Maths financière L3 CCA Cours complet PDF

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Cours complet Mathématiques financières L3 CCA Professeur Ion Lapteaucru...

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MATHEMATIQUES FINANCIERES Coordonnées du professeur: [email protected] L’introduction générale de ce cours se fera en 2 parties : • •

Généralités Deux notions essentielles : la capitalisation et l’actualisation

Introduction I.

Généralités A. Notions de base

→ Les maths fi ont pour but l’analyse/ l’étude des matières financières → Il s’agit d’étudier le prix auquel l’argent présent sera évalué dans le futur → Prix d’échange + montant de l’échange = taux d’intérêt →

Différents facteurs (4) agissent sur les taux d’intérêts : ✓ ✓ ✓ ✓

Montant de l’opération : M+ ; i+ Durée de l’opération : T+ ; i+ Conjoncture économique (selon la politique monétaire de la BC) : Cf. # Risque de l’opération : R+ ; i+

A noter : par convention, pour étudier les variations des cours etc on prend les titres d’état qui sont dépourvus de fiscalité.

# : La déflation entraine une baisse du taux directeur (et inflation une augmentation du taux) Le taux directeur :

1. Coût de l’emprunt qui agit sur le taux d’intérêt 2. Cours d’emprunt des banques commerciales auprès de la BC

→ Celui-ci entraine une répercussion sur le coût de financement de l’économie (ménage, E.) → Tx (directeur) + ; i (CT) + → Tx (directeur) + ; i (LT) + Tx (directeur) + ; i (LT) =

ssi anticipation des investisseurs pas d’influence ssi pas d’anticipation des investisseurs

1

→ La relation entre le taux directeur et la durée pour un même actif financier ( la courbe des taux (ci-dessous) CT

) donne

LT (manque d’anticipation)

B. Les différents types de risques Il existe deux types de risques : 1.

Le risque de défaut de paiement ou de non remboursement :

→ Risque qu’à l’échange des intérêts et/ ou de K le débiteur ne puisse pas assurer ses engagements càd rembourser une partie ou la totalité de intérêts et/ ou du K. 2.

Le risque de dégradation de la qualité de signature :

→ Risque de dégradation de la situation financière (ou du bilan) du débiteur ce qui pourrait (éventualité) l’amener à ne pas honorer ses engagements aux dates respectives. →

Ce risque intervient entre deux échéances

→ Ce phénomène entraine alors la baisse du prix du titre : 𝑷(𝟎) = ∑𝒏𝒕=𝟏

𝑭(𝒕)(𝒇𝒍𝒖𝒙 𝒂𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍𝒊𝒔é𝒔) (𝟏+𝒕)𝒏

si F - ; i +

✓ Intérêts : coupons à chaque échange ✓ A la fin : coupon + K 𝒊(𝒋𝒕) = 𝒊(𝒎) + 𝝅(𝒋𝒕) + 𝑰 ✓ i(m) : intérêts de marché ✓ π(jt) : prime de risque pour chaque débiteur ✓ l : prime de liquidité de marché ✓ j : entreprise(s) ✓ t : à l’instant t 2

→ d’où i(m) et l : GLOBAL : idem pour tous → et π(jt) : INDIVIDUEL : puisque dépend du débiteur Le taux d’intérêt :

1. Prix de renoncement à la consommation présente pour la consommation future. 2. Prix qu’on exige pour renoncer à l’argent aujourd’hui pour consommer plus tard 3. M+ ; i+ : plus on renonce à de l’argent maintenant (pour le prêter) plus on veut un retour important au moment du remboursement pour « dédommager » le fait de ne pas avoir pu consommer tout de suite.

C. Evolution de la conjoncture économique et influence Dans les années 1980, le gouvernement français a mené une politique de décloisonnement et d’ouverture du marché financier. Le décloisonnement : Il permet aux acteurs autres que les acteurs traditionnels d’accéder au marché financier. (ex : les ménages peuvent y accéder grâce à des agences de courtage / les fonds de pensions ...) → Le revenu gagné sur le marché financier est de plus exonéré d’impôts (incitation) → Présence/ création de nouveaux produits financiers pour répondre aux besoins des nouveaux acteurs de ce marché. → A l’intérieur du pays : marché décloisonné A l’extérieur : marché ouvert avec autorisation de transactionner sur le marché financier français pour les agents économiques étrangers.

→ Conséquences : réduction des paramètres globaux du marché ✓ + offre de titres et de demande : - taux d’intérêt ✓ + participants (demande) : - prime de liquidité 3

La liquidité :

manière (en termes de rapidité et de coût) dont les actifs s’échangent contre des moyens de paiement.

→ Plus le financement est rapide et à moindre coût, plus le marché est liquide. → La conjoncture économique a permis : ✓ la baisse des taux d’intérêts ✓ donc une augmentation de la consommation des agents économiques ✓ donc une hausse de la croissance

Dans ce cours nous respecterons les postulats suivants : → On considère un même taux d’intérêt pour toute la durée de l’opération (pas de dissociation dans le temps entre LT/ MT/ CT). → On ne prendra pas en compte l’inflation mise en avant par la relation de Fisher.

La relation de Fisher :

→ 𝟏+𝒓=

II.

L’inflation agit sur le taux d’intérêt.

𝟏+𝒊

(𝟏+𝝅𝒓 )

Capitalisation et actualisation A. Le principe

→ Le taux d’intérêt rémunère : ✓ l’absence d’utilisation de l’argent aujourd’hui pour une utilisation future, ✓ les risques liés à cette opération. → Tous les éléments sont liés dans le temps ✓ Ex : risque : probabilité dans l’avenir (donc notion de temps)

4

→

On peut exprimer ce taux d’intérêt entre les valeurs monétaires présentes et futures. C’est ce que l’on appelle le taux de transformation de l’argent dans le temps.

→

La relation entre le temps et le taux d’intérêt fait référence au calcul actuariel qui permet de comparer deux montants à une date différente en les ramenant à une même date. Ce calcul est composé des méthodes de : ✓ La capitalisation ✓ L’actualisation Deux sommes ne peuvent pas être comparées si elles ne

Mais pourquoi ce calcul ?

sont pas considérées à la même date car l’argent doit fructifier.

B. La capitalisation Elle permet de connaitre la valeur acquise (valeur future) d’une somme dont on connait la valeur actuelle (valeur présente). → V(0)= 1000

(= valeur actuelle)

→ V(1)= V(0) * (1+i)

= 1050

(= valeur acquise)

= Opération de capital

C. Actualisation Elle permet d’estimer la valeur actuelle d’une somme dont on connait la valeur acquise. → C’est l’inverse de l’opération capitalisation → Exemple :

combien devrait-on déposer à la banque avec un taux de 5% pour avoir 1050€ dans 1 an ?

✓ On sait que V(1)= V(0) * (1+i) ✓ On pose donc : 𝑽(𝟎) = ✓ Avec V(1) = 1050

𝑽(𝟏) 𝟏+𝒊

= 1050 / (1+5%) = 1000€

✓ Et i = 5%

5

Chapitre 1 : les intérêts simples I.

Définitions et principe de base. A. Définition Intérêt :

Rémunération d’un prêt

→ Cette rémunération est à intérêt simple : c’est lorsque les intérêts ne s’ajoutent pas au capital pour porter eux-mêmes intérêts, càd lorsque que les intérêts s’estiment uniquement par rapport au capital initial (emprunt ou prêt). → Il existe 3 caractéristiques de base : ✓ Durée =< 1 an ✓ Les intérêts sont payés en 1 seule fois ✓ Les intérêts sont calculés au prorata temporis (selon le temps) : •

V(n) = valeur actuelle + totalité des intérêts

I(t) : m. intérêts à l’instant t

•

V(n) = V(0) + somme[i(t) sur période n) ]

V(0) :

valeur

actuelle

V(n) : valeur acquise n : nombre de période i : tx d’intérêt par période → Très

: le taux d’intérêt doit correspondre au type de période :

✓ Taux annuel si la période est l’année ✓ Taux mensuel si la période est le mois ✓ Etc. ... ✓ Ex :

t=1 :

I(1) = i*V(0)

t=2 :

I(2) = i*V(0)

...

...

t=n :

I(n) = i*V(0)

𝑽(𝒏) = 𝑽(𝟎) + ∑𝒏𝒊=𝟏 (𝒊 ∗ 𝑽(𝟎)) 𝑽(𝒏) = 𝑽(𝟎) + (𝒏 ∗ 𝒊 ∗ 𝑽(𝟎)) 𝑽(𝒏) = 𝑽(𝟎) ∗ (𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊)

6

→ Conventions: ✓ L’année = 360 jours ✓ Le mois = 30 jours ✓ Base de l’estimation = nombre de jours exacts / 360

→ Calcul de la période : ✓ Si on connait les dates de début et de fin exactes de l’opération : On calcule le nombre de jour exacts = nombre de jours incluant le 1er et excluant le dernier. Ex : période du 01/10 au 01/01 : 31 + 30 + 31 = 92 jours ✓ Si on ne connait pas les dates (ou seulement une date) : On considère que 1 mois = 30 jours

II.

Taux proportionnels (pour intérêts simples) A. Théorie Taux proportionnel : Deux taux d’intérêts sont dits équivalents s’ils rapportent la même somme sur la même durée à partir du même montant initial. Ces taux s’appellent taux proportionnels.

→ Dans le calcul, il est important que : ✓ La durée en rapport avec le taux 1 soit divisée par la période 1. ✓ La durée en rapport avec le taux 2 soit divisée par la période 2. → Calcul pour les taux proportionnels V(n1) = V(0) * [1 + i(1)n(1)]

V(n1) = V(n2)

ssi

i(1)n(1) = i(2)n(2)

V(n2) = V(0) * [1 + i(2)n(2)]

V(n1) = V(n2)

ssi

𝒊(𝟏) = 𝒊(𝟐) ∗ 𝒏(𝟏)

𝒏(𝟐)

7

✓ V(0) = montant initial ✓ i(1) = taux d’intérêts par période de type 1 ✓ i(2) = taux d’intérêts par période de type 2 ✓ n(1) = nombre de période du type 1 ✓ n(2) = nombre de période du type 2

→ La conversion des taux se fait comme suit : ✓ i(m) = i(annuel) / 12 ✓ i(tri) = i(annuel) / 4 ✓ i(jour) = i(annuel) / 360

B. Pratique → Exemple n°1 :

Un individu place 5000€ pour 4 mois à partir du 15 septembre au taux annuel de 5%. De combien dispose-t-il à l’issue de son placement ?

✓ i(a) = 5% / an ✓ V(0) = 5000€ ✓ m=4 ✓ V(n) = 5000 * [1 + (0,05/12) * 4] = 5083,33€

→ Exemple n°2 :

Un individu place 3000€ du 15/08 au 23/12 sur son compte qui rapporte 1,5% / an.

✓ i(a) = 1,5% / an ✓ V(0) = 3000€ ✓ Période du 15/08 au 23/12 : on fait ce calcul car on connait les deux dates précises j = 17 + 30 + 31 + 30 + 22 = 130 ✓ V(n)= 3000 * (1+ (0,015/360) * 130) = 3016,25€

8

→ Exemple n°3 : (Problème à l’envers)

✓

Pour combien de temps doit on placer aujourd’hui 2000€ sur un compte qui rapporte 2% / an pour obtenir 2030€ ?

Pour ce genre de problème, prendre : l’expression / nombre jours / an (360) et justifier à la fin de l’exercice qu’on utilise les intérêts simples.

✓ Supposons que n=1 an : Vn =2000(1+0,02x1) =2040 € ✓ Comme 2030 ia.

Exercice : Un individu place 20000 € à un taux annuel de 5% sur une durée de 6 mois à intérets précomptés. Quel est le taux effectif ou le rendement de son placement ? ✓ ✓ ✓ ✓

Vo = 20000 € IA = 0,05 Nm = 6 mois Nj = 180 jours 10

0,05 ✓ IA’ = 1−0,05𝑥180 360

= 0,0513

Exemple 2 : Un individu a le choix entre 2 placements, le premier du 28 juin au 24 août au taux annuel de 8%, les intérêts étant versés au début du placement. La second du 9 septembre au 21 novembre au même taux d’intérêts, les intérêts étant versé à la fin du placement. Le rendement de quel placement est le plus avantageux ? I’ =

18/06-14/08, ia = 0,08 intérêts précomptés 9/09-21/11, ia =0,08 intérêts pot-comptés 0,08

0,08 𝑥 𝑗 1− 360

IV.

=

0,08

0,08 𝑥 57 360

1−

= 0,08103 => la première est la meilleure opération.

Effet de commerce et escompte commercial A. Définition Un effet de commerce :

Une créance, une reconnaissance de dette entre deux agents économiques

Un escompte commercial :

C’est le cout de transformation d’une créance en moyen de paiement.

→ Présenté sous forme de lettre de change le plus souvent (ou un billet de trésorerie), c’est un moyen de financement des entreprises à CT. Si l’entreprise remet à une banque un effet de commerce pour l’escompte, alors elle perçoit la valeur de l’effet avant son échéance. L’effet de commerce à cette occasion est l’instrument de crédit qui permet à l’entreprise de se financer avant la date d’échéance de l’escompte.

B. Le principe de l’effet de commerce 1. Exemple n°1 : mode de fonctionnement de l’EC

11

Deux entreprises : Entreprise A et son fournisseur B. Le fournisseur lui procure une marchandise à crédit sur 3 mois. L’entreprise A émet un effet de commerce à son fournisseur sur 3 mois, qui représente en quelque sorte une garantie de paiement. Si Le fournisseur B a besoin d’argent avant l’échéance de l’effet de commerce (au bout de 2 mois), il vend son effet auprès d’une banque (crédit auprès de la banque). Le mois suivant, l’entreprise A rembourse la dette. Elle n’est plus débitrice, et c’est la banque qui va encaisser le solde de l’effet de commerce. → Schéma explicatif de la situation :

EC sur 3 mois E. A plus débitrice

Entreprise A

Vente EC après 2 mois

Banque Remboursement de la dette à 1 mois

Fournisseur B Achat de l’EC à crédit

Marchandise à crédit sur 3 mois

E : Escompte commercial / A : Agio

C. Calcul des agios de l’effet de commerce et de l’escompte → Devenant propriétaire de l’effet de commerce, la banque verse à l’E. (Fournisseur B) : Versement banque envers le fournisseur = valeur de l’effet de commerce (D) – intérêts

Car c’est une opération de crédit, la banque doit y trouver un intérêt, être rémunérée L’escompte :

Le prix auquel la banque achète un effet de commerce avant son échéance.

Les agios :

Sont les intérêts perçus par la banque pour cette opération de crédit (rachat de l’escompte de commerce)

→ Les conventions à prendre en compte : ✓ Les agios s’estiment sur la base : 1 an = 360 jours ✓ Le nombre de jours sur lesquels les agios sont estimés doit dépasser > 10 jours 12

✓ Pour estimer la durée sur laquelle les agios sont calculés on ajoute un jour de banque au nombre exact de jours, avec :

✓ Nombre de jours exact = date d’échéance effet de commerce - date à laquelle le compte de l’E a été crédité par la banque + 1 jour (= jour de banque) ✓ Intérêts (agios) = 𝑽 ∗ [

𝒊∗𝒋

𝟑𝟔𝟎

✓ Escompte(E) = 𝑽 − 𝑽 ∗ [

]

𝒊∗𝒋 ] 𝟑𝟔𝟎

avec V : valeur nominale de l’EC

Exercice : une entreprise négocie avec sa banque un effet de commerce à échéance du 15 octobre d’une valeur nominale de 50 000€ son compte est crédité 50 jours à l’avance et son taux d’escompte est de 5%/an. 1) Trouver le montant des agios et de l’escompte commercial 2) Calculer le taux effectif de l’escompte commercial 50+1

1) A = ia x 50000 360 = 354,17 € E = V – A = 50000 – 354,17 = 49645,83 € 354,17 365 2) I’ = x 52 = 0,05007 49645,83

Deux effets de commerces sont dit équivalents lorsqu’ils ont la même valeur actuelle (le même escompte) à une date donnée appelée date d’équivalence. Exercice : Une entreprise qui doit régler 100 000€ à échéance du 20 décembre à travers un effet de commerce demandé le 25 novembre à la banque qui le détient de reporter l’échéance au 15 janvier de l’année suivante. Déterminer le montant nominal du nouvel effet de commerce que l’entreprise signera pour remplacer le premier, les deux ayant le même taux d’escompte de 6%/an.  100 000 (1-0,06 x (35+1/360)) = X (1- 0,06 x (61+1/360))  X = 100 000 x

36

(1−0,06 𝑥 ( 360))

(1− 0,06 𝑥 (

 X = 100 437,86 €

62 )) 360

D. Calcul du taux réel de l’effet de commerce Pour calculer le taux réel de l’effet de commerce, il faut prendre en compte non pas le nombre de jours d’agios mais le nombre de jours de mise à disposition du crédit. Ce dernier s’estime comme : Nombre de jour de mise à disposition du crédit = date d’échéance effet de commerce date a laquelle le compte de l’E a été crédité par la banque + 2 jours 13

→ Pour résumer, la durée de mise à disposition du crédit > d’un jour de la durée sur laquelle on estime les agios.

→ Conventions pour le calcul de durée de mise à disposition du crédit ✓ 1 an = 365 jours ✓ Intérêts estimés sur le montant de l’escompte

𝒊′ ∗𝒋 ) 𝟑𝟔𝟓

✓ i’ : taux réel de l’EC : 𝑰(𝑨) = 𝑬 ∗ (  𝒊′ =

Effets équivalents :

𝑰 ∗ 𝟑𝟔𝟓 𝑬 ∗ 𝒋′

Plusieurs effets sont dits équivalents si leur valeur actuelle (d’aujourd’hui) estimée par rapport à une date de référence appelée date d’équivalence, sont égales.

14

2. Exemple n°1 : Une entreprise négocie avec sa banque un effet de commerce à échéance du 15 octobre et de montant nominal (valeur de l’effet) = 50 000€. Son compte est crédité 50 jours avant l’échéance. Le taux d’escompte est de 5% / an. 1) Trouver le montant des agios et de l’escompte commercial V = 50 000 j = 50 jours + 1 jour de banque i = 5% / an A = 50 000 * (0,05/360)*(50 + 1) E = 50 000*[1 – (0,05/360)*(50+1)]

2) Calculer le taux réel de l’escompte i’ = (A*365)/ E*(50 + 2)

3. Exemple n°2 : Une entreprise doit régler 100 000€ à échéance du 20 décembre demande le 15 novembre à son créancier (sa banque) de reporter l’échéance au 15 de l’année suivante. 1) Déterminez la valeur nominale du nouvel effet que l’entreprise signera pour remplacer le 1er, les deux ayant le même taux d’escompte de 6% / an. V(1)= 100 000

(20.12)

i(1) = 6% V(2) = ? i(1) = 6% Schéma : 15.11

20.12

15.01

35 + 1 61 + 1

→ Les deux effets sont équivalents si leur valeur actuelle sont les mêmes. 15

1er EC : E(1) = V(1)*[1-(i*(35+1))/360] 2nd EC : E(2) = V(2)*[1-(i*(61+1))/360] V(2) = V(1) = [1-(36/360)] / [1-(62i)/360] = 100 437,68€

4. Exemple n°3 : Une entreprise se trouve endettée de 3 EC vis-à-vis de son fournisseur : EC (1) : 5 000€ (05.09) EC (2) : 50 000€ (15.10) EC (3) : 80 000€ (20.11) Ces 3 EC son désormais détenus par sa banque. 15.08 demande de remplacement par 1 EC unique à échéance du 15.01. Taux 6% / an pour tous. 1) Quelle est la valeur du nouvel effet ? V(1) : 5 000€

05.09

i= 6%

V(2) : 50 000€

15.10

i= 6%

V(3) : 80 000€

20.11

i= 6%

Effet unique : V= ?

15.01

i= 6%

V*[1-(i*(163+1)/360] = V(1)* [1-(i*(21+1)/360] + V(2)* [1-(i*(61+1)/360] + V(3)* [1(i*(97+1)/360]

15.08

05.09

15.10

26.11

15.01

21 + 1 61 + 1

97 + 1

163 + 1

16

Chapitre n°2 : Les comptes courants et d’épargne I.

Compte courant porteurs d’intérêts

Il s’agit des comptes courants sur lesquels les soldes produisent des intérêts débiteurs ou créditeurs selon le type d’opération. → Les intérêts sont créditeurs lorsqu’ils s’estiment sur la somme du compte qui se trouve au crédit. → Les intérêts sont débiteurs lorsqu’ils s’estiment sur la somme du compte qui se trouve au débit. Les intérêts s’estiment par rapport à la date de valeur de l’opération. La date de valeur est la date à laquelle l’opération est prise en compte. Lorsque les taux débiteurs et créditeurs sont égaux, le compte est dit à taux réciproque. → Il y a deux méthodes pour estimer les intérêts sur un compte courant : ✓

La méthode directe :

qui permet d’estimer le montant des intérêts par

rapport à la date de clôture du compte en excluant ainsi tout calcul intermédiaire.

✓

La méthode de Hambourg :

qui permet d’estimer le montant des intérêts par

rapport à la date de valeur de l’opération suivante permettant ainsi de faire des calculs intermédiaires. La date d’arrêt des intérêts o...