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COEFICIENTE DE DETERMINACION (R2) Y COEFICIENTE DE CORRELACION (r) Juan Camilo de la Cruz Álzate (1842841)

COEFICIENTE DE DETERMINACION R2 Mide la proporción de la variabilidad en los datos (Variable de respuesta) que es explicada por el modelo de regresión, tomando valores entre 1 y 0. Es decir, si obtenemos un R2 de 0.930, podemos afirmar que el 93% de la variabilidad observada por la variable de respuesta es explicada por el modelo de regresión o visto de otra manera el 93% de los datos considerados al momento de realizar una regresión se ajustan al modelo escogido para efectuarla [1]. El cálculo del coeficiente de determinación se evidencia en la ecuación (1). 𝑅2 =

𝑆𝐶𝑅 𝑆𝐶𝑇

(1)

Donde SCR corresponde a la suma de cuadrados de la regresión y SCT a la suma de cuadrados total. El calculo de SCR y SCT se evidencian en las ecuaciones (2) y (3) respectivamente, donde N corresponde al numero al numero de datos que se tienen 𝑖 corresponde al valor de la variable de respuesta para realizar la regresión (población), 𝑌 estimada por el modelo y 𝑌 al promedio de todos los valores de la variable de respuesta [2]. 𝑁

𝑖 − 𝑌 )2 ∑(𝑌

(2)

𝑖=1 𝑁

∑(𝑌𝑖 − 𝑌)2

(3)

𝑖=1

Cuando hay muchos términos en un modelo, el estadístico R2 es engañoso al incrementarse de forma artificial cada termino al modelo, aunque sea un termino que no contribuya en la explicación de la respuesta obtenida. Debido a lo anterior nombrado se prefiere el estadístico R2aj (coeficiente de determinación ajustado) ya que incluso baja de valor cuando el termino que se agrega no aporta nada. (Para fines de predicción se recomienda un R2aj de al menos 0.7) [1]. Este coeficiente de dominación ajustado cumple que 0 < R2aj ≤ R2 ≤ 1.0. La formula para calcular este coeficiente se evidencia en la ecuación (4), donde CMT (cuadrado medio

total) se calcula al dividir la suma de cuadrados total (Syy), entre sus grados de libertad y el CME se calcula dividiendo el SCE entre sus grados de libertad [1]. 2 = 𝑅𝑎𝑗

𝐶𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐶𝑀𝐸 𝐶𝑀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

(4)

Lo anterior mencionado se evidencia con mas claridad en la Tabla 1 que muestra un análisis de varianza para un modelo de regresión simple, en ella se muestra las formula del cálculo de grados de libertad y los cuadrados medios ya mencionados; se debe tomar en cuenta que n es el número total de datos. Tabla 1. Analisis de varianza para un modelo de regresion simple

COEFICIENTE DE CORRELACION r Mide la intensidad de la relación lineal entre dos variables X y Y. Este coeficiente, toma valores entre -1 y 1; si r es más próximo a -1, entonces tendremos una relación lineal negativa fuerte y obtendremos una relación lineal positiva fuerte si este valor toma el valor de 1, finalmente si el coeficiente de correlación es 0 entonces se dice que no hay una correlación lineal [1]. Podemos calcular el coeficiente de correlación lineal usando la ecuación (5) en donde Sxy es la covarianza, dividida por el número de datos N o n, de las variables X y Y. Sxx es la varianza de X, dividida entre N o n, y Syy es la varianza de Y también dividida por el numero de individuos de la población o muestra [1]. 𝑟=

𝑆𝑥𝑦

√𝑆𝑥𝑥 𝑆𝑦𝑦

(5)

Es importante mencionar que en el caso de una regresión lineal el coeficiente de determinación y el coeficiente de correlación lineal presentan una relación directa, de modo que R2 = r2 [1]. La explicación matemática se evidencia en la Figura 1.

Figura 1. Demostración de por que el coeficiente de correlación lineal es igual al coeficiente de determinación en una regresión lineal.

BIBLIOGRAFIA [1] Gutiérrez, H.; Salazar, R. V. Análisis y diseño de experimentos, Segunda ed.; Mc Graw Hill Education: Ciudad de México, 2008. [2]Economipedia. Coeficiente de determinación (R cuadrado) https://economipedia.com/definiciones/r-cuadrado-coeficiente-determinacion.html (accessed Oct 24, 2019)....