Cours physique maths 27 29 PDF

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Summary

Cours de physique maths composés de plusieurs parties.
C'est un cours complet, simple et efficace. ...

Description

III 1.

Suites et séries Suites numériques • Définition : Une suite un est une application N → K ≡ R ou C, n 7→ un . Elle converge vers l ssi lim un = l ⇔ ∀ ǫ > 0, ∃ N ∈ N / ∀ n > N, |un − l| < ǫ ⇔ lim |un − l| = 0. n→∞

n→∞

• Propriétés : — Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse (exemple : un = (−1)n ). — Toute suite croissante majorée ou décroissante minorée est convergente (un = 1/n). — Soient un , vn ∈ K deux suites convergeant vers u, v et α, β ∈ K. Alors un × vn converge vers u × v et αun + βvn converge vers αu + βv . La réciproque est fausse. En revanche, si un ∈ C alors un converge ⇔ Re(un ), Im(un ) convergent et lim un = lim Re(un ) + i lim Im(un ). n→∞

n→∞

n→∞

• Suite de Cauchy : On appelle ainsi toute suite vérifiant ∀ ǫ > 0, ∃ N ∈ N / ∀ n, m > N, |um − un | < ǫ. Toute suite convergente est une suite de Cauchy. La réciproque est vrai dans les espaces dits complets. C’est le cas de R et C. C’est donc une condition nécessaire et suffisante de convergence. Il est plus facile de prouver la condition de Cauchy que celle de convergence car on n’a pas besoin de connaitre la limite l !

2.

Séries numériques

a)

Généralités • Définitions : Soit un une suite d’éléments de K. La suite Sn =

n X

ui est appelée somme

i=0

partielle d’ordre n de la série de terme général un . La série converge (CV) ssi Sn ∞ X ui est appelée somme de la converge, sinon elle diverge (DIV). Dans ce cas, S ≡ série et le reste d’ordre n est Rn ≡ S − Sn =

∞ X

i=0

ui . Si la série converge lim Rn = 0. n→∞

i=n+1

Attention : la réciproque est fausse car le reste n’est défini que si la série converge ! • Propriétés : Soient un , vn deux suites et α, β deux nombres de K. Si

X

un

n≥0

X

vn convergent alors

X

(αun + βvn ) converge vers α

un + β

La réciproque est fausse. En revanche, si un ∈ C alors

X

X

Im(un ).

vn .

n≥0

n≥0

n≥0

n≥0

X

X

un converge

n≥0

⇔

X

n≥0

Re(un ),

X

Im(un ) convergent et

X

n≥0

n≥0

• Condition de Cauchy :

un =

X

n≥0

Re(un ) + i

n≥0

    q  X un  < ǫ. un converge ⇔ ∀ ǫ > 0, ∃ N ∈ N / ∀ p, q > N, |Sq − Sp | =   n=p  n≥0 X

C’est une condition nécessaire et suffisante de convergence. Il est plus facile de X prouver un ! la condition de Cauchy que la convergence car on n’a pas besoin de connaitre n≥0

25

• Condition nécessaire de convergence : Si

X

un converge alors lim un = 0. n→∞

n≥0

La réciproque est fausse. Cependant, lim un 6= 0 ⇒ n→∞

X

un diverge (grossièrement).

n≥0

• Exemples : Soient α, β ∈ R et q ∈ K. X n X q = q n converge ssi |q| < 1, et dans ce cas — Séries géométriques : n≥0

n≥0

1 . 1−q

X 1 X 1 converge ssi α > 1. En particulier diverge. α n n n≥0 n≥0 X 1 — Séries de Bertrand : converge ssi α > 1 ou (α = 1 et β > 1). α (ln n)β n n≥0

— Séries de Riemann :

b)

Séries à termes positifs

On appelle ainsi les séries dont le terme général appartient à R+ à partir d’un certain rang. Dans ce paragraphe on suppose ∀n ∈ N, un , vn ∈ R+ . n X X ui est majorée. un converge ssi la suite des sommes partielles Sn = • Majoration : i=0

n≥0

• Comparaison : Si ∀ n ∈ N, un ≤ vn alors : —

X

vn converge ⇒

X

un converge et dans ce cas

un diverge ⇒

X

vn diverge.

n≥0

n≥0

• Domination : Si un = o(vn ), ie lim

n→∞

—

X

vn converge ⇒

un ≤

X

vn .

n≥0

un = 0, alors : vn

un converge,

n≥0

n≥0

—

X

X

n≥0

n≥0

n≥0

—

X

X

X

un diverge ⇒

X

un converge ⇔

vn diverge.

n≥0

n≥0

• Encadrement : Si ∃ α, β > 0 tels que ∀ n ∈ N, αvn ≤ un ≤ βvn alors : —

X

vn converge.

n≥0

n≥0

—

X

vn diverge ⇔

X

un diverge.

n≥0

n≥0

On dit que les séries

X

n≥0

• Equivalence : Si un ∼ vn , ie lim

n→∞

• Tests de Riemann :

un et

X

vn sont de même nature.

n≥0

X X un vn sont de même nature. un et existe et est = 6 0, +∞, alors vn

— Si ∃ α > 1 / lim nα un = 0 alors n→∞

n≥0

X

un converge.

n≥0

— Si ∃ α ≤ 1 / lim nα un = +∞ alors n→∞

n≥0

X

un diverge.

n≥0

— Si lim nα un existe et est 6= 0, +∞ alors n→∞

X

n≥0

26

un et

X 1 sont de même nature. nα n≥0

• Test intégral : +

+

Soit f : R → R décroissante, alors

ˆ

n→∞

n→∞

c)

f (x) dx et 0

un+1 un

Séries à termes quelconques • Convergence absolue : La série

X

X

f (n) sont de même nature.

n≥0

X   un converge Si l < 1 alors     n≥0 X un diverge :  Si l > 1 alors   n≥0   Si l = 1 on ne peut pas conclure.

• Test de Cauchy : Soit l ≡ lim (un )1/n

• Test de d’Alembert : Soit l ≡ lim

∞

 X  un converge Si l < 1 alors     n≥0 X : un diverge Si l > 1 alors    n≥0   Si l = 1 on ne peut pas conclure.

un , où un ∈ K, converge absolument (CVA)

n≥0

ssi

X

|un | converge. Si

X

un converge mais

X

X

un converge, mais la réciproque est fausse.

n≥0

|un | diverge la série est dite semi convergente (SCV).

n≥0

n≥0

Soient

|un | alors

n≥0

n≥0

Si

X

X

un et

n≥0

X

vn CVA alors ∀ α, β ∈ K,

n≥0

X

(αun + βvn ) CVA.

n≥0

• Séries alternées : La série

X

un est dite alternée ssi son terme général est de la forme

n≥0 +

un = (−1)n an où an ∈ R . Si de plus la suite an est décroissante et lim an = 0, alors n→∞ X un converge. Notons S la somme, Sn la somme partielle et Rn le reste d’ordre n. n≥0

On a : S2n+1 ≤ S ≤ S2n et |Rn | ≤ an+1 . Exemple : • Théorème d’Abel : Soit la série

X

X (−1)n est SCV. n n≥0

un où un = an bn avec an ∈ R+ et bn ∈ K. Si :

n≥0

i) la suite an est décroissante et lim an = 0, n→∞

n X

 !   n  X  bi < B ∃B ∈ R / ∀n ∈ N,   

bi est bornée ii) la suite des sommes partielles Bn = i=0 i=0 X un converge. Pour bn = (−1)n on retrouve le théorème des séries alternées. alors n≥0

• Produit de Cauchy de 2 séries : Soient les séries

X

un et

n≥0

Leur produit de Cauchy est la série

X

X

vn où un , vn ∈ K.

n≥0

wn dont le terme général est wn =

X

un et

n≥0

Si de plus

X

|vn | convergent, alors

|un | converge alors

n≥0

wn converge et

n≥0

n≥0

X

X

X

|wn | converge.

n≥0

27

ui vn−i .

i=0

n≥0

Si

n X

X

n≥0

wn =

X

n≥0

un ×

X

n≥0

vn ....