đề Toán Cao cấp nhóm 1 PDF

Preview

Summary

HỌC VIỆN TÀI CHÍNHKHOA NGÂN HÀNG BẢO HIỂMBÀI ĐIỀU KIỆNMÔN TOÁN CAO CẤP 1Bài 1 : Trong không gian4  , cho các véc tơ:A   2,1, 3, 0 ; B   1, 2, 0, 1 ; C    1, 2, 1, 4 ; D  4, 5,1, 3Tính2 A B A B A B C B D A B C  ;3 2 ;  2 ; 3 ; 2 ,Lời giải    2 A B 2  2,1, 3, 0     ...

Description

HỌC VIỆN TÀI CHÍNH KHOA NGÂN HÀNG BẢO HIỂM

BÀI ĐIỀU KIỆN MÔN TOÁN CAO CẤP 1

4 Bài 1: Trong không gian  , cho các véc tơ:

A    2,1,3, 0  ;B   1, 2,0, 1 ;C   1, 2, 1, 4  ; D   4, 5,1,3  Tính

2 A  B;3 A  2 B; A  B  2C ; B  3D ; A  2B , C Lời giải

2 A  B 2   2,1,3,0   1,  2,0,  1   4, 2,6,0  1,  2,0,1   3,0,6,  1  3A  2B  3  2,1,3,0   2  1, 2,0, 1    6,3,9,0    2, 4,0, 2    8,7,9, 2 

 A  B 2 C   2,1,3,0   1, 2,0,  1 2 1, 2,  1, 4   3,3,3,1   2, 4,  2,8   5, 7,1,9  B  3D   1, 2,0, 1  3  4, 5,1,3   1, 2, 0, 1  12, 15,3,9   13, 17,3, 8 

 A  2B, C A  2B    2,1,3, 0   2  1,  2,0, 1   0, 3, 3,  2  Ta có: A  2B, C   0,  3,3,  2  .   1, 2,  1, 4   0.  1    3 .2  3.  1    2 .4  17

A, A ,A Bài 2: Hãy viết biểu diễn tuyến tính véc tơ X qua hệ véc tơ  1 2 3 với A1   3,  2  ; A2   0, 1  ; A3   2,1 ;X   1, 4  Lời giải * Giả sử:

X 1A1   2A 2   3A 3

  1  3  0  2     1    2    3    4   2   1  1   1   31   0   2 3            4    2 1     2    3   3 1  2 3  1    2 1   2  3 4

1

* Chọn:

  1 3 1   1  2  1

A, A , A Vậy X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ  1 2 3 là: X  A1  A2  A3 . Bài 3: Sử dụng định nghĩa, xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ



A1  3,  2  ; A2  1, 4 ; A3  2,  1

. Lời giải

 Ta có :  1 A1   2 A2   3 A3 02

 1  3,  2    2  1, 4    3  2,  1  0, 0    31  2  2 3 ,  2 1  4 2   3   0, 0   3   2  23 0  1   21  4 2   3 0  Hệ phương trình vô số nghiệm.  Chọn  3 1

 31  2  23 0    2 1  4 2   3 0 9    1  14    1  2 14 Vậy hệ véc tơ 

A1 , A2 , A3

là hệ phụ thuộc tuyến tính.

Bài 4: Xét xem hệ véc tơ sau có là cơ sở của không gian tương ứng không?

 A  2,  5  ; A   1, 4  1

2

2 , trong không gian  .

Lời giải 2 +) Hệ có số véc tơ bằng số chiều của  ( đều bằng 2 ) (*)

2

+) Xét:

1 A1  2 A2 02

 1  2,  5  2   1, 4  0, 0  2 1   2 0    5 1  4 2 0 1 0   2 0 => Hệ véc tơ 

A1 , A2

là hệ độc lập tuyến tính. (**)

Từ (*) và (**) ta có: hệ véc tơ Bài 5: Cho hệ véc tơ minh hệ

 A1 , A2

S  A1  1,1, 2  ; A2  1, 2,0 ; A3  1, 0, 0 ; A4  3, 4, 4 

S  A1, A2, A3

* Chứng minh

 A1, A2 , A3  +) Xét S1  1 A1   2 A2   3 A3 0 3   1 1,1, 2    2  1, 2,0   3 1, 0,0  0,0, 0 1  2  3 0   1  22 0 2 0  1 1 0   2 0  0  3

S1 là hệ độc lập tuyến tính. (*)

+) Giả sử :

Chứng

S S là 1 cơ sở của S . Hãy chỉ ra một cơ sở 2 của S khác 1 . Lời giải

=> Hệ

2

là một cơ sở của  .

A4 1A1   2 A2   3A3 3

  1 1,1, 2   2  1, 2,0   3  1, 0, 0   3, 4, 4  1  2  3  3   1  22  4  2 4  1 1 2   2 1  0  3 S  A,A ,A A 2 A1  A2 Véc tơ A4 biểu diễn tuyến tính qua hệ 1  1 2 3  là: 4 . (**) Vậy từ (*) và (**) ta có: hệ * Ta có: hệ

S1  A1 , A2 , A3 

là 1 cơ sở của S.

S 2  A2 , A3 , A4 

S 2 0 3  1 A2  2 A3  3 A4 03  1  1, 2, 0  2  1,0,0  3  3, 4, 4  0, 0, 0 1   2  3 3  0   2 1 3 3 0 4  0  3  1 0    2 0   0  3

 Hệ véc tơ S 2 là hệ véc tơ độc lập tuyến tính. (1) +) Giả sử:

A1  1 A2  2 A3  3 A4

 1 1, 2, 0    2 1,0,0    3  3, 4, 4   1,1, 2 

 1   2  3 3 1   2 1  4 3 1 4  2  3

1   1  2    2 0  1  3   2

4

 A1 

1 1 A2  A4 2 2 (2)

Vậy từ (1) và (2) ta có: hệ

S2  A2 , A3 , A4

là một cơ sở của S .

Bài 6: Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản phẩm. Cho các véc tơ:

 1  2  1  3  3           A1  2 ; A2  1  ; A3  2  ; A4   1  ; A5   0   1  1  2  2  1           Trong đó A1 là véc tơ định mức vật liệu để sản xuất sản phẩm thứ j. a) Chứng minh rằng, hệ B  A2 , A4 , A5 là một hệ độc lập tuyến tính. b) Viết biểu diễn tuyến tính của các véc tơ còn lại qua hệ B và nêu ý nghĩa kinh tế của biểu diễn tuyến tính đó. c) Tính số lượng các loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng 15, 40, 30, 60, 20 đơn vị sản phẩm từ loại 1 đến loại 5. Lời giải  A  2 A4  3 A5 03 a) Ta có: 1 2  2  3  3  0       1 1   2 1   3 0  0          1  2  1  0          21  32  33   0   21  32  33 0 1 0          1  2   2 0   0    1  2 0   2   0  0   2     0   3 2 3 2 3  1     1

B  A2 , A4 , A5  Vậy hệ là hệ độc lập tuyến tính. A  A  A  A b)  Giả sử: 1 1 2  2 4  3 5

5

 2  3  3  1           1  1   2  1   3  0   2  1   2  1  1           2 1  3 2  3 3   1   2 1  3 2  3 3 1  1  2    2      1  2 2   2 0 1 2      2     1    2     1  1  1     1  3 2 3 2 3 => A1 biểu diễn tuyến tính qua hệ B : A1 2 A2  A5  A1  A5 2 A2 +) Ý nghĩa kinh tế: Nếu hãng bớt đi 2 đơn vị sản phẩm loại 2 thì hãng được thêm 1 đơn vị sản phẩm loại 1 và 1 đơn vị sản phẩm loại 5 .  Giả sử: A3  1 A2   2 A4  3 A5 2  3   3  1       1  1   2  1   3 0   2  1  2 1  2          1    1  2  21 3 2 3 3   1  2 1  3 2  3 3 1  3             1  2       2 2   1 2 2    2      2      2 3  1  2   1  2 2  3 2 3    3  2 

Vậy A3 biểu diễn tuyến tính qua hệ B :

1 3 3 3 1 3 A3  A2  A4  A5  A3  A5  A2  A4 2 2 2 2 2 2 +) Ý nghĩa kinh tế: 1 3 Nếu bớt đi 2 đơn vị sản phẩm 2 và 2 đơn vị sản phẩm 4 thì ta được thêm 1 đơn 3 vị sản phẩm 3 và 2 đơn vị sản phẩm 5 .

6

c) Số lượng các loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng được 15, 40, 30, 60, 20 đơn vị sản phẩm từ loại 1 đến loại 5 là:

VL 15 A1  40 A2  30 A3  60 A4  20 A5 1  2  1  3  3 15 2  40 1   30 2  60 1   20 0           1 1  2  2  1            15   80   30   180  365            30    40   60  60   190   15   40  60  120  255            365     190   255  . Vậy số lượng 3 loại VL cần sử dụng để sản xuất theo yêu cầu đề bài là:  3 Bài 7: Cho Fi ,i 1,3 là các véc tơ trong không gian  có các thành phần thứ tương

1 ứng bằng   , các thành phần còn lại bằng 0. Chứng tỏ hệ Fi , i 1,3 là một cơ sở của  3 và tìm biểu diễn tuyến tính của véc tơ bất kì X   3 qua cơ sở đó. i

Lời giải Theo đề bài, ta có:

F1   1,0,0 ; F2  0,1;0 ; F3  0,0,  1

3 * Chứng minh: Xét điều kiện về cơ sở không gian  ta có: 3 +) Hệ có số véc tơ bằng số chiều của  (đều bằng 3).

+)

1 F1   2 F2  3 F3 03

 1   1,0,0   2  0,1,0   3  0,0,  1   0,0,0    1 0 1 0      2 0   2 0    0  0  3  3  Hệ véc tơ  F1 , F2 , F3  độc lập tuyến tính.

7

Vậy hệ

Fi  F1 , F2 , F3 

* Ta có:

X   2,  4,1 

3

là một cơ sở của  .

 1F1   2F2   3F3 Giả sử: X  1   1,0,0    2  0,1, 0    3  0,0,  1  2,  4,1   1 2     2  4     1  3

 1  2    2  4    1  3

 F ,F ,F  X  2 F1  4 F2  F3 Vậy X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ 1 2 3 là: . Bài 8: Cho các ma trận:   2  1  1 1 1  2  1 3     ; B  3 1 ; C  2 3 0  A   1 0  2  2  3   1 2 4     Tính

AC; C  2 B ;  2 A  BT  C Lời giải  1 1 1  2  1 3     3 1 14  . 2 3 0   1 0   3  5  7   2        1 2 4 * AC =  1  1 1     2  1   1  1 1    4  2    6  10           2   10 2   2 3 0 .  2.  3 1    2 3 0 .  6 C 2 B    1 2 4    2  3   1 2 4   4  6   34  18  *    2A  BT  C  * 2 3 2  BT     1 1  3 2 1 3  4 2 6  2 A 2.     1 0  2  2 0  4 

8

4  2 6   2 2 A  BT    2 0  4   1  1  2 1 8  T (2 A  B ).C   . 2  1 1  7  1 

3 2  2 1 8    1  3 1 1  7   1 1    4 17 34  3 0    10  12  27    2 4

Bài 9: Tìm  để mỗi ma trận sau không suy biến:  0  3 2      5  b)  3 a) 

1

 1

3   2 2  Lời giải

 3 2 A   a) Đặt  5 3 2  det( A)  15  2  5 15   det  A  0  15  2  0   2 Để ma trận không suy biến thì 15  2 . Vậy để ma trận A không suy biến thì  1 3    B  0   2  3 1 2  b) Đặt    1 3  2 1 3  det( B)  0   2 .(  1)11.  3.(  1) 3 1  2 1 2 3 1 2

 .(2   2)  3.(2  3 ) 2  2  7   6   2  det(B ) 0  2  7  6  0   3    2 Để ma trận B không suy biến thì   2   3   2 Vậy để ma trận B không suy biến thì 2

9

Bài 10: Bằng việc tính định thức hoặc hạng của ma trận, hãy xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ 

A1  0,  3,  1 ; A2   5,3,1 ; A3   1, 2, 0  .

Lời giải Đặt

X  A1 , A2 , A3

 0  5  1   X   3 3 2  1 1 0    Ta có: 0 5 1 3 2 3 3  (  1).(  1) 4 . det( X )   3 3 2 (  5).(  1)3 . 1 0 1 1  1 1 0 Xét:

5.2  ( 1).0 10

X  A1, A2, A 3 Có det( X ) 10 0 , vậy: độc lập tuyến tính. Bài 11: Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm hạng, một cơ sở và viết các biểu thị tuyến tính của hệ véc tơ ngoài cơ sở qua cơ sở đối với hệ véc tơ sau:



A1  2,1, 4  ; A2   3,6,5 ; A3   9,3,  7 .

Lời giải Đặt S { A1 (2,1, 4); A2 (  3,6,5); A3 (  9, 3,  7)}  2  3  9   0  15  15   0 0 0    S  1 6 3    1 6 3    1 0  3   4 5  7   0  19  19   0 1 1         h( S ) 2 * Cơ sở của hệ véc tơ

S : A1 ; A2 

* Biểu diễn tuyến tính A3 qua hệ cơ sở của S : A3  3 A1  A2

10

Bài 12: Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho hai ma trận:

0 3 2 1   A  3 1 1 3 ; X  5 2 0 4  1 2 2 1   trong đó

aij

cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại dung để sản xuất 1 đơn vị sản j, x j cho trong ma trận X là số đơn vị sản phẩm loại j mà dự định sản xuất phẩm loại

 i 1,3; j 1, 4  a. Sử dụng phép nhân ma trận, tính số lượng vật liệu các loại dùng vừa đủ để sản xuất số lượng các loại sản phẩm trong X . A b. Ký hiệu j là véc tơ cột thứ j của ma trận A với j 1, 4 . Bằng phương pháp khử toàn phần, tìm biểu diễn tuyến tính của A3 qua hệ véc tơ  A1, A2 , A4 và nêu ý nghĩa kinh tế. c. Sử dụng ý nghĩa vừa nêu ở phần b, với điều kiện sử dụng hết số lượng vật liệu được tính ở phần a, nếu hãng muốn sản xuất 1 đơn vị sản phẩm loại 3, thì số lượng các loại sản phẩm còn lại là bao nhiêu và số đơn vị sản phẩm 3 có thể sản xuất tối đa là bao nhiêu? Lời giải  5  2 T 5 2 0 4 X    X    0    4 a) Số lượng vật liệu các loại cần để sản xuất số lượng các loại sản phẩm cho trong X là:  5  0 3 2 1    10  2 VL  A.X T   3 1 1 3 .     29   1 2 2 1  0   13        4

11

b)

 10     29   13  Vậy số lượng vật liệu các loại cần để thỏa mãn điều kiện đề bài là   . * Ta có:  0 3 2 1 0    A  3 1 1 3    0 1  1 2 2 1     Biểu diễn tuyến tính:

3

2 1    5 0 2 1 

0  5 0 1 2  A3 A1  A2  A4 

0 1 1 1 0 0

1   0  1 

0 0  1 1    0 1 1 0  1 0 1 0   

A3  A4 A1  A2

* Ý nghĩa kinh tế: Nếu ta bớt đi 1 đơn vị sản phẩm 1 và 1 đơn vị sản phẩm 2 thì ta được thêm 1 đơn vị sản phẩm 3 và 1 đơn vị sản phẩm 4. c)

* Theo đề bài, ta có: VL 5 A1  2 A2  4 A4  A3  A3 5 A1  2 A2  4 A4  A3  ( A1  A2  A4 )  4 A1  A2  5 A4  A3 Vậy nếu hãng sản xuất thêm 1 đơn vị sản phẩm 3 thì sản phẩm 1 có 4 đơn vị, sản phẩm 2 có 1 đơn vị, sản phẩm 4 có 5 đơn vị.

* Ta có: VL 5A1  2A2  4A 4  mA 3  mA 3

5 A1  2 A2  4 A4  A3  m (A1  A 2  A 4) (5  m ) A1  (2  m ) A2  (4  m )A 4  mA 3 5  m 0 2  m 0   0 m 2    m 4 0   m 0 Điều kiện:  Vậy hãng có thể sản xuất tối đa 2 đơn vị sản phẩm 3. Bài 13: Một hãng dùng 3 loại vật liệu thô sản xuất 5 loại sản phẩm. Biết định mức của 3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản phẩm được cho bởi ma trận:  2 4 1 3 5 A  2 2 3 1 3  1 1 4 3 4   

12

Với loại

aij

cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu cần sản xuất ra 1 đơn vị sản phẩm





j i 1,3; j 1,5 ; x j

a) Ký hiệu

Aj

là số đơn vị loại j mà hãng sử dự định sản xuất.

là véc tơ cột thứ j của ma trận A , j 1, 5 Bằng phương pháp khử

toàn phần, chứng minh hệ véc tơ

B  A1, A3, A4

là một cơ sở của hệ

A

j



: j 1,5

A ,A b) Tìm biểu thị tuyến tính của hệ  2 5  qua B và nêu ý nghĩa kinh tế của nó. c) Tính tổng số tiền mua vật liệu vừa đủ để sản xuất 34 đơn vị sản phẩm loại 2 và 17 đơn vị sản phẩm loại 3, biết rằng số tiền mua vật liệu vừa đủ để sản xuất 3 đơn vị sản phẩm loại 1 và 1 đơn vị sản phẩm loại 4 là 27 triệu đồng. Lời giải a) Ta có:  2 4 1 3 5  0 2    A  2 2 3 1 3    0 0  1 1 4 3 4  1 1    1  0 2  0 2 0 4 4  1     0 0 1 1 1   0  2  1 1 0  1 0    3  1 2  Vậy hệ véc tơ

B { A1 , A3 , A4 }

7 5 4

3 3   5 5  3 4 

 1 1  1 0 0   0 0 1   0

là một cơ sở của hệ

{ Aj : j 1,5}

{A , A }

2 5 qua B như sau: b) Từ kết quả ở câu a ta biểu diễn tuyến tính của 3 1 1 1 3 1 A2  A1  A3  A4  A2  A3  A1  A4 2 2 2 2 2 2 (1) +) 3 1  Ý nghĩa kinh tế: Nếu hãng bớt đi 2 đơn vị sản phẩm loại 1 và 2 đơn vị sản phẩm

1 loại 4 thì hãng được thêm 1 đơn vị sản phẩm loại 2 và 2 đơn vị sản phẩm loại 3.

+) A5  A1  A4  Ý nghĩa kinh tế: Nếu hãng bớt đi 1 đơn vị sản phẩm loại 1 và 1 đơn vị sản phẩm loại 4 thì hãng được thêm 1 đơn vị sản phẩm loại 5.

13

c) Từ (1) ở câu b, ta có: 1 3 1 A2  A3  A1  A 4  2A2  A3  3A1  A4 2 2 2 Theo giả thiết đề bài, ta suy ra: 3 A1  A4 27000000 đồng  2 A2  A3 27000000 đồng Số tiền mua vật liệu vừa đủ để sản xuất 34 đơn vị sản phẩm loại 2 và 17 đơn vị sản phẩm loại 3 là: P 34 A2 17 A3 17(2 A2  A3 ) 17.27000000 459000000 đồng. Vậy số tiền mua vật liệu vừa đủ để thỏa mã điều kiện là: 459000000 đồng Bài 14: Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại sản phẩm trung gian. Sau đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm. Cho các ma trận: 2 4 A  3  2

1 1 2 1 1  1 2  , B  1 1 1   2 2 1 0 2     0 3

aij

cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại i cần để sản xuất 1 đơn vị j, bjk sản phẩm trung gian loại cho trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian Với





k i 1, 4; j , k 1, 3 . loại j cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại

a) Tính số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất 120,130,240 đơn vị sản phẩm trung gian loại 1,2,3 tương ứng. b) Gọi M là tổng các phần tử thuộc hàng 2 của ma trận AB . Tính 3 M và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả tìm được. Lời giải a) Số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất 120, 130, 240 đơn vị sản phẩm trung gian loại 1, 2, 3 tương ứng là: 2 1 1   610   4 1 2   120  1090   .  130     A.X     1100   3 2 2      240    2 0 3    960 

14

 610   1090     1100     960 

Vậy số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để thỏa mãn điều kiện đề bài là: b) +) Ta có: Số vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất một đơn vị thành phẩm loại k (k 1,3) là: 2 1 1 6  4 1 2   2 1 1   11  .  1 1 1   VL A.B   10  3 2 2       1 0 2  2 0 3  7 Theo giả thiết của đề bài, ta có: M 11  5  9 25

3 5  5 9  5 9  2 8

 3 M =3.25=75 +) Ý nghĩa kinh tế: 75 đơn vị vật liệu thô loại 2 đủ để sản xuất 3 đơn vị sản phẩm loại 1 3 đơn vị sản phẩm loại 2 và 3 đơn vị sản phẩm loại 3 Bài 15: Cho ma trận 2 3 1  1 0 2  A  0 1  2  , B    1 3 1  1 4 1    a) Tìm  để ma trận A không suy biến. b) Với  1 hãy tìm ma trận thỏa mãn XA B  X , E là ma trận đơn vị cấp 3 bằng phương pháp ma trận nghịch đảo. Lời giải a) Ta có: 2 3

1 1 2 3 1  1.( 1)31 .  2(  8)  7  2  9 det(A )  0 1  2  2.( 1)11 . 4  1 2 1 4  9 det( A) 0  2  9  0    2 Để ma trận A không suy biến thì

15

Vậy để ma trận A không suy biến thì b) Với  1 ma trận A trở thành: 2 3 1 A  0 1  2  1 4 1    Ta có: XA B  X  XA.E (B  X ).E  XA BE  XE  X ( A  E)  BE

 2   X.   0   1 1   X. 0 1  1  C  0 1  Đặt



9 2 .

1  1 0 0 1 0 0       1 0 2   1  2    0 1 0    .  0 1 0  1 3 1   4 1   0 0 1     0 0 1 3 1    1 0 2 0  2    1 3 1    4 0  3

3 1   1 0 2   1 0 2  1 0  2   X .C  X      .C  1 3 1 1 3 1     4 0 

 4  1 C   1   0  Có  4 X   1 Vậy

      2 3 4 2 3      1 0 2    4  3 3 1 1  1  X  . 1 1       1 0 0  2 2  1 3 1     1 1  0 0  0    2 2  3 3  0 0 

Bài 16: Tìm  để hệ phương trình tuyến tính sau là hệ Cramer và với  1 tìm nghiệm của hệ tương ứng theo phương pháp ma trận nghịch đảo.

16

 2x1  x2  x3  3   x1  2 x2  2 x3 1  3x - x 5 1 3 

Lời giải * Điều kiện để hệ phương trình tuyến tính sau là hệ Cramer -Hệ có số phương trình bằng số ẩn (Vì cùng bằng 3)  2 1     A  1  2 2  3 0 1   -Xét 2 1  1 2 2   det( A) 1  2 2 (  1).(  1)12 .  (  2).(  1) 2 1. 3 1 3 1 3 0 1  7  2( 2  3 ) 6  3 1 det( A ) 0  6  3 0    2 Để hệ phương trình tuyến tính là hệ Cramer thì 1  2 . Vậy để hệ là hệ Cramer thì  2 x1  x2  x3  3   x1  2x2  2x3 1 3  x3 5 * Với  1 hệ phương trình trở thành:  x1 2  1 1   x1  3   1 2 2  ; X=   ; B= 1   A    x2     3 0  1 x   5    3   Đặt 1 Hệ phương trình tương đương: AX B  X  A B

17

1 2  3  3 0    7 5 1  A    1 3  3    2  1  1    Có

1 2  5 3  3 0 3   3   7 5 1    X=   1 . 1     3  3 3    5     2  1  1   0     

5  3    1  3    0    Vậy hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là:   . Bài 17: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử toàn phần ( tìm nghi...