Capitulo 3b - Diagrama Nyquist PDF

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Capitulo 3b - Diagrama Nyquist...

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Diagrama de Nyquist Um diagrama, onde se plota, no plano s, o valor da função de transferência G(jω), quando ω varia de zero até o infinito é chamado Diagrama de Nyquist. Exemplo:

Em coordenadas cartesianas:

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Diagramas de Nyquist •Permite inferir diretamente a freqüência de ressonância e o valor de pico (Mpr);

Num sistema de segunda ordem, permite encontrar o valor de ωn de forma direta.

•Não permite diferenciar as contribuições individuais dos diferentes termos de G(s)

A

B

Mr =

OB OA

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Diagramas de Nyquist: Tipos de Sistemas

A forma do diagrama é normalmente fácil de ser definida em baixas freqüências (ω=0). Em alta, depende do grau relativo de G(s), ou seja da diferença n-m.

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Diagrama de Nyquist e o Grau Relativo A forma o diagrama de Nyquist no infinito depende do grau relativo (n-m) de G(s).

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Diagramas de Nyquist: Exemplos

Dica: • Observar o tipo e o grau relativo !! • Matlab: nyquist(G) ou nyquist(num,den) 5/35

G( jω ) = Relações entre os diagramas para:

Diagrama de Bode

Diagrama de Nyquist

Facilita a análise da estabilidade relativa e o projeto de compensadores

1 ⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞ 1 + 2.ζ ⎜⎜ j ⎟⎟ + ⎜⎜ j ⎟⎟ ⎝ ω n ⎠ ⎝ ωn ⎠

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Diagrama de Nichols (diagrama do log da magnitude x fase) 6/35

Critério de Estabilidade de Nyquist Dado o diagrama da figura, supondo que a ftma G(s)H(s) não tenha nem pólos e nem zeros no eixo imaginário, se a função de transferência de malha aberta tem k pólos no semi-plano direito e limG(s)H(s)= constante quando s tende ao infinito então, para a estabilidade do sistema em malha fechada, é necessário que o lugar de G(s)H(s), quando ω varia de -∞ a +∞, envolva o ponto(-1,0) k vezes no sentido anti-horário.

Z=N+P onde: Z – número de zeros de 1+G(s)H(s) no spd. N – Número de envolvimentos no sentido horário do ponto (-1,0) P – número de pólos de G(s)H(s) no spd. 7/35

Critério de Estabilidade de Nyquist 1. Se não há envolvimento do ponto (-1,0): Caso G(s)H(s) não tenha pólos no spd, o sistema é estável. Caso contrário, o sistema será instável. 2. Se há envolvimento do ponto (-1,0) no sentido anti-horário: Caso o número de envolvimentos no sentido anti-horário for igual ao número de pólos de G(s)H(s) no spd o sistema será estável, se não será instável. 3. Se há envolvimento do ponto (-1,0) no sentido horário, então sistema é instável.

Z=N+P onde: Z – número de zeros de 1+G(s)H(s) no spd. N – Número de envolvimentos do ponto (-1,0) P – número de pólos de G(s)H(s) no spd. Obs.: N > 0 no sentido horário e N < 0 no sentido antihorário. 8/35

Critério de Nyquist: Estabilidade. Exemplos:

N=0; P=0 => Z=N + P=0

Sistema estável para valores positivos de K, T1 e T2 !! 9/35

Critério de Nyquist: Estabilidade. Exemplos:

Z=N+P 10/35

Critério de Nyquist: Estabilidade. Exemplos:

P=1;

N= -1

Portanto: Z = -1 + 1 = 0

(sistema estável !!!)

Reta auxiliar p/ encontrar N. Sai de (-1,0) na perpendicular. N= número de cruzamentos do diagrama com a reta. Para a direita positivo , para a esquerda negativo

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Critério de Nyquist: Estabilidade.

Para sistemas de fase mínima (*):

Um sistema em malha fechada é estável se e somente se o lugar geométrico de G(s)H(s) não envolver ou seja não passar a esquerda do ponto (-1,0). Portanto, para ser estável, N precisa ser zero. (*) Sistema em que G(s)H(s) não apresenta nem pólos e nem zeros no spd. 12/35

Margens de Estabilidade Assim quanto mais próximo estiver o caminho de G(s)H(s) do ponto (-1,0), mais próximo está da instabilidade. Assim definese: MARGEM DE GANHO: é o valor, medido na freqüência onde a fase de G(s)H(s) vale -180º, que se deve multiplicar a função de transferência de malha aberta para que o sistema torne-se instável (o módulo de G(s)H(s) valha a unidade). MARGEM DE FASE: é o ângulo que se deve somar a G(s)H(s) na freqüência onde o ganho de malha aberta vale a unidade, para que a fase alcance -180º. 13/35

Margens de Estabilidade MARGEM DE GANHO: é o valor, medido na freqüência ω1 ,onde a fase de G(s)H(s) é -180º , que se deve multiplicar o ganho para que o sistema torne-se instável ( o módulo de G(s)H(s) valha a unidade).

MARGEM DE FASE: é o ângulo λ que se deve subtrair ao ângulo φ de G(s)H(s) na freqüência ω2 , onde o ganho de malha aberta vale a unidade, para que a fase alcance -180º.

−1800 = ϕ − λ

λ = 1800 + ϕ

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Margens de Estabilidade

Diagrama de Nyquist

Diagramas Típicos e as Margens de Estabilidade.

Diagrama de Bode

Diagrama de Nichols

Margens de Estabilidade: Comentários 9 Margens de ganho e fase são medidas que precisam ser analisadas em conjunto. Uma medida sozinha é insuficiente para retratar com exatidão a estabilidade relativa. 9 Estas grandezas podem e servirão mais adiante como elementos (requisitos) de projeto. 9 Para sistemas de fase mínima ambas as margens devem ser positivas. Margens negativas indicam instabilidade. 9 Para um desempenho satisfatório, a margem de fase deve estar entre 30º e 60º e a margem de ganho acima de 6 dB. 9 Em muitos casos para um bom desempenho, requer-se que a inclinação da reta do ganho na freqüência de cruzamento do ganho esteja entre -20 e -40dB/década (quanto mais negativo, maior é o perigo da instabilidade e melhor é a relação sinal/ruído) 16/35

Margens de Estabilidade: Comentários Exemplo: calcule a margem de ganho e fase para o diagrama da figura quando k=10 e K=100.

ESTÁVEL !!!

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Margens de Estabilidade: Comentários Exemplo: calcule a margem de ganho e fase para o diagrama da figura quando k=10 e K=100.

INSTÁVEL !!!

Obs. No Matlab veja a função margin

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Freqüência de Ressonância e Valor de Pico Seja o sistema de segunda ordem:

a resposta em freqüência é dada pela expressão: Freqüência de ressonância

onde:

para 0≤ ξ ≤0.707

e

onde θ é o ângulo do pólo com o eixo imaginário. Magnitude de ressonância (só depende de ξ à semelhança de Mp)

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A Resposta ao Degrau e a Resposta em Freqüência O diagrama abaixo refere-se a um sistema de segunda ordem:

a freqüência onde a magnitude da função de malha aberta vale a unidade é:

Assim a margem de fase λ é: Já a fase nesta freqüência é:

λ = 180 + ϕ ou λ = 180 − 90 − tan−1 ⇒ λ = tan −1

1 + 4ξ 4 − 2ξ 2 2ξ 2ξ 1 + 4ξ 4 − 2ξ 2 20/35

A Resposta ao Degrau e a Resposta em Freqüência O diagrama abaixo fe Relação entre a um sistema de margem de fase e o valor de ξ. Na prática, para ξ ≤0.6, pode-se usar a aproximação: λ≈100ξ (em graus) Já a fase nesta fr

reqüência onde magnitude da ão de malha aberta vale a de é:

Assim a margem de fase λ é:

λ = 180 + ϕ ou λ = 180 − 90 − tan−1 ⇒ λ = tan −1

1 + 4ξ 4 − 2ξ 2 2ξ 2ξ 1 + 4ξ 4 − 2ξ 2 21/35

Algumas Relações Importantes

Resumo: 1. Para 0 ≤ ξ ≤0.6 vale a expressão λ ≈ 100ξ, em graus. 2. Para pequenos valores de ξ o valor de ωr se aproxima de ωn, assim ωr tornase um indicador da velocidade de resposta do sistema, quanto maior este mais rápida é a resposta. 3. Transiente satisfatório é obtido quando 1.9 < Mr < 1.4 ( 0 dB < Mr< 3dB). Para Mr >1.5 tem-se elevados overshoots. 4. Em termos da função de transferência de malha aberta, normalmente a freqüência natural amortecida está entre a freqüência de cruzamento do ganho e a freqüência de cruzamento da fase. 22/35

Algumas Definições BANDA DE PASSAGEM: é a faixa de freqüências onde a magnitude da resposta em malha fechada está 3dB abaixo da magnitude na freqüência zero. A freqüência ωb é denominada FREQUÊNCIA DE CORTE

Um valor elevado de ωb leva a um valor baixo do tempo de subida e vice-versa. Alguns autores sugerem que o produto de ωb pelo tempo de subida ts se aproxima de uma constante. Vale 1.7 para ξ pequeno e 2.2 para ξ maior que 0.707

ωb * ts = constante ( 1.7 ฀ 2.2) 23/35

Algumas Definições Taxa de cutoff : é a inclinação da curva log-magitude próxima da freqüência de corte. Esta inclinação revela a capacidade do sistema distinguir o sinal do ruído. Uma boa relação é algo entre -20 e -40dB/década. Exemplo:

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Diagrama de Nyquist e o Ganho O diagrama de Nyquist serve também para se ajustar/calcular o ganho de um compensador proporcional K. Seja o problema: Encontre os valores de k para que o sistema cuja equação característica é mostrada ao lado seja estável.

1 + kG ( s ) H ( s ) = 1 +

50k =0 2 ( s + 1) ( s + 10)

Solução: 1) Fazer o diagrama de Nyquist de G(s)H(s) 2) Identificar o(s) ponto(s) pi onde G(jωi)H(jωi) cruzam o eixo real (-180º) 3) O valor do Ki limítrofe da estabilidade é:

Ki =

1 G ( jωi ) H ( jωi ) 25/35

Resposta em Freqüência de Malha Fechada

IDÉIA: determinar as características de r fechada a partir da resposta em malha ab

Círculo com raio e centro em 2 2 x=M /(M - 1)e em y=0 M2/(M2-1)

A função de transferência T(s) pode ser assim reescrita: θ

G ( jω ) e j G (s ) = = Me j (θ −β ) T (s ) = jβ 1 + G ( s) 1 + G ( jω ) e

+ -

G(s)

Seja G ( jω ) = X + jY então

M2 =

X 2 +Y 2

(1 + X )2 + Y 2

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logo

M é a magnitude da FTMF.

⎡ M2 ⎤ M2 2 ⎢ X + M 2 − 1⎥ + Y = 2 ⎣ ⎦ ( M 2 − 1) 26/35

Resposta em Freqüência de Malha Fechada

O lugar no plano G(s) em que as amplitudes da FTMF são constantes são círculos de raio M2/(M2-1) e centro em x = M2/(M2 1)e em y = 0 2

⎡ M2 ⎤ M2 2 ⎢X + 2 ⎥ +Y = 2 M − 1⎦ ⎣ ( M 2 − 1) 27/35

Resposta em Freqüência de Malha Fechada

O lugar dos pontos de fase constante também são círculos regidos por:

⎛Y N = tan(θ − β ) = tan −1 ⎜ ⎝X

⎞ ⎞ −1 ⎛ Y ⎟ − tan ⎜ ⎟ ⎠ ⎝1 + X ⎠

A expressão acima devidamente manipulada resulta em: 2

2

1⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎜ X + ⎟ + ⎜Y − ⎟ = +⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2N ⎠ 4 ⎝ 2N ⎠ ⎝

2

Equação de um círculo 28/35

Resposta em Freqüência de Malha Fechada

Equação de um círculo

2

2

1⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎜ X + ⎟ +⎜Y − ⎟ = +⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2N ⎠ 4 ⎝ 2N ⎠ ⎝

2

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Resposta em Freqüência de Malha Fechada

(a) Lugar de G(jω) superposto na família de Círculos M; (b) Lugar de G(jω) superposto na família de N círculos e (c) Resposta em freqüência em malha fechada

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Resposta em Freqüência de Malha Fechada

Carta de Nichols: é uma composição dos dois gráficos anteriores.

Ao se superpor a resposta em freqüência em malha aberta na Carta de Nichols as intersecções com os círculos M e N resultam no ganho e na fase da função de transferência de malha fechada.

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Resposta em Freqüência de Malha Fechada

Matlab: nichols(G,w) ngrid

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