DERET MINGGU KE TOPIK DOSEN PENGAJAR METODE & MEDIA AJAR 1 • DeretDeret Positif • Deret Selang-selingDeret pangkatQUIZ I • Vektor PDF

Preview

Summary

1 DERET MINGGU DOSEN TOPIK METODE & MEDIA AJAR KE PENGAJAR • Deret 1 SUN LCD, Papan Tulis, Transparansil • Deret Konvergen dan Divergen • Deret Positif 2 SUN LCD, Papan Tulis, Transparansi • Deret Selang-seling • Deret pangkat 3 SUN LCD, Papan Tulis, Transparansi • Ekspansi fungsi • QUIZ I 4 SUN...

Description

1

DERET MI NGGU KE 1 2 3 4

• • • • • • • •

TOPI K Deret Deret Konvergen dan Divergen Deret Positif Deret Selang-seling Deret pangkat Ekspansi fungsi QUIZ I Vektor

DOSEN PENGAJAR

METODE & MEDI A AJAR

SUN

LCD, Papan Tulis, Transparansil

SUN

LCD, Papan Tulis, Transparansi

SUN

LCD, Papan Tulis, Transparansi

SUN

LCD, Papan Tulis, Transparansi

1

BARISAN • B Barisan i adalah urutan bilangan yang disusun menurut pola d l h t bil di t l tertentu. • Secara umum, barisan dapat dinyatakan sebagai urutan  bilangan berikut: a0, a1, a2, a3, …, an Atau singkatnya {an} dengan an menyatakan suku ke‐n barisan. Suku an menyatakan pola umum suku ke‐n menyatakan pola umum suku ke‐n dari barisan tersebut. dari barisan tersebut Contoh 1: 1, 3, 5, 7, … Adalah urutan bilangan ganjil yang suku sukunya dapat diuraikan sbb: Adalah urutan bilangan ganjil yang suku‐sukunya dapat diuraikan sbb: 1=2.0+1=2.n+1; dengan n=0 3=2.1+1=2.n+1; dengan n=1 5=2 5 2.2+1 2+1=2 2.n+1; dengan n n+1; dengan n=2 2 7=2.3+1=2.n+1; dengan n=3

Jadi urutan bilangan: 1, 3, 5, 7, … dapat ditulis a0, a1, a2, a3, …, an, dengan  ( ) an=(2n+1) dan n=0,1,2,3, …                                                               2

…lanjutan

Contoh 2: 2, 6, 18, 54, … Adalah barisan berpola an=2.3n‐1, dengan n=1, 2,3, … Pembuktian sbb: n=1, maka a1=2.31‐1=2 n=2, maka a2=2.32‐1=6 n=3, maka a3=2.33‐1=18 n=7, maka a4=2.34‐1=54 Contoh 3: 12, ‐22, 32, ‐42, … Dapat dinyatakan: an=(‐1)n‐1n2, dengan n=1, 2, 3, … Bagaimana kalau n=0, 1, 2, 3, …? Barisan berhingga dan tak berhingga: •Barisan berhingga mempunyai an dengan nmaks≠∞ •Barisan tak berhingga mempunyai a gg p y n dengan n g maks=∞

3

DERET • •

Deret adalah hasil penjumlahan semua suku dalam barisan. Misalkan terdapat barisan: a1, a2, a3, a4, …, an, maka deretnya adalah:

a1 + a2 + a3 + ... + an = ∑ an ∞

n =1

Penamaan bermacam‐macam deret: P b d t Deret bilangan: deret yang mempunyai suku berupa bilangan tetap. Deret variabel/pangkat: deret yang memp. suku berupa bil. variabel. Deret positif: bila tanda suku deret selalu positif. i if bil d k d l l i if Deret selang‐seling: bila tanda suku deret berganti secara selang‐seling antara  positif dan negatif  

∑ n = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n ∞

Contoh 1:

n =1

Merupakan deret bilangan positif, yang biasa dikenal sebagai deret hitung. Ciri  deret hitung adalah sebuah suku mempunyai beda yang sama dengan suku deret hitung adalah sebuah suku mempunyai beda yang sama dengan suku  sesudah atau sebelumnya. Beda suku deret hitung di atas adalah 1. 4

Contoh 2:

1+

1 1 1 1 + + + ... + 2 3 4 n

…lanjutan

Merupakan deret bilangan positif yang disebut deret harmonis Contoh 3: 1 − 2 + 3 − 4 + ... + (−1) n −1 n

Merupakan deret bilangan selang‐seling atau deret bolak‐balik

Contoh 4: 1 − 1 + 1 − 1 + ... + (−1) n ( 1 ) n 3 9

27

3

Merupakan deret bilangan selang‐seling atau dinamakan deret ukur. Ciri deret  ini adalah bahwa suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan sebuah  bilangan dengan suku sebelumnya.  Bilangan pengali ini disebut PEMBANDING atau RASIO. Pembanding pada deret ukur ini adalah (1/3). t RASIO P b di d d t k i i d l h (1/3) Contoh 5:

∑a x ∞

n =0

n

n

= a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + ... + an x n

Merupakan deret variabel atau pangkat Contoh 6:

x3 x5 1 x− + + (−1) n −1 x ( 2n −1) Merupakan deret pangkat 3! 5! (2n − 1)! 5

…lanjutan

Latihan: Tentukan jenis deret dan tentukan pola umum untuk suku ke‐n dari setiap  deret di bawah ini, dan nyatakan pula deret tersebut dalam bentuk Σ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 8. 9.

1 + 5 + 9 + 13 + ...

1 1 1 1 + + + + ... 2 5 10 17 1 1 1 1 1 − 2 + 2 + 2 + 2 + ... 3 5 7 9 1 1 1 + ... 1− + − 3 9 27 x x2 1− + + ... 2 3 x2 x3 x4 x − 2 + 2 − 2 + ... 2 3 4 x x sin x + 2 sin + 4 sin + ... 3 9 2 3 x x x + ... + + 1+ 1 1+ 2 1+ 3 1 1 1 ( x − 1) − ( x − 1) 2 + ( x − 1) 3 − ( x − 1) 4 + ... 2 3 4

6

Deret Konvergen dan Divergen: Jika hasil penjumlahan deret dituliskan S p j n, maka: S1=a1 S2=a1+a2 S3=a1+a2+a3 Sn=a1+a2+a3+…+an Sn disebut jumlah sebagian deret. Karena deret tak berhingga mempunyai  n=∞, maka S dapat dicari dengan limit.

S = lim Sn n →∞

Jika S menuju nilai tertentu, deretnya disebut deret konvergen. Jika S menuju nilai ± ∞ atau bernilai tak tunggal, disebut deret divergen. Contoh 1: Tinjau deret selang seling: a‐a+a‐a+… Jawab: Sn=0, jika n genap (1,3,5,7,…) Sn=1, jika n genap (0,2,4,6,…) Ketidak‐tunggalan nilai Sn menunjukkan bahwa deret tersebut bersifat  d divergen. 7

…lanjutan

Contoh 2: Tinjau deret hitung: a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+… Jawab: b Jumlah deret hitung dengan n buah suku dan beda b dapat dinyatakan  sbb: n {2a + (n − 1)b} maka: 2 n S = lim {2a + (n − 1)b} = ∞ n →∞ 2 Sn =

Jadi, deret hitung adalah deret yang divergen. Contoh 3: Tinjau deret ukur dengan pembanding (rasio)=r sbb:  a+ar+ar2+ar3+…+arn‐1 Jawab: n a ( 1 − r ) Jumlah deret tersebut sampai suku ke‐n adalah: Sn = (1 − r ) Hal ini dapat dibuktikan sbb:

S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n −1 rSn = __ ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n −1 + ar n S n (1 − r ) = a(1 − r n )

8

n − a ( 1 r ) Untuk n→∞, maka: S = lim n →∞ (1 − r )

…lanjutan

a S= (1 − r ) Karena nilai a dan r tertentu maka juga diperoleh S tertentu Jadi suatu deret Karena nilai a dan r tertentu, maka juga diperoleh S tertentu. Jadi, suatu deret  ukur akan konvergen jika |r|1 dan n→∞, maka rn=∞, sehingga S juga bernilai ∞.  Jadi, deret ukur  akan divergen jika |r|>1 akan divergen jika |r|>1. Jika r=1, maka (1‐rn)=0 dan (1‐r)=0, sehingga S=0/0 (tak terdefinisi). Jika r=‐1, maka (1‐rn) bernilai 2 untuk n ganjil, dan 0 untuk n genap, sehingga S  bernilai 0 untuk n genap dan a untuk n ganjil Jadi karena nilai tak tunggal bernilai 0 untuk n genap dan a untuk n ganjil. Jadi karena nilai tak tunggal,  maka deret ukur akan divergen jika |r| 1. Kasus untuk: (1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+…, adalah deret ukur dengan  pembanding r=(1/2) Karena r...