtener tonos específicos de estudio. La importancia de estudiar y reconocer los conceptos característicos de lo que es, como funciona y hacia que funciones aplicadas va dirigido lo que llamamos convoluciones es la praxis y la retórica de la cual consiste este artículo. II.

MARCO TEÓRICO

El método de convolución para encontrar la respuesta de estado cero 𝑦(𝑡) se aplican a sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). Se asume que el sistema es descrito por medio de su respuesta al impulso ℎ(𝑡). Un modo uniforme de establecer una forma matemática para 𝑦(𝑡) se ilustra en la siguiente

https://ramaucsa.wordpress.com/2013/12 /17/convolucion-procesamiento-desenales/ el 13/09/2019.

figura:

Ilustración 3. Convolución por el proceso de deslizar una señal reflejada mas allá de otra. Analogue and Signal Proces. Ilustración 1. El proceso de convolución. Analogue and Digital Signal Proces.

Es importante resaltar que la convolución en forma matemática será: ∞

𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜆)ℎ(𝑡 − 𝜆 )𝑑𝜆 −∞

Lo anterior describe la integral de convolución para encontrar la respuesta en estado cero de un sistema.

La integral antes enunciada está regida por la propiedad conmutativa, en la que el orden no es importante. Se dice que, al menos matemáticamente, podemos cambiar los papeles de la entrada y la respuesta al impulso en cualquier sistema. ∞

𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜆)ℎ(𝑡 − 𝜆 )𝑑𝜆 −∞

= ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡) ∞

= ∫ ℎ(𝜆)𝑥(𝑡 − 𝜆 )𝑑𝜆 −∞

Ilustración 2. Resultado de la convolución en sistemas LTI. Analogue and Signal Proces.

En la integral de convolución, el tiempo t determina el lugar relativo de ℎ(𝑡 − 𝜆) con respecto a 𝑥(𝜆). La convolución producirá un resultado diferente de creo solo para aquellos valores de t sobre los cuales ℎ(𝑡 − 𝜆) y 𝑥(𝜆) se encuentren en alias. La respuesta 𝑦(𝑡) para todo tiempo requiere la convolución para cada valor de t. Debemos evaluar el área del producto 𝑥(𝜆)ℎ(𝑡 − 𝜆) cuando t varia.

Para dos señales causales 𝑥(𝑡)𝑢(𝑡) y ℎ(𝑡)𝑢(𝑡), el producto 𝑥(𝜆)𝑢(𝜆)ℎ(𝑡 − 𝜆)𝑢(𝑡 − 𝜆) es diferente de cero solo sobre el intervalo 0 ≤ 𝜆 ≤ 𝑡. Puesto que tanto 𝑢(𝜆) como 𝑢(𝑡 − 𝜆) son iguales a la unidad en este intervalo, la integral de convolución se simplifica en: 𝑦(𝑡)

𝑡

= ∫ 𝑥 (𝜆)ℎ(𝑡 0

− 𝜆)𝑑𝜆

𝑥 (𝑡)𝑦 ℎ(𝑡)𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 < 0

Este resultado se generaliza por el hecho de que la convolución de dos señales laterales derechas es también lateral derecha y la

convolución de dos señales laterales izquierdas es también lateral izquierda. III.

METODOLOGÍA

Este artículo se encuentra divido en dos partes, en su respectiva primera parte se determinará el debido análisis de las características y desarrollo del significado de lo que se conoce como convoluciones, correlación y autocorrelación evidenciando un debido análisis con el fin de determinar algunas similitudes y diferencia entre las anteriores operaciones mencionadas. En la segunda parte se encuentra determinada una de las aplicaciones de las convoluciones donde se representa la anterior mencionada en un procesamiento de una imagen por medio del software MatLab. Los procedimientos aplicados para la primera parte consisten en realizar la convolución continua de señales típicas como triangular, rectangular entre otras y de señales periódicas como senoides. Analizar algunas propiedades de la convolución e implementar simulaciones relacionadas con convolución discretas, utilizando señales no periódicas y periódicas. Además de simulaciones de deconvoluciones. Y por establecer la similitud de la correlación con la operación de convolución, y sus aplicaciones. Ejercicio 1 Existen varias formas de hallar la convolución de dos señales: analítica, gráfica y numérica. A continuación, se presenta un ejemplo para implementar en Matlab. La librería descargada ADSP posee la rutina convnum que aproxima la convolución de señales analógicas. Sea 𝑥(𝑡) = 3 cos(0.5𝜋𝑡) y ℎ(𝑡) = 2𝑡𝑟𝑖(𝑡 − 1) halle la convolución 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡)

a. El tiempo de inicio de y(t) es igual a la suma de los tiempos de inicio de x(t) y h(t). El tiempo final de y(t) es igual a la suma de los tiempos finales de x(t) y h(t). El área de y(t) es igual al producto de las áreas de x(t) y h(t). Explique con los resultados de la anterior grafica el cumplimiento de esta propiedad. b. En el ejemplo anterior hemos utilizado la función convnum, sin embargo, Matlab trae una función incorporada que realiza la convolución de dos señales conv, realice el cambio en el anterior script y compare las gráficas. c. Implemente la convolución de las siguientes señales en Matlab. 𝑥(𝑡) = 4𝑡𝑟𝑖(𝑡/2) y ℎ(𝑡) = 𝛿(𝑡 + 1) + 𝛿(𝑡 − 1). ¿Cuánto es el área de la convolución? Verifique la siguiente propiedad con estas señales: 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡) Ejercicio 2 Una señal de entrada 𝑥[𝑛] = {2, −1, 3} es aplicada a un filtro FIR con respuesta a impulso ℎ[𝑛] = {1,2, 2, 3}. Encuentre la respuesta y dibuje todas las señales. A continuación, se presenta un script de Matlab que implementa la convolución: a. Realice la comprobación de los resultados arrojados en la gráfica de convolución y[n] del ejemplo anterior con el método planteado en el punto 3. b. Implemente el script en Matlab para el ejercicio del punto 3. Realice el análisis de los resultados de las gráficas con respecto al desarrollo analítico. Ejercicio 3 Igual con los sistemas analógicos, la respuesta de un sistema discreto en tiempo a una entrada periódica con periodo N es periódica también con el mismo periodo. Lo

que quiere decir que la respuesta de un sistema LTI a una entrada sinusoidal es también una sinusoide a la misma frecuencia. Sea 𝑥[𝑛] = 𝑐𝑜𝑠(0.2𝜋𝑛) la señal de entrada a un filtro digital cuya respuesta al impulso es ℎ[𝑛] = {1,2,3,4,5,6,7,8} a. Determine el periodo de la señal cosenoidal, y utilice los siguientes comandos en un script de Matlab para las señales y la convolución. b. Compare el resultado del periodo de la señal coseno calculado con el periodo su grafica en Matlab. ¿El resultado de la convolución tiene el mismo periodo de la señal de entrada? ¿Qué sucede al arranque de la gráfica de convolución? c. La respuesta de convolución es equivalente a la respuesta de estado cero, obtenida de la ecuación de diferencias que describe la respuesta al impulso h[n] y puede encontrarse usando la función de MATLAB filter. Utilice la función filter, para comparar el resultado de convolución. ¿Son iguales los resultados utilizando conv y filter? Calcule y grafique el error. Ejercicio 4 La convolución es una operación similar a la correlación. Implica desplazar una función más allá de otra y encontrar el área bajo el producto resultante. Sin embargo, a diferencia de la convolución, no se efectúa ninguna reflexión. La correlación de dos funciones idénticas x(t) se llama autocorrelación. Para dos funciones diferentes x(t) y h(t), la correlación 𝑟𝑥ℎ (𝑡)𝑜 𝑟ℎ𝑥(𝑡) se conoce como correlación cruzada. En el caso discreto tenemos: 𝑟𝑥𝑥 = 𝑥[𝑛] ∗∗ 𝑥[𝑛] = 𝑥[𝑛] ∗ 𝑥[−𝑛] 𝑟𝑥ℎ = 𝑥[𝑛] ∗∗ ℎ[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑘]ℎ[𝑘 − 𝑛] ∞ 𝑘=−∞

La autocorrelación es una función simétrica con un máximo en n=0 y satisface la desigualdad |𝑟𝑥𝑥[𝑛]| ≤ 𝑟𝑥𝑥[0]. La correlación es un método eficaz para detectar señales ocultas entre el ruido. Esto significa que, si se correlaciona una señal ruidosa con ella misma, la correlación solo se deberá solo a la señal presente (si hay alguna) y exhibirá un pico agudo en n=0. a. Sea x[n]=n, 0≤n≤8 y h[n]=n, 0≤n≤8, evalué y grafique la autocorrelación de rxx[n] y rhh[n], encontrando donde tienen su valor máximo. Evalué y grafiqué rxh[n] y rhx[n]. b. Implemente el siguiente script de Matlab para evaluar las correlaciones. c. Compruebe los resultados de las gráficas de la correlación cruzada, de la siguiente forma: alinee el último elemento de h[n] con el primero de x[n], inicie el desplazamiento de h[n], hasta recorrer toda x[n], un índice a la vez. Se suman los productos de cada par de valores que se alían para generar la correlación en cada índice. El índice de inicio de la correlación es igual a la suma de los índices de inicio de x[n] y h[-n]. IV.

RESULTADOS Ejercicio 1

Imagen 1. Programación en Matlab del ejercicio 1 parte a.

Imagen 2. Gráfica en Matlab del ejercicio 1 parte a.

Imagen 6. Gráfica en Matlab del ejercicio 2 parte c.

Observaciones

Imagen 3. Programación en Matlab del ejercicio 1 parte b.

Imagen 4. Gráfica en Matlab del ejercicio 1 parte b.

a. De acuerdo con la gráfica, se puede determinar que el tiempo final y(t) es la suma de los tiempos h(t) y x(t), cada uno con valor creciente de 1 y decreciente del mismo valor, por lo tanto, se determina que cada uno de los valores de esta función es 2. b. La convolución al realizar el cambio conv en el script no se afectó en lo absoluto. c. La grafica generada por MatLab (imagen 6) en color amarillo representa la convolución de x(t) y h(t). esta grafica se puede descomponer en dos figuras geométricas que facilitan el cálculo de su área. el área de un cuadrado de magnitud 2 en sus lados y el área de un triángulo con base de magnitud 2 y altura con magnitud 2. De acuerdo con lo anterior se puede determinar que el área de la convolución es 6 unidades cuadradas. Ejercicio 2

Imagen 5. Programación en Matlab del ejercicio 1 parte c.

Imagen 7. Programación del ejercicio 2 parte a.

Imagen 11. Programación en Matlab del ejercicio 2 parte b.

Imagen 8. Gráfica de la señal x en Matlab del ejercicio 2 parte a.

Imagen 12. Gráfica de la señal x en Matlab del ejercicio 2 parte b.

Imagen 9. Gráfica de la señal h en Matlab del ejercicio 2 parte a.

Imagen 13. Gráfica de la señal h en Matlab del ejercicio 2 parte b.

Imagen 10. Gráfica de la señal y en Matlab del ejercicio 2 parte a.

Ejercicio 3

Imagen 15. Ejercicio 3 parte a.

Imagen 14. Gráfica de la señal y en Matlab del ejercicio 2 parte b.

Observaciones a. Realizando la comprobación por el método de sumas por columnas. El índice de inicio de h[n] es n=-2 y el de x[n] es n=-1 por lo que el índice de y[n] es la suma de los índices de inicio, para este caso n=-3. n

-3

-2

-1

0

2

2

3

2

-1

3

2

4

4

6

-1

-2

-2

-3

3

6

6

9

5

10

3

9

h[n] 1 x[n]

y[n]

2

3

1

Imagen 16. Gráfica del filtro digital en Matlab del ejercicio 3 parte a.

2

Comparando los resultados obtenidos con la imagen 10, podemos verificar que los valores se cumplen. b. Con lo que respecta a la comprobación del ejemplo planteado en la guía, este se puede comprobar en la imagen 14.

Imagen 17. Gráfica de la señal de entrada en Matlab del ejercicio 3 parte a.

Imagen 18. Gráfica de la señal de respuesta en Matlab del ejercicio 2 parte a.

Imagen 21. Gráfica de la señal de entrada (conv) en Matlab del ejercicio 3 parte c.

Imagen 19. Programación en Matlab del ejercicio 3 parte c.

Imagen 22. Gráfica de la señal de respuesta en Matlab del ejercicio 3 parte c.

Observaciones a. Determinando el periodo de la señal: 2𝜋𝑛𝐹 = 0.2𝜋𝑛 𝐹 = 0.1

Imagen 20. Gráfica del filtro digital en Matlab del ejercicio 3 parte c.

1 1 = = 10 𝐹 0.1 b. Al comparar el periodo de la señal de entrada de la imagen 17, vemos que coinciden con un periodo igual a 10. Con lo que respecta al análisis del periodo de la señal de entrada y su respuesta a la convolución encontramos que después del arranque de la convolución la señal se estabiliza sincronizándose con la frecuencia de entrada; podemos argumentar que existe un efecto de arranque en los 𝑇=

sistemas de respuesta a entradas periódicas, es decir que dicho efecto perturba la respuesta a la convolución en un proceso de un periodo de duración. c. Como se logra observar en la imagen 22 encontramos el error de comparar los resultados utilizando conv y filter, donde se evidencia que el error relativo es bastante despreciable y se podría llegar a concluir que la respuesta de convolución es equivalente a la respuesta de estado cero, obtenida de la ecuación de diferencias que describe la respuesta al impulso h[n] ya que como se ha mencionado dicho error es aproximadamente cero.

Imagen 24.Gráfica de la señal de la autocorrelación de rxx en Matlab del ejercicio 4 parte a.

Ejercicio 4

Imagen 25.Gráfica de la señal de la autocorrelación de rhh en Matlab del ejercicio 4 parte a.

Imagen 23. Programación en Matlab del ejercicio 4 parte a.

Imagen 26.Gráfica de la señal de la autocorrelación de rxh en Matlab del ejercicio 4 parte a.

V.

Imagen 27.Gráfica de la señal de la autocorrelación de rhx en Matlab del ejercicio 4 parte a.

Observaciones a. En las respectivas imágenes anteriores se evidencian los valores picos de las autocorrelaciones rxx[n] y rhh[n]. b. En las imágenes 26 y 27 se aprecian respectivamente las correlaciones de rxh y rhx. c. Al restar los picos de las correlaciones cruzadas encontramos la correlación por lo tanto, la correlación es igual a 5, lo cual es lo mismo que sumar los índices de inicio de x[n] y h[-n].

Aplicación de convoluciones en imágenes con procesamiento en MatLab Se implementan los siguientes scripts de Matlab para el respectivo procesamiento de: • • •

Convolución con bordes horizontales, verticales y combinados. Filtrado gaussiano. Filtrado gaussiano en imagen con ruido gaussiano.

Para una mejor lectura de la información los resultados encontrados se encuentran en los anexos de este mismo informe.

DISCUSIÓN DE RESULTADOS

De acuerdo con la guía de laboratorio diseñada por el docente, el grupo de laboratorio desarrolla paso a paso cada uno de los ítems que la conforman. Para el parágrafo uno de la guía se usó la rutina de Matlab convnum para realizar la convolución de dos señales x(t) y h(t), posteriormente se evaluó una nueva rutina conv que genera la misma grafica de convolución. Como primera conclusión relevante de este laboratorio se puede afirmar que la información planteada previamente con respecto al tiempo de inicio y el tiempo final de y(t) es correcta ya que cada uno de estos es igual a la suma de los tiempos de inicio y fin de x(t) y h(t). Por otra parte se comprueba que la ecuación y(t) = x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) se cumplen siempre y cuando se hagan las sustituciones ∞ correspondientes 𝑥(𝜆)ℎ(𝑡 − 𝜆)𝑑𝜆 = ∫−∞ ∞

ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡) = ∫−∞ ℎ(𝜆)𝑥(𝑡 − 𝜆 )𝑑𝜆.

Al realizar un análisis general de los aspectos más importante de los cuales cabe mencionar se caracterizan los conceptos sobre la respuesta de la convolución donde se logró determinar en el ejercicio 1 y sus respectivas gráficas, que el área bajo la curva de la señal resultante de la convolución es igual a la suma de las áreas bajo la curva de las señales que intervienen en la convolución. Para el parágrafo dos de la guía de laboratorio se logró realizar una comparación de la convolución de dos señales discretas 𝑥[𝑛] y ℎ[𝑛]. La convolución de las dos señales discretas se puede realizar de forma gráfica usando Matlab (imagen 10) y de forma teórica usando el método de sumas por columnas. De acuerdo con los resultados obtenidos se puede corroborar que el método de sumas por columnas permite establecer los resultados de la convolución de dos señales discretas de forma fácil y rápida, de igual forma se corrobora que las gráficas que resultan del

código planteado representan correctamente la convolución de las funciones dadas. Finalmente es importante resaltar la importancia al momento de determinar el índice de inicio para realizar correctamente la convolución usando el método de sumas por columnas, cualquier error en la determinación de este, derivará en resultados de convolución que no corresponden con la realidad. Ahora abarcando los aspectos de sistemas de respuestas con entradas periódicas enlazando dicho sistema con el tema de convoluciones encontramos que la respuesta al aplicar un impulso no varia con respecto a la entrada, es decir, como podemos ver en el ejercicio tres que encontramos en los resultados, se puede demostrar que al aplicar la convolución de un dicho impulso y una señal de entrada a un filtro digital la respuesta sigue siendo la señal de filtro con su misma fase y periodo, sin embargo es necesario recalcar que en estos casos se ve influenciado un efecto de arranque que se prolonga a lo largo de un periodo en el cual la señal se ve afectada en magnitud y fase. Ahora analizando no por último menos importante la aplicación de las convoluciones en nuestras acciones diarias, es bastante curioso poder entender la forma como se genera un filtro de una imagen, y más aún como poder reconstruir una imagen que puede que no sea muy definida de apreciar, es por eso que en este informe se describe el proceso de como filtrar, corregir el ruido y aplicar una convolución a una imagen cualquiera utilizando la herramienta de software Mat...