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4.2 Pythagore, Thales et Trigonométrie

Aurélien Fontaine – ISFEC Bordeaux

Partie 1 : Le théorème de Pythagore I – Dans un sens… Définition Dans un triangle rectangle, on appelle l’hypoténuse le côté le plus grand. Il se situe à l’opposé de l’angle droit.

Théorème Si un triangle est rectangle, Alors la longueur au carré de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Exemple ABC est un triangle rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore on a : 𝐴𝐶² = 𝐴𝐵² + 𝐵𝐶²

A quoi ça sert ? Calculer une longueur dans un triangle rectangle

Méthode 1

Méthode 2

Je cherche la longueur de l’hypoténuse.

Je cherche une longueur qui n’est pas la longueur de l’hypoténuse. Je vais devoir faire une soustraction.

KIJ est un triangle rectangle en K, d’après le théorème de Pythagore 𝐼𝐽² = 𝐾𝐼² + 𝐾𝐽² 𝐼𝐽² = 6² + 11² 𝐼𝐽² = 157 Donc 𝐼𝐽 = √157 D’où 𝐼𝐽 ≈ 12,5 𝑐𝑚

GHI est un triangle rectangle en G, d’après le théorème de Pythagore 𝐻𝐼² = 𝐺𝐻² + 𝐺𝐼² 10,5² = 5² + 𝐺𝐼² 𝑮𝑰² = 𝟏𝟎, 𝟓² − 𝟓² 𝐺𝐼² = 85 ,25 Donc 𝐺𝐼 = √85,25 D’où 𝐺𝐼 ≈ 9,2 cm

Aurélien Fontaine – ISFEC Bordeaux

II – …Et dans l’autre. Réciproque Dans un triangle, Si la longueur au carré du plus grand côté est égale à la somme des longueurs au carré des deux autres côtés, Alors ce triangle est rectangle.

Contraposée Dans un triangle, Si la longueur au carrée du plus grand côté n’est pas égale à la somme des longueurs au carré des deux autres côtés, Alors ce triangle n’est pas rectangle.

A quoi ça sert ? Démontrer qu’un triangle est rectangle ou non.

Méthode 1

Méthode 2

Montrer qu’un triangle est rectangle : J’utilise la réciproque du Théorème de Pythagore

Montrer qu’un triangle n’est pas rectangle : J’utilise la contraposée du Théorème de Pythagore

Dans le triangle KJI, on a 𝐾𝐼² = 9,7² = 94 ,09 𝐾𝐽² + 𝐼𝐽² = 7,2² + 6,5² = 94 ,09 d’où 𝐾𝐼² = 𝐾𝐽² + 𝐼𝐽² Donc, d’après la réciproque du Théorème de Pythagore, le triangle KJI est rectangle en J.

Dans le triangle EDF, on a 𝐷𝐹² = 9² = 81 𝐸𝐷² + 𝐸𝐹² = 6² + 7² = 85 d’où 𝐷𝐹² ≠ 𝐸𝐷² + 𝐸𝐹² Donc, d’après la contraposée du Théorème de Pythagore, le triangle EDF n’est pas rectangle.

Aurélien Fontaine – ISFEC Bordeaux

Partie 2 : Le théorème de Thales I – Dans un sens … Théorème Soit deux triangles ABC et AMN avec A, M, B et A, N, C alignés. SI (BC) // (MN) Alors

𝐴𝑀

=

𝐴𝑁

=

𝑀𝑁

𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 𝐴𝑁 = Ou 𝐴𝑀 𝑀𝑁

A quoi ça sert ? Calculer une longueur dans un triangle.

Méthode Exemple 1

Exemple 2

(KJ) // (QP) 1) Je montre que les conditions sont réunies et j’énonce le Théorème avec l’égalité

(MN)//(AC) 1) Dans les triangles BMN et BAC, B, M, A et B, N, C sont alignés et (MN) // (AC) D’après le Théorème de Thales

Dans les triangles IKJ et IQP, K, I, P et J, I, Q sont alignés et (KJ) // (QP), D’après le Théorème de Thales 𝐼𝐽 𝐼𝐾 𝐾𝐽 = = 𝐼𝑄 𝐼𝑃 𝑄𝑃

2)

2) Je remplace par les valeurs que je connais et je sélectionne l’égalité qui va m’être utile. 3 2,2 𝐾𝐽 = = 4,5 𝐼𝑃 𝑄𝑃

𝐵𝑁 𝐵𝑀 𝑀𝑁 = = 𝐵𝐶 𝐵𝐴 𝐴𝐶 𝐵𝑀 𝑀𝑁 8 = = 12 𝐵𝐴 6 J’utilise

3)

𝑀𝑁 8 = 12 6 12×𝑀𝑁 = 8×6 Aurélien Fontaine – ISFEC Bordeaux

J’utilise

3

4) 2,2 = 𝐼𝑃

4,5 3) J’applique l’égalité des produits en croix

8×6 𝑀𝑁 = 12 𝑀𝑁 = 4 𝑐𝑚

3×𝐼𝑃 = 4,5×2,2 4) Je divise par la valeur qui multiplie l’inconnue. 𝐼𝑃 =

4,5×2,2 3

𝐼𝑃 = 3,3

Aurélien Fontaine – ISFEC Bordeaux

II – … Et dans l’autre Réciproque Soit deux triangles ABC et AMN avec A, B, M d’une part et A, C, N d’autre part, alignés dans le même ordre, Si

𝐴𝑀 𝐴𝐵

=

𝐴𝑁

ou si

𝐴𝐶

𝐴𝐵

𝐴𝑀

=

𝐴𝐶

𝐴𝑁

Alors (BC) et (MN) sont parallèles.

Contraposée Soit deux triangle ABC et AMN avec A, B, M et A, C, N alignés. Si

𝐴𝑀 𝐴𝐵

≠

𝐴𝑁

ou si

𝐴𝐶

𝐴𝐵

𝐴𝑀

≠

𝐴𝐶

𝐴𝑁

Alors les (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.

Méthode 1

Méthode 2

Dans les triangles ABC et ANM, 𝐴𝐵

𝐴𝑀

Dans les triangles ABC et AMN, 𝐴𝐵

𝐴𝑀

=

D’où

4

7

𝐴𝐵

𝐴𝑀

et

≠

𝐴𝐶

= 𝐴𝑁

3

5

𝐴𝐶

𝐴𝑁

Avec A, B, M et A, C, N alignés

=

5,4 9

𝐴𝐵

= 0,6 et

𝐴𝐶

𝐴𝑁

10,5

= 17,5 = 0,6

𝐴𝐶

= D’où 𝐴𝑀 𝐴𝑁 Avec A, B, M et A, C, N alignés dans le même ordre. Donc d’après la réciproque du Théorème de Thales, (BC) et (MN) sont parallèles.

Donc, d’après la contraposée du Théorème de Thales, (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.

Aurélien Fontaine – ISFEC Bordeaux

III – Notion d’agrandissement et de réduction Coefficient/rapport d’agrandissement ou de réduction Dans les triangle AMN et ABC avec A, M, B et A, N, C alignés et (MN) // (BC), d’après le Théorème de Thales : 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝑁 =𝑘 = = 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 • Si 𝒌 > 𝟏 il s’agit d’un coeffcient/rapport d’agrandissement C'est-à-dire que les longueurs du triangle AMN sont 𝑘 fois plus grande que celle du triangle 𝐴𝐵𝐶 • Si 𝒌 < 𝟏 il s’agit d’un coeffcient/rapport de réduction C'est-à-dire que les longueurs du triangle AMN sont 𝑘 fois plus petite que celle du triangle ABC

A quoi ça sert ? Utiliser la proportionnalité pour calculer une longueur

Méthode

(FL) // (EM) Ici il s’agit d’une situation de Thales. Et on trouve

𝐺𝑀 𝐺𝐿

=

5,5 4

= 1,375

Triangle GME 5,5 GE

11

FL

− ÷ 𝟏, 𝟑𝟕𝟓 →

− ÷ 𝟏, 𝟑𝟕𝟓 →

4,8 FL

GF

Triangle GFL

4

4,8

8

Triangle GME 5,5 6,6 11

−×𝟏, 𝟑𝟕𝟓 →

4

GL

Triangle GME GM GE EM

−×𝟏, 𝟑𝟕𝟓 →

Triangle GFL

Triangle GFL

−×𝟏, 𝟑𝟕𝟓 →

− ÷ 𝟏, 𝟑𝟕𝟓 →

Donc les longueurs du GME est un agrandissement de GFL de rapport 1,375. C'est-à-dire que les longueurs du triangle GME sont 1,375 fois plus grande que celle du triangle GFL

Aurélien Fontaine – ISFEC Bordeaux

IV – Cas particulier, la droite des milieux. 1. Montrer que des droites sont parallèles Théorème Dans un triangle, Si une droite passe par les milieux de deux côtés Alors elle est parallèle au troisième côté.

Exemple

2. Calculer une longueur Théorème Dans un triangle, Si un segment joint les milieux de deux côtés Alors sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté.

Exemple

3. Montrer qu’un point est le milieu d’un segment Théorème Dans un triangle, Si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, Alors elle passe par le milieu du troisième côté.

Exemple

Aurélien Fontaine – ISFEC Bordeaux

Partie 3 : Trigonométrie I – Les formules Propriété Si un triangle est rectangle, alors

• 𝐂os(angle) =

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑐ô𝑡é 𝑨𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒

CAH

• 𝐒in(angle) =

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑐ô𝑡é 𝑶𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒

SOH

• Tan(angle) =

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙 ′ 𝑯𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙 ′ 𝑯𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑐ô𝑡é 𝑶𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒

TOA

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑐ô𝑡é 𝑨𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒

Propriété

Soit 𝑥 un nombre réel. Si cos(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) = 𝑥 Alors 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 = arccos(𝑥) OU 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (𝑥)

Si sin(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 ) = 𝑥 Alors 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 = arcsin(𝑥) OU 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 = 𝑠𝑖𝑛 −1 (𝑥)

Si tan(𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒) = 𝑥 Alors 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 = 𝑎𝑟𝑡𝑎𝑛(𝑥) OU 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 = 𝑡𝑎𝑛 −1 (𝑥)

Exemple

ABC est un triangle rectangle en C, donc : •

) = cos(𝐶𝐴𝐵

 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝐶𝐴𝐵

=

•

) = sin(𝐶𝐴𝐵

 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝐶𝐴𝐵

𝐵𝐶

ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒

ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒

=

 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝐶𝐴𝐵

𝐴𝐶

𝐴𝐵

𝐴𝐶

) = = • tan(𝐶𝐴𝐵  𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝐶𝐴𝐵

𝐵𝐶

𝐴𝐶

et

 = arccos ( 𝐴𝐶 ) 𝐶𝐴𝐵 𝐴𝐵

et

 = arcsin ( 𝐵𝐶 ) 𝐶𝐴𝐵 𝐴𝐶

et

 = arctan ( 𝐵𝐶 ) 𝐶𝐴𝐵 𝐴𝐶

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II – Calculer une longueur dans un triangle rectangle. Méthode 1

Méthode 2

Quand l’inconnu est en haut : Je termine par une multiplication

Quand l’inconnu est en bas : Je termine par une division

1)

1) Je place les mots hypoténuse, adjacent, opposé, en fonction de l’angle que je connais.

2)

2) Je choisis la formule la plus approprié en fonction de ce que je connais et de ce que je cherche.

Je connais un angle, la longueur du côté opposé à cet angle et je cherche la longueur du côté adjacent à cet angle. Je vais donc utiliser la formule de la tangente.

Je connais un angle, je cherche la longueur la du côté adjacent à cet angle et je connais la longueur de l’hypoténuse. Je vais donc utiliser la formule du cosinus.  )= cos(𝐸𝑆𝑇

𝐸𝑆 𝑇𝑆

3) Je remplace, et en utilisant l’égalité des produits en croix je trouve la longueur recherchée. cos(35) =

 )= tan(𝐼𝐺𝐻 3) tan(62) = 𝑰𝑮 =

𝐼𝐻 𝐼𝐺

9 𝐼𝐺

𝟗 𝐭𝐚𝐧(𝟔𝟐)

𝐼𝐺 ≈ 4,8 𝑐𝑚

𝐸𝑆 8

𝑬𝑺 = 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝟓)×𝟖 𝐸𝑆 ≈ 6,6 𝑐𝑚

Aurélien Fontaine – ISFEC Bordeaux

III – Calculer un angle dans un triangle rectangle. Méthode

1) Je place les mots hypoténuse, adjacent et opposé en fonction de l’angle que je cherche. 2) Je choisis la formule la plus appropriée et je remplace par les valeurs que je connais 3) J’applique arccos, arcsin ou arctan pour pouvoir calculer mon angle

) = sin(𝐴𝐶𝐵

𝐴𝐵 𝐵𝐶

) = sin(𝐴𝐶𝐵  𝐴𝐶𝐵 = arcsin (  ≈ 53° 𝐴𝐶𝐵

4 5

4 ) 5

) = tan(𝐴𝐵𝐶

𝐴𝐶 𝐴𝐵

) = tan(𝐴𝐵𝐶

3 4

 𝐴𝐵𝐶 = arctan (  ≈ 37° 𝐴𝐵𝐶

) = cos(𝐴𝐶𝐵

𝐴𝐶 𝐵𝐶

) = cos(𝐴𝐶𝐵

3 ) 4

3 5

 𝐴𝐶𝐵 = arccos (  ≈ 53° 𝐴𝐶𝐵

3 ) 5

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