Criteri di Bode e Nyquist PDF

Preview

Summary

riattunti automatica ing biomedica...

Description

Criteri di Bode e Nyquist Parole chiave: Margine di fase e guadagno; criterio di Bode; Criterio di Nyquist

Criterio di Bode ⌅

Definizione: Margine di fase

Diagramma di Bode del modulo

20

Pulsazione critica ωc :

0 µm

ω : | G (iω ) = 1|.

20

E’ la pulsazione alla quale il diagramma del modulo attraversa l’asse a 0 dB,

60

]G (iωc ).

100 ωc

Fase critica φc : E’ la fase in corrispondenza della pulsazione critica,

Diagramma di Bode della fase 90

Margine di fase φm : 180o  | φc |

0

Definizione: Margine di guadagno

90 φm

Pulsazione critica ωc,g (per il guadagno): ω : ]G (iω ) = 180 . E’ la pulsazione alla quale il diagramma della fase attraversa l’asse a 180 , Margine di guadagno µm :

20 log10 | G (iωc,g )|. E’ la distanza in dB tra l’asse a 0 dB e | G (iωc,g )|.

180 270 ωc,g

⌅

96

⌅

fondamenti di automatica

Definizione: Guadagno d’anello Data la funzione di trasferimento d’anello L(s ) scritta nella forma 2

s 1s (1 + zs1 )(1 + zs ) · · · (1 + 2ζ wn,1 + w2n,1 ) · · · 2 µ s h (1 + s )(1 + s ) · · · (1 + 2ξ 1 s + s22 ) · · · p2 ω p n,1

1

ω n,1

il termine µ si chiama guadagno d’anello.

⌅

Definizione: Criterio di Bode Consideriamo un sistema di controllo in retroazione negativa, con funzione di trasferimento di anello L(s ), e assumiamo che • eventuali autovalori nascosti siano a parte reale negativa • L(s ) non abbia poli a parte reale positiva • Il diagramma intersechi l’asse a 0 dB in un punto solo Il sistema in anello chiuso e’ asintoticamente stabile se e solo se • il guadagno d’anello e’ strettamente positivo • il margine di fase e’ strettamente positivo.

Si noti che la pulsazione critica puo’ essere identificata con precisione dal diagramma di Bode approssimato, a patto che non ci siano cambiamenti di pendenza nei pressi di ωc .

F

Criterio di Bode per sistemi a sfasamento minimo Per un sistema a sfasamento minimo, condizione sufficiente per soddisfare il criterio di Bode e’ che il diagramma del modulo alla pulsazione critica abbia pendenza 20 dB/decade e non ci siano poli vicini alla pulsazione critica.

F

Criterio di bode e ritardo di tempo Il criterio di Bode permette di determinare la stabilita’ di sistemi con funzione di trasferimento d’anello della forma F (s )e  τs , cioe’ con un ritardo τ nell’anello di retroazione.

criteri di bode e nyquist

Criterio di Nyquist ⌅

Definizione: Criterio di Nyquist Data L(s ), supponiamo che gli eventuali autovalori nascosti siano a parte reale negativa. Chiamiamo • PL il numero di poli di L(s ) a parte reale strettamente positiva • N il numero di giri compiuti dal diagramma di Nyquist intorno al punto 1 dell’asse reale, contati positivamente in senso antiorario. Se il diagramma passa per il punto 1, N si dice non definito. Il sistema in anello chiuso e’ asintoticamente stabile se e solo se N e’ ben definito e N = PL . Di seguito forniamo una semplice prova del criterio di Nyquist. Prova del criterio di Nyquist. • Prima di tutto, scrivamo il polinomio L(s ) nella forma ρ(s  z1 )(s  z2 ) · · · (s  p1 )(s  p2 ) · · · Ragioniamo ora su come ciascuno dei termini (s  zi ) o pa il cerchio di Nyquist.

1 ( s  pi )

map-

• Guardiamo prima gli zeri. Ogni termine s  zi mappa il numero complesso s nel numero complesso s  zi . Seguiamo il cerchio di Nyquist in senso orario: se lo zero e’ incluso nel cerchio di Nyquist allora punti successivi sul cerchio vengono mappati in vettori s  zi di fase decrescente (cioe’ ruotano attorno allo zero in senso orario), e poiche’ una curva chiusa deve essere mappata in una curva chiusa, l’integrale della fase spazzata dal vettore s  zi deve essere pari a 360o (per provare questa affermazione dovremmo ragionare sull’invertibilita’ della mappa). • Possiamo ripetere lo stesso ragionamento anche per i termini (s1p ) , i

salvo che in questo caso la fase del vettore (s1 p ) decresce spostani dosi tra punti successivi sul cerchio di Nyquist in senso orario. Ne consegue che, se il cerchio di Nyquist include Z L zeri e PL poli di L(s ), la mappa del cerchio di Nyquist attraverso L(s ) compie Z L  PL giri attorno all’origine in senso orario (assumendo per ora che non ci siano zeri o poli sul cerchio).

97

98

fondamenti di automatica

• Ora notiamo che possiamo ottenere la mappa del cerchio di Nyquist attraverso la funzione 1 + L(s ) semplicemente traslando la mappa attraverso L(s ) a destra di 1, quindi se la funzione 1 + L(s ) ha Z1+ L zeri e P1+ L poli nel semipiano destro, la mappa del cerchio di Nyquist attraverso L(s ) compie Z1+ L  P1+ L =  N giri attorno al punto 1 sull’asse reale, in senso orario. • I poli del sistema in retroazione sono gli zeri di 1 + L(s ), mentre i poli di 1 + L(s ) sono uguali ai poli di L(s ). Imponendo Z1+ L = 0 abbiamo dunque che N = P1+ L  Z1+ L = PL .

F

Rapporto tra criteri di Bode e Nyquist Il criterio di Bode e’ un caso particolare del criterio di Nyquist: nelle condizioni di applicabilita’ del criterio di Bode, le condizioni su guadagno d’anello e margine di fase equivalgono a PL = N = 0.

F

Margini di fase e guadagno nel diagramma di Nyquist I margini di fase e guadagno nel diagramma di Nyquist rappresentano, rispettivamente, lo sfasamento e il guadagno necessari a far passare il diagramma per il punto 1 dell’asse reale. 90

120

60

150

30 Diagramma di Nyquist di

µm

180

1

2

0

φm 210

330

240

270

300

Esempio 36 (Considerazioni su margine di fase e guadagno). Margine di fase e guadagno sono indicatori di due diversi aspetti della robustezza di uno schema di controllo. Consideriamo ad esempio i margini di fase e guadagno di sistemi con i due seguenti diagrammi di Nyquist

L ( s) = 2

0.2s + 1 . (s + 1)(0.1s + 1)2

criteri di bode e nyquist

99

Nel primo un piccolo sfasamento puo’ portare ad un sistema in retroazione instabile, ma un aumento arbitrario del guadagno non cambia la stabilita’ del sistema in anello chiuso. Nel secondo un piccolo aumento del guadagno puo’ portare ad un sistema in retroazione instabile, ma uno sfasamento anche piuttosto grande puo’ essere tollerato.

Esercizi Esercizio 47 Si determini, tramite il criterio di bode, la stabilita di un anello di retroazione negativa con funzione di trasferimento d’anello L(s ) =

10 e  τs . (1 + s )(1 + 10s )

Il termine e τs introduce un ritardo τ lungo l’anello di retroazione (ricordiamo che la moltiplicazione per esponenziale nel dominio di Laplace equivale a un ritardo nel tempo).

Esercizio 48 Studiamo con il criterio di Nyquist la stabilita’ in retroazione del sistema con funzione di trasferimento di anello µ , µ > 0. (1 + s )3

Esercizio 49 Si studi con il criterio di Nyquist la stabilita’ di un anello di retroazione negativa con funzione di trasferimento d’anelllo L(s ) = s1.

Esercizio 50 E’ dato un anello di retroazione negativa con L(s ) = 1000

( s + 1 )2 s (s + 100)2

In questo esercizio il diagramma di Nyquist e’ una retta parallela all’asse immaginario, che all’infinito si chiude con un semicerchio nel semipiano destro.

100

fondamenti di automatica

1. Si tracci il diagramma di Bode 2. Si dica se e’ possibile applicare il criterio di Bode per studiare la stabilita’ del sistema in anello chiuso 3. Si determini la stabilita’ del sistema in anello chiuso

Esercizio 51 1. Si determini la stabilita’ di un anello di retroazione negativa con L(s ) = 10

0.005s + 1 e 5s . (0.01s + 1)(s + 1)

2. Si tracci il diagramma di Nyquist di L(s )....