Capitolo 4 - Criteri di resistenza PDF

Preview

Summary

Trattazione dei principali criteri utilizzati per verificare la resistenza di un componente meccanico....

Description

CAPITOLO IV

CRITERI DI RESISTENZA _______________________________________ Si tratta ora la previsione della resistenza dei materiali rispetto alle combinazioni di carichi non standard, oltre alla scelta di opportuni coefficienti di sicurezza, atti a garantire i livelli di sicurezza e affidabilità richiesti. Particolari combinazioni di carichi possono portare a -

Deformazione plastica → Cedimento (materiali duttili); Frattura (materiali fragili); Comportamento intermedio (dipendente da vari fattori).

Il cedimento (o la rottura) di un componente è un comportamento che rende inadatto il pezzo stesso a svolgere la funzione per la quale è stato progettato. Per componenti in regime monoassiale è sufficiente che la tensione non superi un valore limite 𝜎𝑙𝑖𝑚, rappresentato dalla Yield Strength 𝑆𝑦 𝑆𝑦,𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟 < 𝜎 < 𝑆𝑦,𝑡𝑟𝑎𝑧

Se in punto della struttura si ha invece uno stato di tensione caratterizzato da 6 componenti del tensore degli sforzi, è necessario fissare un criterio atto a determinare un nuovo parametro scalare, detto tensione ideale 𝜎𝑖𝑑, da commisurare a 𝑆𝑦 . Si supponga una combinazione di carichi statici che produce una sollecitazione descrivibile tramite cerchio di Mohr.

La filosofia alla base dei criteri è che, qualunque sia la causa di cedimento nella prova di trazione, essa sarà responsabile del cedimento in tutte le altre possibili condizioni di carico statico.

33

4.1 Criterio di Tresca (massima tensione tangenziale) - Materiali duttili Il criterio si basa sull'osservazione che lo snervamento nei materiali duttili è provocato da slittamento lungo superfici oblique, ed è dovuto principalmente a sforzi tangenziali. Un elemento strutturale è sicuro finché il valore 𝜏𝑚𝑎𝑥 rimane minore del corrispondente valore in un provino dello stesso materiale, sottoposto a trazione, quando questo comincia a snervarsi. Poiché una trave a trazione possiede solo la componente di sollecitazione 𝜎𝑧𝑧:

𝜏𝑚𝑎𝑥 ≤

𝑆𝑦 𝜎𝑙𝑖𝑚 = 2 2

Da cui 2𝜏𝑚𝑎𝑥 ≅ 𝜎𝑖𝑑 < 𝑆𝑦

Nel caso di uno stato di tensione triassiale, dalla matrice [𝑇] si ottiene la matrice delle tensioni principali; vale inoltre: 2𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑖𝑑 = 𝑚𝑎𝑥{|𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼𝐼 |; |𝜎𝐼𝐼 − 𝜎𝐼𝐼𝐼 |; |𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼 |}

Tutti i cerchi di Mohr con 𝑑 < 𝑆𝑦 rappresentano stati di tensione che non danno snervamento.

34

Il criterio non pone limiti ai valori di 𝜎𝐼 , 𝜎𝐼𝐼 , 𝜎𝐼𝐼𝐼 : il pezzo potrebbe quindi rompersi, ma, se è rispettato Tresca, esso non presenterà deformazioni plastiche. E’ interessante osservare come si traduce graficamente tale criterio per gli stati tensionali piani aventi 𝜎𝑧𝑧 = 0. Si supponga uno stato di tensione 𝜎𝑥𝑥 [𝑇] = [ 𝜏𝑦𝑧 0

𝜏𝑦𝑧 0 𝜎𝑦𝑦 0] 0 0

Da cui 𝜎𝐼 [𝑇] = [ 0 0

0 𝜎𝐼𝐼 0

0 0] 0

Il criterio diventa 𝜎𝑖𝑑 = 𝑚𝑎𝑥{|𝜎𝐼 |; |𝜎𝐼𝐼 |; |𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼 |} ≤ 𝑆𝑦 −𝑆𝑦 < 𝜎𝐼 < 𝑆𝑦 { −𝑆𝑦 < 𝜎𝐼𝐼 < 𝑆𝑦 −𝑆𝑦 < 𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼 < 𝑆𝑦

Graficando

∗ ). Il Si ottiene l’esagono di Tresca; ogni stato di sforzo assegnato è rappresentato da un punto (𝜎𝑥𝑥∗ ; 𝜎𝑦𝑦 componente è sicuro se 𝑃 è all’interno della figura.

Se 𝜎𝑧𝑧 ≠ 0, il luogo di snervamento diventa una superficie dello spazio, un prisma retto a base esagonale, con asse coincidente con l’asse delle pressioni idrostatiche (trisettrice dell’ottante 𝜎𝐴 = 𝜎𝐵 = 𝜎𝐶 ). Sono sicuri i punti all’interno di tale superficie.

35

4.2 Criterio di Von Mises (massima energia di distorsione) – Materiali duttili Il criterio della massima energia di distorsione assume che ogni materiale sollecitato subisce un (piccolo) cambiamento di volume, forma o entrambi. L’energia richiesta è immagazzinata come energia elastica. Generalmente i materiali strutturali sopportano enormi pressioni idrostatiche senza danneggiarsi, per cui si è postulato che un dato materiale ha una limitata e definita capacità di assorbire energia di distorsione e che il tentativo di sottoporre un pezzo a incrementi di tale energia provoca snervamento. Sia dato un tensore principale

1

𝜎𝐼 [𝑇] = [ 0 0

0 𝜎𝐼𝐼 0

Dove 𝜎𝑚 = (𝜎𝐼 + 𝜎𝐼𝐼 + 𝜎𝐼𝐼𝐼 ) 3

𝜎𝑚 0 0 ]=[ 0 0 𝜎𝐼𝐼𝐼

0 𝜎𝑚 0

𝜎𝐼 − 𝜎𝑚 0 0 ]+[ 0 𝜎𝑚 0

0 𝜎𝐼𝐼 − 𝜎𝑚 0

0 0 ] 𝜎𝐼𝐼𝐼 − 𝜎𝑚

Si applica la sovrapposizione degli effetti in termini di: -

Tensioni; Deformazioni corrispondenti.

Il tensore principale risulta così dalla somma di un -

Tensore idrostatico [𝑇]𝑖𝑑 , le cui deformazioni, se agisse da solo, sarebbero omotetiche; Tensore delle distorsioni [𝑇]𝑑𝑖𝑠𝑡 , che genera deformazioni che variano la forma [𝜀 ]𝑑𝑖𝑠𝑡.

Il materiale subisce danno quando l’energia di distorsione accumulata raggiunge un valore critico; per questo dovrà essere 𝑈𝑑 ≤ 𝑈𝑑,𝑙𝑖𝑚 In base alle formule di Lamé, l’energia elastica accumulata per unità di volume sarà pari a: 1 2 1 1 𝑈 = ∑ 𝜎𝑗 ∙ 𝜀𝑗 = [𝜀𝐼 𝜎𝐼 + 𝜀𝐼𝐼 𝜎𝐼𝐼 + 𝜀𝐼𝐼𝐼 𝜎𝐼𝐼𝐼 ] = [𝜎𝐼 + 𝜎𝐼2 + 𝜎𝐼2 − 2𝜈(𝜎𝐼 𝜎𝐼𝐼 + 𝜎𝐼 𝜎𝐼𝐼𝐼 + 𝜎𝐼𝐼 𝜎𝐼𝐼𝐼 )] 2 2 2𝐸 𝑗

36

L’energia per ottenere unicamente variazioni di volume è ottenuta sostituendo a 𝜎𝐼 , 𝜎𝐼𝐼 , 𝜎𝐼𝐼𝐼 il valore 𝜎𝑚 : 𝑈𝑣 =

3𝜎𝑚2 2𝐸

(1 − 2𝜈) =

1 − 2𝜈 (𝜎 2 + 𝜎2 + 𝜎 2 + 2𝜎 𝜎 + 2𝜎 𝜎 + 2𝜎 𝜎 ) 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 𝐼 𝐼𝐼 𝐼 𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼 𝐼 6𝐸

L’energia di distorsione sarà pari a: 𝑈𝑑 = 𝑈 − 𝑈𝑣 =

1 + 𝜈 (𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼 )2 + (𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼𝐼 )2 + (𝜎𝐼𝐼𝐼 − 𝜎𝐼𝐼 )2 ] [ 2 3𝐸

Si ha snervamento quando l’energia di distorsione per unità di volume raggiunge o supera l’energia di distorsione per unità di volume che provoca snervamento nella prova di trazione sullo stesso materiale. Per la prova di trazione, allo snervamento, (𝜎𝐼 = 𝑆𝑦 , 𝜎𝐼𝐼 = 𝜎𝐼𝐼𝐼 = 0), si ottiene

Per evitare distorsione 𝑈𝑑 ≤ 𝑈𝑑,𝑙𝑖𝑚, da cui:

𝑈𝑑,𝑙𝑖𝑚 =

1+𝜈 2 𝑆 3𝐸 𝑦

(𝜎 − 𝜎𝐼𝐼 )2 + (𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼𝐼 )2 + (𝜎𝐼𝐼 − 𝜎𝐼𝐼𝐼 )2 √ 𝐼 ≤ 𝑆𝑦 2

Per uno stato di tensione piano (ma sempre principale) (𝜎𝐼𝐼𝐼 = 0):

(𝜎 − 𝜎𝐼𝐼 )2 + 𝜎𝐼2 + 𝜎𝐼𝐼2 √ 𝐼 ≤ 𝑆𝑦 2

Il termine a sinistra viene posto come tensione ideale 𝜎𝑖𝑑 per il generale stato di stress 𝜎𝑖𝑑 = √𝜎𝐼2 − 𝜎𝐼 𝜎𝐼𝐼 + 𝜎𝐼𝐼2

Tale equazione rappresenta, nel piano 𝑂(𝜎𝐼 ; 𝜎𝐼𝐼 ), un ellisse ruotato; poiché 𝜎𝑖𝑑 ≤ 𝑆𝑦 , si ottiene

37

Per uno stato di tensione triassiale (non principale), la tensione di Von Mises risulta 𝜎𝑖𝑑 =

1

√2

2

2 √(𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦 ) + (𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑧𝑧 ) + (𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑧𝑧 ) 2

2

2 + 𝜏2 + 𝜏 2 + 6(𝜏𝑥𝑦 𝑥𝑧 𝑦𝑧 )

Per uno stato di tensione piano (non principale): 2 𝜎𝑖𝑑 = √𝜎𝑥2 + 𝜎𝑦2 − 𝜎𝑥 𝜎𝑦 + 3𝜏𝑥𝑦

4.3 Criterio di Mohr Non tutti i materiali hanno resistenza a compressione uguale a quella a trazione, per cui vi è interesse in teorie applicabili a questo tipo di elementi. Sebbene il criterio fu ideato per materiali fragili, se ne tratta ora l’applicazione per materiali duttili: si effettuano i 3 test di compressione, trazione e torsione e almeno un test di sollecitazione triassiale fino a snervare il materiale (se possibile) o romperlo, al fine di costruire varie circonferenze che possano definire un inviluppo di cedimento.

Facendo ora riferimento solo alle 3 circonferenze dei test di compressione, trazione e torsione, si osserva come all’applicazione di un generico carico sempre più gravoso esse si espandano (in maniera differente) finché una di queste non tange la curva di inviluppo: si verifica ora lo snervamento. 4.3.1 Criterio di Coulomb-Mohr per materiali duttili Coulomb formulò una variazione al criterio di Mohr, affermando che la curva di inviluppo fosse rettilinea, rendendo così necessari solo i test di compressione e trazione.

38

Nel caso di stato di tensione piano, quando le due tensioni principali diverse da 0 sono 𝜎𝐼 , 𝜎𝐼𝐼 , si ha una situazione simile al criterio di Tresca. Da considerazioni sul diagramma, si ottiene che non si ha cedimento finché: −𝑆𝑦𝑐 < 𝜎𝐼 < 𝑆𝑦𝑡 { −𝑆𝑦𝑐 < 𝜎𝐼𝐼 < 𝑆𝑦𝑡 −𝑆𝑦𝑐 < 𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼 < 𝑆𝑦𝑡 Da cui

4.3.2 Criterio di Coulomb-Mohr per materiali fragili Le stesse equazioni possono essere usate per descrivere la teoria di Coulomb-Mohr per materiali fragili, sostituendo alle tensioni di snervamento 𝑆𝑡 , 𝑆𝐶 le tensioni di rottura 𝑆𝑢𝑡 , 𝑆𝑢𝑐 , ottenendo un diagramma del tutto simile. 4.3.3 Criterio di Mohr modificato Questa variante al criterio di Mohr per i materiali fragili è stata proposta perché si correla meglio con i dati sperimentali.

39

4.4 Affidabilità Se tra 100 componenti identici posti in esercizio, 2 di essi si guastano (cedimento o rottura), il componente si è dimostrato affidabile al 98%, valore che può essere sufficiente o meno. L’utilità del metodo affidabilistico dipende dalla disponibilità di informazioni adeguate su: -

Distribuzioni statistiche di carichi applicati ai componenti durante l’esercizio, dai quali si calcolano le sollecitazioni significative; Resistenza significativa dei vari lotti.

La figura sottostante mostra delle distribuzioni ipotetiche per la sollecitazione significativa e la corrispondente resistenza significativa. Si considera per tale ipotesi una trave incastrata soggetta a sforzo normale.

Resistenza e sollecitazione sono descritte da una distribuzione di probabilità, di solito scelta gaussiana. -

𝑆𝑦 : sussistono differenze, seppur lievi, nella costituzione del materiale sottoposto a prova o

incertezze di lavorazione del provino. 𝜎: la distribuzione dei valori è dovuta a una previa distribuzione del carico.

Il valore medio della 𝑆𝑦 dovrà essere superiore alla tensione media di lavoro. Pescando a caso tra le distribuzioni gaussiane, si potrebbero trovare due valori 𝑆𝑦∗ , 𝜎∗ con 𝑆𝑦∗ > 𝜎 ∗: in questo caso la trave non si snerva, e la differenza 𝑠 = 𝑆𝑦∗ − 𝜎 ∗ > 0 è detta margine di sicurezza.

Si può trovare un’area (chiara) in cui vi è qualche possibilità che un componente debole venga usato in una condizione particolarmente sfavorevole: tale combinazione provoca snervamento, con 𝑠 < 0. Il margine di sicurezza 𝑠 è una variabile aleatoria a distribuzione gaussiana:

40

I valori di media e deviazione standard risultano 𝜇𝑆 = 𝑆𝑦 − 𝜎𝑖𝑑

𝜎𝑠 = √[𝜎(𝑆𝑦 )] + [𝜎(𝜎𝑖𝑑 )]2 2

Si può definire una funzione cumulativa 𝑃(𝑠 ∗), indicante la probabilità che, data una 𝑠 ∗, 𝑠 risulti minore di 𝑠 ∗ stesso. 𝑃(𝑠 ∗)

𝑠∗

= ∫ 𝑝(𝑠)𝑑𝑠 −∞

Non è possibile eliminare la zona con 𝑠 < 0, che indica la probabilità di rottura di quel componente: 0

𝑃(0) = ∫ 𝑝(𝑠)𝑑𝑠 −∞

Si definisce ora la curva affidabilità 𝐴(𝑠 ∗) = 1 − 𝑃(𝑠 ∗), indicante la probabilità che, data una 𝑠 ∗, 𝑠 risulti maggiore di 𝑠 ∗ stesso. Per modificare l’affidabilità, si può agire solo sulla resistenza del materiale 𝑆𝑦 , poiché 𝜎𝑖𝑑 e le due varianze sono difficilmente correggibili. 4.5 Coefficienti di sicurezza Si considerino un carico che dia una 𝜎𝑖𝑑∗ e un materiale con 𝑆𝑦∗ . Si definisce n il rapporto 𝑛=

𝑆𝑦∗ ∗ 𝜎𝑖𝑑

Esso identifica di quanto la resistenza è superiore alla tensione di lavoro; tuttavia non si può sapere quanto contributo è dato da un fattore rispetto all’altro. A seconda del livello di sicurezza richiesto, è necessario determinare un corretto coefficiente di sicurezza globale da utilizzare. Si considerano ora separatamente i coefficienti di materiale e carico: -

Coefficiente di sicurezza sul materiale (tiene conto delle proprietà statistiche del materiale): 𝑛𝑚 =

𝑆𝑦 >1 𝑆𝑦,%

𝑛𝑐 =

𝜎𝑖𝑑,% >1 𝜎𝑖𝑑

Spiegazione: richiedere una affidabilità > 50% sulla resistenza comporta una 𝑆𝑦 < 𝑆𝑦 . -

Coefficiente di sicurezza sul carico:

41

Spiegazione: richiedere una affidabilità > 50% sul carico comporta una 𝜎𝑖𝑑 < 𝜎𝑖𝑑 .

Avendo a disposizione i dati 𝜎𝑖𝑑 e 𝑆𝑦 , si può procedere al calcolo di n. Risulta ovviamente 𝜎𝑖𝑑 ≤

𝑆𝑦 𝑛

Sostituendo le relazioni suddette per l’affidabilità su materiale e carico si ottiene: 𝜎𝑖𝑑,% 𝑛𝑚 𝑆𝑦,% ≤ 𝑛𝑐 𝑛 Da cui 𝑆𝑦,% 𝑛 ≥ 𝜎𝑖𝑑,% 𝑛𝑐 𝑛𝑚

Il caso limite tollerato è che 𝑆𝑦,% = 𝜎𝑖𝑑,%, quindi

𝑛 = 𝑛𝑐 𝑛𝑚

42...