Desarrollo Simpson 3/8 PDF

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Desarrollo matemático del método de integración numérica Simpson 3/8...

Description

La formula de Simpson 3/8 pertenece al tipo de integración numérica de Newton-Cortes. Se basa en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados por un polinomio de aproximación que es fácil de integrar:

Donde

f n (x) es un polinomio de grado n de forma:

La integral también se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados por pedazos a la función o datos, sobre segmentos de longitud constante. La regla de Simpson 3/8 resulta cuando un polinomio de interpolación de tercer grado se sustituye en la ecuación:

Si se designan a y b como x0 y x3, y f3(x) se representa por un polinomio de Lagrange de segundo grado:

La integral se transforma:

I =∫

[

( x − x 1 )( x − x 2 )( x − x 3 ) ( x − x 0 )( x − x 2) ( x−x 3 ) ( x − x 0) ( x−x 1 )( x −x3 ) (x− x f ( x0 )+ f ( x1) + f ( x2) + ( x 3−x 0 ( x 0− x 1 )( x 0 −x2 )( x 0−x 3) ( x1−x 0 ) ( x 1−x 2 )( x1 − x3 ) ( x2 − x0 )( x 2−x 1) ( x 2−x 3 )

Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas (adjuntadas en este documento al final), se obtiene la siguiente fórmula:

Donde h = (b – a)/3. Ésta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La regla 3/8 se expresa también en la forma de la ecuación:

Una forma de mejorar la precisión de la regla del método consiste en dividir el intervalo de integración de a a b en varios segmentos, y aplicar el método a cada uno de ellos. Las áreas de los segmentos se suman después para obtener la integral en todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman fórmulas de integración, de aplicación múltiple o compuestas. Habrá n + 1 puntos igualmente espaciados (x0, x1, x2,..., xn). En consecuencia, existen n segmentos del mismo ancho (En Simpson 3/8 n debe ser múltiplo de 3):

h=

b−a n

Si a y b se designan como x0 y xn, respectivamente, la integral completa se representará como:

xn

f ( x ) dx+¿ …+ ∫ f ( x ) dx x n− 3 x6

f ( x ) dx +¿ ∫ ¿ x3 x3

I =∫ ¿ x0

Al sustituir la regla de Simpson 3/8 en cada integral se obtiene:

I =3 h

f ( x 3 ) +3 f ( x 4 ) + 3 f ( x 5 )+ f (x 6 ) f ( xn −3 ) +3 f ( x n−2 )+ 3 f ( x n−1 ) + f ( x0 ) +3 f ( x 1) + 3 f ( x 2 )+f (x 3 ) +3 h + …+3 h 8 8 8

o, agrupando términos:

[

n−2

n−1

n−3

3 I = h f ( x0) + 3 ∑ f ( x i) +3 ∑ f ( x i )+ 2 ∑ f ( xi ) +f (x n ) 8 i=1,4,7, … i=2, 5 ,8 , … i=3 , 6 ,9 , …

]...