Slide-38 - geometria PDF

Preview

Summary

geometria...

Description

ELLISSE, IPERBOLE, PARABOLA. L’ellisse, l’iperbole e la parabola sono esempi di curve appartenenti alla famiglia delle coniche: una conica `e una curva del piano rappresentata da un’equazione polinomiale di grado 2 in x e y :

a11 x2 + a22 y 2 + 2a12 xy + 2a01 x + 2a02 y + a00 = 0,

aij ∈ R, (a11 , a22 , a12 ) 6= (0, 0, 0).

Ellisse, iperbole e parabola sono dette coniche generali (o non degeneri) a punti reali.

Definizione: L’ellisse `e il luogo geometrico dei punti del piano le cui distanze da due punti assegnati, detti fuochi, hanno somma costante. Per semplicit`a, supponiamo che i fuochi siano i punti F (c, 0) ed F ′ (−c, 0), sull’asse x e simmetrici rispetto all’origine (c > 0).

Ponendo uguale a 2a la somma costante delle distanze dai fuochi di un punto qualsiasi dell’ellisse, si trova che i punti dell’ellisse sono tutti e soli quelli le cui coordinate soddisfano l’equazione

x2 y 2 + 2 = 1, a2 b

con

b2 = a2 − c2

(1)

=⇒ equazione canonica dell’ellisse. L’ellisse `e simmetrica rispetto agli assi x e y e all’origine O (poich´e appaiono nell’equazione solo potenze di grado pari di x e y , si ha che se P (x, y) appartiene all’ellisse, anche P ′ (−x, y ), P ′′ (−x, −y ), P ′′′ (x, −y) appartengono all’ellisse). I punti A(a, 0), A′ (−a, 0), B(0, b), B ′ (0, −b) sono i vertici dell’ellisse: tutti e soli i punti in cui la curva interseca gli assi coordinati. ′ ′ I segmenti √ AA e BB sono gli assi dell’ellisse; l’origine O(0, 0) `e il centro dell’ellisse. c = a2 − b2 = distanza focale: distanza di un fuoco dal centro dell’ellisse.

(1)

=⇒

x2 ≤1 a2

y2 ≤1 b2

=⇒

−a ≤ x ≤ a

−b ≤y ≤b

=⇒ l’ellisse `e contenuta nel rettangolo con centro l’origine, racchiuso tra le rette x = ±a e y = ±b. 1

eccentricit`a dell’ellisse: e = c/a < 1. Le direttrici dell’ellisse sono le rette d : x = a2 /c e d′ : x = −a2 /c, parallele all’asse y ed esterne all’ellisse. L’ellisse pu`o essere descritta in un altro modo come luogo geometrico del piano: Proposizione: L’ellisse `e il luogo dei punti del piano le cui distanze da un punto fisso, cio`e il fuoco F (rispettivamente F ′ ) e da una retta fissa, cio`e la direttrice d (rispettivamente d′ ), hanno rapporto costante e minore di 1. Tale rapporto `e l’eccentricit`a dell’ellisse. Osservazione: Se c = 0, e cio`e a = b, allora i due fuochi coincidono con l’origine =⇒ l’ellisse diviene una circonferenza di centro O e raggio a, di equazione x2 + y 2 = a2 . La circonferenza ha per definizione eccentricit`a nulla. 2

Definizione: L’iperbole `e il luogo geometrico dei punti del piano le cui distanze da due punti assegnati, detti fuochi, hanno differenza costante in valore assoluto. Per semplicit`a, supponiamo che i fuochi siano i punti F (c, 0) ed F ′ (−c, 0), sull’asse x e simmetrici rispetto all’origine (c > 0).

Posta uguale a 2a la differenza, costante in valore assoluto, tra le distanze dai fuochi di un qualsiasi punto dell’iperbole, si dimostra che i punti dell’iperbole sono tutti e soli quelli le cui coordinate soddisfano l’equazione

x2 y 2 − 2 = 1, a2 b

con

b2 = c2 − a2

(2)

=⇒ equazione canonica dell’iperbole. L’iperbole risulta simmetrica rispetto a entrambi gli assi e all’origine del sistema di riferimento. L’iperbole ha punti di intersezione solo con l’asse x e non con l’asse y . L’asse x `e l’asse trasverso dell’iperbole; l’asse y `e l’asse non trasverso. I due punti di intersezione con l’asse x sono i vertici dell’iperbole A(a, 0) e A′ (−a, 0); l’origine O(0, 0) `e il centro dell’iperbole.

(2)

=⇒

x2 ≥1 a2

=⇒

x ≤ −a

e

x≥a

=⇒ tutti i punti dell’iperbole cadono all’esterno della striscia di piano individuata dalle due rette x = −a e x = a. Si dimostra che le rette y = ± ab x sono asintoti per l’iperbole, cio`e rette a cui la curva si avvicina sempre di pi` u senza mai toccarle. Esse possono essere riguardate come le diagonali del rettangolo individuato dalle rette x = ±a e y = ±b. (2)

=⇒

√ y = ± ab x2 − a2 .

Ora:

     bp   b  2 2 ±     a x − a  < ± a x ,

=⇒ i punti dell’iperbole sono tutti interni ai due angoli opposti al vertice formati dagli asintoti e contenenti l’asse trasverso x. 3

eccentricit`a dell’iperbole: e = c/a > 1. Le direttrici dell’iperbole sono le rette d : x = a2 /c e d′ : x = −a2 /c. L’iperbole pu`o essere descritta in un altro modo come luogo geometrico del piano: Proposizione: L’iperbole `e il luogo dei punti del piano le cui distanze da un punto fisso, cio`e il fuoco F (rispettivamente F ′ ) e da una retta fissa, cio`e la direttrice d (rispettivamente d′ ), hanno rapporto costante e maggiore di 1. Tale rapporto `e l’eccentricit` a dell’iperbole. Osservazione: Se a = b, l’equazione diventa x2 − y 2 = a2 , gli asintoti sono le rette y = ±x e l’iperbole `e detta equilatera. 4

Definizione: La parabola `e il luogo geometrico dei punti del piano che hanno uguale distanza da un punto assegnato, detto fuoco, e da una retta assegnata, detta direttrice. Per semplicit`a, supponiamo che l’asse x passi per il fuoco F e sia perpendicolare alla direttrice, e che l’origine O sia il punto medio del segmento compreso tra la direttrice e il fuoco. p Fatte queste ipotesi, sia F 2 , 0 , con p > 0; l’equazione della direttrice `e allora x = −p/2. Si dimostra che i punti della parabola sono tutti e soli quelli le cui coordinate soddisfano l’equazione





y 2 = 2px.

(3)

=⇒ equazione canonica della parabola. La parabola risulta simmetrica rispetto all’asse x, detto asse della parabola. Essa passa per il punto O , che `e il vertice della parabola. L’asse y `e tangente alla parabola nell’origine. (3)

=⇒

x≥0

=⇒

nessun punto della parabola `e a sinistra dell’asse y .

A differenza dell’iperbole, la parabola `e costituita da un solo ramo. Osservazione: la definizione di parabola data `e analoga alla seconda definizione data per l’ellisse e l’iperbole come luogo geometrico, in termini dei fuochi e delle direttrici. Nel caso della parabola, per`o, il costante rapporto tra le distanze da un punto fisso (il fuoco) e da una retta fissa (la direttrice) `e esattamente uguale a 1 =⇒ la parabola ha eccentricit` a 1.

5

6...