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Tema 3: Cuerpo Elástico

 LR LFi

LE

LFf

F

LP

O

ε

Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008 1

Tema 3: Cuerpo Elástico

3.1.- INTRODUCCIÓN La experiencia nos enseña que todo cuerpo bajo la acción de las fuerzas aplicadas, se deforma y que al suprimir éstas, el cuerpo tiende a recuperar su forma inicial. Esta propiedad que poseen todos los cuerpos, en mayor o menor grado, se denomina ELASTICIDAD. Dependiendo del material del que estén hechos los cuerpos, se tendrá que unos cuerpos se comportarán más elásticos que otros y a su vez, para un cuerpo de un material determinado, dependiendo de la magnitud de las fuerzas aplicadas, se comportará total o parcialmente elástico. Se dirá que se comporta “totalmente elástico” si al retirar la fuerza a la que está sometido recupera totalmente su forma inicial y “parcialmente elástico” en caso contrario, es decir que al retirar la fuerza aplicada no recupera totalmente la forma inicial, dejando en él una deformación permanente.

L

L

F

L+L

F

L+L

L

L´ deformación permanente

deformación elástica

deformación elástica

Fig.3.1 Así mismo, en nuestro análisis, admitiremos que los cuerpos son ISÓTROPOS, es decir, que sus propiedades elásticas son iguales en cualquier dirección. Esto no ocurre exactamente por ejemplo en materiales fibrosos como la madera, ni en materiales formados por laminación. En estos materiales habrá que hacer un estudio específico de los mismos, aunque en muchos casos, los resultados que se obtienen con esta hipótesis son satisfactorios. 3.2.- RELACIONES ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES. LEY DE HOOKE GENERALIZADA Se ha visto en los temas 1º y 2º que en un cuerpo sometido a fuerzas exteriores, a cada punto del mismo, le corresponde un “estado de tensiones” y un “estado de deformaciones”. Siendo unas, consecuencia de las otras, es evidente que ha de existir una relación entre ambos estados. Fue Hooke el que dedujo dichas relaciones.

2

Sección 3.2.: Relaciones entre tensiones y deformaciones. Ley de Hooke generalizada

LEY DE HOOKE “Existe proporcionalidad entre las componentes del estado de tensiones y las componentes del estado de deformaciones”. Los coeficientes que regulan dicha proporcionalidad dependen de las constantes físicas del material y no de las particularidades geométricas del cuerpo. Para estudiar la deformación del paralelepípedo elemental debida a la acción de las tensiones, utilizaremos el Principio de Superposición. y

y yx

yz

xy x

x

zy xz

zx z

x

O

z Fig.3.2 Deformaciones debidas a

y

x:

Experimentalmente se ha demostrado que las tensiones normales , actuando sobre las caras opuestas del paralelepípedo sólo originan deformaciones longitudinales ε según las aristas del paralelepípedo y no producen ninguna deformación angular. y D´ C C´

D

x

x

O A´

A

x B

z

B´

Fig.3.3

Según la Ley de Hooke: las deformaciones longitudinales ε, son proporcionales a las tensiones normales que las producen: 1x

Lx Lx

A´B ´ AB AB

1 . E

x

Cte proporcionalidad

1 E

3

Tema 3: Cuerpo Elástico

Siendo E = MÓDULO DE ELASTICIDAD LONGITUDINAL. Es una constante física 2 de cada material y se obtiene experimentalmente. Sus dimensiones son: N/mm Según se observa en la figura (3.3), el alargamiento longitudinal ε1x debido a la tensión normal x, va acompañado de acortamientos longitudinales en dirección de los ejes y y z, que según la ley de Hooke vienen dados por:

1y

Ly Ly

A´C ´ AC AC

.

1x

.

1z

Lz Lz

A ´D ´ AD AD

.

1x

.

x

E x

E

siendo υ = COEFICIENTE DE POISSON. Es también una constante física de cada material y es adimensional. De igual forma que hemos obtenidos las deformaciones debidas a la tensión normal se obtendrían las deformaciones debidas a las tensiones normales y y z: Deformaciones debidas a

y:

y 2y

2x

E

.

2z

Deformaciones debidas a

3x

E

.

2y

y

E

z:

z 3z

x,

3y

.

.

3z

z

E

y aplicando el Principio de Superposición, las deformaciones debidas a las tensiones normales: x, y y z, serán: x x

1x

2x

3x

E y

y

1y

2y

3y

E z

z

1z

2z

3z

E

 . y  E

  E 

 . x  E  . x  E

z   E y   E 

z

(3.1)

Ecuaciones que nos relacionan las deformaciones longitudinales ε, con las tensiones normales .

4

Sección 3.2.: Relaciones entre tensiones y deformaciones. Ley de Hooke generalizada

Deformaciones debidas a

xy :

También se ha demostrado experimentalmente que las tensiones cortantes , actuando sobre las caras del paralelepípedo, originan deformaciones angulares . y B

yx/2

yx

B´

xy

xy

A´

xy /2

O

yx

x

A

Fig.3.4 Según la ley de Hooke: las deformaciones angulares son proporcionales a las tensiones cortantes :

xy

tag

AA´ OA

xy

1 . G

Cte proporcion alidad

xy

1 G

siendo G = MÓDULO DE ELASTICIDAD ANGULAR. Es una constante física de 2 cada material y se obtiene experimentalmente. Sus dimensiones son: N/mm . De igual forma que hemos obtenidos las deformaciones debidas a la tensión cortante se obtendrían las deformaciones debidas a las tensiones cortantes yx y zx: Deformaciones debidas a

xy

ya

zx

:

yz yz

xy,

zx zx

G

G

y aplicando el Principio de Superposición, las deformaciones debidas a las tensiones cortantes: xy , yz y zx, serán: xy xy

G

yz yz

G

zx zx

G

(3.2)

Ecuaciones que nos relacionan las deformaciones angulares cortantes .

, con las tensiones

5

Tema 3: Cuerpo Elástico

Así pues el resumen de ecuaciones que relacionan las tensiones y deformaciones obtenidas en (3.1) y (3.2), y dadas por la Ley de Hooke generalizada son:

x x

E y

y

E z

z

E

 y .  E

  E 

 . x  E  . x  E

  E y   E 

z

xy xy

G (3.3)

yz

z

yz

G zx

zx

G

Las relaciones inversas son: x

. e3 2.G.

x

xy

xy

.G

y

.e3 2.G.

y

yz

yz

.G

z

.e3 2.G.

z

zx

zx

.G

siendo: e3

x

y

z

(3.5)

(3.4)

1

E. . 1 2.

(3.6)

Observación: Las constantes físicas: E, G y υ, están relacionadas entre ellas mediante la siguiente ecuación: E G (3.7) 2. 1

Valores de E, G y υ, para diversos materiales: MATERIAL acero aluminio (aleacción) cobre

6

E

(N/mm2) 5 2,1.10 0,73.105 1,2.10 5

G

(N/mm 2) 81000 28000 47000

υ 0,3 0,33 0,36

Sección 3.3.: Trabajo de las fuerzas externas

3.3.- TRABAJO DE LAS FUERZAS EXTERNAS Sea un cuerpo elástico con los vínculos externos suficientes para que no pueda moverse y apliquemos sobre él, de forma lenta y gradual, las fuerzas: F1, F2,.. F i,…Fn, que originarán los desplazamientos: 1, 2 ,… i,… n, de sus puntos de aplicación. Sean: 1, 2,… i,… n, las componentes de dichos desplazamientos en la dirección de las fuerzas respectivas. Fi

F1 1 1

i

i

i i´´ i´

1 1´ 2´ 2

R1 F2

2

n´ n

2

R2

n n

Fn

Fig. 3.5

Tengamos a continuación las siguientes consideraciones: La aplicación lenta y gradual de las fuerzas hace que los desplazamientos de las partículas del cuerpo, los hagan con velocidades muy pequeñas y por consiguiente puede despreciarse la energía cinética producida (Téngase en cuenta, por ejemplo, que la carga que recibe un pilar de un edificio desde que se construye el pilar hasta que se termina el edificio, al cabo de varios meses, va a ir aumentando de forma muy lenta y gradual). Se supone despreciable el rozamiento con los enlaces externos Debido a estas consideraciones se podrá admitir que: “ todo el trabajo que realizan las fuerzas externas: Te , se invierte totalmente en deformar al cuerpo, transformándose en Energía de Deformación:U”. Es decir:

Te U

(3.8)

y al no existir disipación de energía, estaremos en el caso de un sistema conservativo y en consecuencia: “ el trabajo que realizan las fuerzas exteriores depende únicamente de sus valores iniciales y finales y no del orden en que son aplicadas”.

Cálculo de Te : Al aplicarse las fuerzas externas de un modo gradual, sus valores en un estado intermedio, valdrán: . F1, . F2,..... . F i,.... .F n

siendo : 0

1 7

Tema 3: Cuerpo Elástico

y según la ley de Hooke, en ese instante intermedio, las componentes desplazamientos de sus puntos de aplicación serán: . 1, .

2

,..... . i ,.... .

siendo : 0

n

de los

1

Con lo cual, el trabajo elemental que realizarán las fuerzas externas será:

dTe

. F.1 d( . )1 ( F1.

1

F2.

. F2. d( . 2) ..... . Fi. d( . i) 2

...... Fi.

i

....... . Fn . d ( . Fn )

...... Fn . n ). .d 1

int egrando:

Te ( F.1

F.2

1

..... Fi.

2

...... Fn . n ).∫ .d

i

0

finalmente:

1 .∑ F. 2 i1 i

y

queda

n

Te

(3.9)

i

Observación: Si en lugar de las fuerzas Fi aplicadas, aplicásemos momentos Mi, que produjeran giros i en su misma dirección, la expresión del trabajo sería: 1 n .∑ M i . 2 i1

Te

(3.10)

i

3.4.- ENERGÍA DE DEFORMACIÓN La energía de deformación de un cuerpo elástico, la podremos obtener sumando las energías de deformación de cada uno de los paralelepípedos elementales que lo forman. Aislemos pues, de un cuerpo elástico, uno paralelepípedo elemental de lados: dx, dy, dz. y dz

y yx

yz

xy x

zy

x

dy z

z

xz

zx

x

O dx y

Fig.3.6

El trabajo que realizarán las diferentes fuerzas elásticas que actúan sobre el paralelepípedo serán: 8

Sección 3.4: Energía de deformación

Sobre las dos caras perpendiculares al eje X:

1 1 . x. dy. dz. x .dx . 2 2 1  xy . x. x xy . 2 2

xy

. dy.dz.

xz

xy

2

1 . 2

.dx

xz

.dy .dz .

xz

2

.dx

 .dx .dy .dz 2 

.

xz

Y repitiendo lo mismo sobre las dos caras perpendiculares al eje Y y las dos caras perpendiculares al eje Z, quedará: dT e

1 .( 2

dU

.

x

.

x

y

y

z

.

z

xy

.

xy

xz

.

xz

yz

.

yz

).dx .dy .dz

La energía de deformación por unidad de volumen será: u

dU dVol

1 .( 2

.

x

.

x

y

.

y

z

.

z

xy

xy

xz

.

xz

yz

.

yz

)

(3.11)

Si sustituimos las deformaciones en función de las tensiones, según las ecuaciones 3.3 de la ley de Hooke generalizada x x

E y

y

E z

z

E

 . y  E

  E 

 . x  E  . x  E

  E y   E 

z

xy xy

G

yz

G

yz

z

zx zx

G

quedará finalmente como expresión de la Energía de Deformación por unidad de volumen:

u

1 . 2. E

2 x

2 y

2 z

2 . .(

.

x

y

.

x

z

.

y

)

z

1 . 2 .G

La Energía de Deformación U del cuerpo elástico total será:

2 xy

U

2 yz

2 zx

∫ u.d (Vol )

(3.12)

(3.13)

vol

Observación: En las fórmulas obtenidas no hemos considerado el Trabajo debido a las Fuerzas de Gravedad que actuarían sobre el paralelepípedo, debido a que obtendríamos un infinitésimo de 4º orden, que se despreciaría frente al Trabajo de las Fuerzas Elásticas que es de 3º orden, como se ha visto.

9

Tema 3: Cuerpo Elástico

3.5.- DIAGRAMAS DE TENSIONES – DEFORMACIONES Las propiedades mecánicas de los materiales, tales como: RESISTENCIA, RIGIDEZ, DUCTILIDAD, …………., se obtienen de los Diagramas Tensiones - Deformaciones Estos diagramas se obtienen a partir de una probeta de dimensiones normalizadas del material a ensayar y sometiéndola a esfuerzos crecientes de Tracción (o en su caso de Compresión) hasta llegar a romperla. Durante el proceso se irán midiendo en cada instante los valores de la tensión a la que esté sometida: = F/A o y las correspondientes deformaciones que se van produciendo: ε =  L/L.

A o : área inicial de la sección transversal F

F L Fig.3.7

Si en unos ejes coordenados llevamos las deformaciones ε al eje de abcisas y las tensiones al de ordenadas se obtendrá un gráfico que es el Diagrama de tensiones – deformaciones. Cada material tendrá su propio Diagrama. El Diagrama tensiones – deformaciones para el caso de un acero estructural, conocido también como acero dulce de construcción, uno de los metales mas usados en edificios, puentes, grúas, etc…, es el siguiente: LR LFi

LE

LFf

F

LP

O

ε Fig.3.8

Observación: Este diagrama no está dibujado a escala, pero se representa así, para destacar con más claridad los puntos y partes mas significativas del mismo. Analicemos pues dicho Diagrama: 10

Sección 3.5: Diagramas de tensiones-deformaciones

Tramo O – LP: Este tramo inicial es una recta y existirá por tanto proporcionalidad entre tensiones deformaciones ε, se cumple pues la Ley de Hooke: E E LR

P

LFf

LF i

LE LP

y

F

LP : Límite de Proporcionalidad P

: Tensión de proporcionalidad

tag

= / ε = E (Módulo de Elasticidad longitudinal)

O ε

ε Fig.3.9

La pendiente de la recta de proporcionalidad nos proporciona el Módulo de Elasticidad longitudinal E del material. Y nos va a medir la RIGIDEZ de un material

“Rigidez de un material es la mayor o menor resistencia que opone dicho material a dejarse deformar” Ejemplo: Supongamos que tenemos los gráficos de dos materiales representados en la figura 3.10. LP

LP 2=

1

1

ε1

1

2

ε

ε2

ε

Material 2

Material 1 Fig.3.10

Se observa que la recta de proporcionalidad del material 1 tiene mayor pendiente que la “el material 1 es más tag 1 > tag 2 E 1 > E2 del material 2: 1 > 2 rígido que el material 2”. Efectivamente: se observa que sometidos los dos materiales a la misma tensión: el material 1 se deforma menos que el material 2: ε1 < ε2

1

=

11

2,

Tema 3: Cuerpo Elástico

Tramo LP - LE: A partir de LP el diagrama deja de ser una recta y comienza a ser una curva. El punto LE “límite elástico”, representa la máxima tensión que puede alcanzar el material para comportarse elásticamente, es decir, sin que se produzcan en él deformaciones permanentes

LR LF i E

LFf

F

LE LP

LE : Límite Elástico E

: Tensión elástica

Campo Elástico

O

ε Fig.3.11

Así pues, si una vez alcanzado el punto LE descargamos la probeta, la línea de descarga se hará recorriendo en sentido contrario la de carga y la probeta volvería a su estado inicial en el punto O.

LR

E

Carga

LE

LF i

LFf

F

Descarga

O

ε Fig.3.12

12

Sección 3.5: Diagramas de tensiones-deformaciones

Tramo LE – LFi – LFf : Una vez alcanzado el punto LE, si seguimos aumentando la carga sobre la probeta, el diagrama continua curvándose con una pendiente cada vez menor, hasta alcanzar el punto LFi. y a partir de dicho punto el material se deforma de forma apreciable (puede observarse a simple vista) sin necesidad de un aumento de carga, con lo cual aparece una línea horizontal en el gráfico hasta llegar al punto LFf . El material se dice que ha entrado en fluencia y se vuelve perfectamente plástico

LR LFi F

LF f

LE LP

F LFi : Límite Fluencia inicial LF f : Límite Fluencia final F

O

: Tensión de fluencia

ε Fig.3.13

Las deformaciones que sufre la probeta en este tramo son del orden de 10 a 15 veces la producida hasta el tramo anterior

13

Tema 3: Cuerpo Elástico

Tramo LFf – LR - F: Después de las grandes deformaciones producidas en el material durante el tramo de fluencia anterior, el material sufre cambios en su estructura cristalina y empieza a “endurecerse por deformación”, así pues, par...