Geometria plana PDF

Preview

Summary

exercícios...

Description

MA092 – Geometria plana e analítica

Segundo semestre de 2016

Quinta lista de exercícios. Triângulos retângulos. Polí Polígonos gonos regula regulares. res. Áreas de superfícies planas. 1. Qual deve ser o ccomprime omprime ompriment nto de uma escada para que, quan uand do encos ncostada tada a uma par arede, ede, seu topo atinja 2,4 m de altur ltura a qua uand ndo sua base está a 0,7 m da parede? 2. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) Det Determ erm ermine ine x. 7. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) Determine x n no o losang losango o abaixo.

3. (Dolce/Pompeo) Determine x. 8. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo)

Det Determ erm ermine ine

paralelogramo abaixo.

4. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) Det Determ erm ermine ine x.

9. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) Det Determ erm ermine ine x

5. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) Sabendo que o trapézio abaixo é isósceles, determi etermine ne x.

10. (Dolce/Pompeo) Determine x

6. (Dolce/Pompeo) Determine x

x

n no o

11. (Dolce/Pompeo) Determine x

20. Det Determ erm ermine ine a alt ltur ur ura a h de um tr triâng iâng iângul ulo equilátero de lado x. 12. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) Det Determine ermine a diag agonal onal de um quad uadrad rado de perímetro 20 m. 13. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) O perí erímet met metro ro de um los osang ango é 52 m e uma diago iagonal nal mede 10 m. Determine a outra diagonal. 14. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) Det eterm erm ermine ine a altur tura a de um triângulo equilátero de pe perímetr rímetro 24 m. 15. (Dolce/Pompeo) O perímetro de um triângulo isósceles é 18 m e a altura relativa à base mede 3 m. Determine a base. 16. (Dolce/Pompeo) As bases de um trapézio

21. A base de um triângulo isósceles mede 10 cm e sua altura mede 12 cm. Quanto medem os outros lados do triângulo? 22. Em

um

triâ triângulo ngulo isó isóscele scele sceles, s,

a altura

(referente ao lado diferente dos demai emais) s) me mede de 1 cm e o per períme íme ímetro tro é igual a 4 cm. Deter Determine mine as medid medida as dos llado ado ados. s. Dica: faça um desenho que ilustre a situação. 23. Dado o triângulo abaixo, determi determine ne a altura relativa ao lado cuja medida é 4. Dica Dica:: aplique duas vezes o teo eorema rema de P Pitágoras. itágoras.

retângulo medem 3 m e 9 m e o seu perímetro é igual a 30 m. Calcule a altura. 17. (Dolce/Pompeo) Dois ciclistas partem da praça de uma mesma cidade em direção reta. Um segue na direção leste e o outro vai para o norte. Determine a distância que os separa depois de duas horas, sabendo que o primeiro viajou a uma velocidade de 30 km/h, enquanto o segundo pedalou a 45 km/h.

24. Dois navios parte partem m ao me mesm smo tem emp po, de um mesm mesmo o por porto to to,, em dire ireçõ çõ ções es perp erpendi endi endicculares ulares,, a velocidades constan onstantes tes. O primeiro barco

18. Adaptado de Dolce/Pompeo) Considere os

viaja a 18 km/h e o segundo a 24 km/h. Qual

dois círculos tangentes mostrados na figura.

a distâ istância ncia entre o oss barcos d depois epois d de e deco decorrido rridos trinta mi minutos nutos da par partida? tida?

Sabendo que o quadrado tem lado de 2 cm, determine o raio do círculo menor.

25. Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 8 cm. Sabendo que o perímetro do triângulo é igual a 24 cm, determine o raio da circunferência que o circunscreve. 26. Um carpinteiro foi contra ontratad tado para cons construir truir uma cerca formada por ripas de madeira. A

19. Dado o triângulo, d de ete term rm rmin in ine e aa,, m, n e h h..

figura abai baixo xo aapresen presen presenta ta uma vista parcial d da a cerca. Quantos me metros tros de ripa são

necessá necessários rios pa para ra co construi nstrui nstruirr uma ce cerca rca co com m 300 m de comprimento?

em linha reta em cada trecho, determine a distância percorrida de A até B, passando por C.

27. Determinar o diâmetro da circunferência mostrada na figura abaixo, sabendo que ���� ���� = 15. ฀฀฀฀ = 16, ���� ฀฀฀฀ = 30 e ฀฀฀฀ 30. Dado o triângulo abaixo, determine b, m, n e h.

28. A planta de um cô cômod modo que tem 2,7 m de

31. (OBMEP) O hexágono regular ABCDEF tem 1 cm2 de área. Os prolongamentos de seus

al altur tur tura a é most strada rada aba abaixo. ixo. Um eletri etricist cist cista a deseja in instala stala stalarr um fio par ara a con onect ect ectar ar uma

lados determinam seis novos pontos A’, B’, C’, D’, E’ e F’, conforme mostra a figura.

lâmpada, localizada no centro do teto do côm cômodo, odo, ao int nterr err erruptor uptor uptor,, sit situad uado a 1,0 m do chão, e a 1 1,0 ,0 m do ca canto nto do cô cômodo, modo, como está indicado na figura. Supondo que o fio subirá

verticalmente

pela

parede,

e

desprezand desprezando o a eespessura spessura d da a pare arede de e do tet eto, o, determine o com ompriment primento mínimo de fio ne neces ces cessár sár sáriio para conec onectar tar o interr terrupt upt uptor or à lâm lâmpa pa pada. da.

a) Determine a área do triângulo BCC’, destacado em cinza. b) Determine

a

área

do

hexágono

A’B’C’D’E’F’. 32. (OBMEP) Uma caixa retangular tem dimensões 60 cm × 24 cm × 24 cm. Uma aranha e uma mosca estão, respectivamente, nos pontos A e B da caixa. A aranha está a iguais e têm lado correspondente a 100 km.

uma distância de 2 cm da base, enquanto a mosca está a uma distância de 2 cm do topo,

Um avião sai da cidade A, faz escala em C, e

mas ambas estão à mesma distância das

chega na cidade B. Supondo que o avião voe

outras duas faces laterais. Andando sobre a

29. (Ivan) Na figura abaixo, os quadrados são

superfície da caixa, a aranha pode percorrer vários caminhos para chegar à mosca. Determine a distância que a aranha irá

33. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) Deter Determine mine aass med medida ida idass d dos os ângulos x, y e z indicados na fig igura, ura, sab abend endo que o hexágono é regular.

percorre seguindo cada um dos caminhos abaixo. a)

34. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) Deter Determine mine aass med medida ida idass d dos os ângul ângulos os xx,, y e z iindicad ndicad ndicados os na figu igura ra ra,, sabe abendo ndo que o pentágono é regular.

b) 35. A figura abaixo mostra u um m octógono regular. Determine ฀฀ e ฀฀..

c)

36. Det Determ erm ermine ine o polí lígon gono regul gular ar cuj cujo os ângu ângulo los inter interno no noss mede medem m 140°. 37. Calcule o ângulo interno do polígono regular que tem 90 diagonais. 38. Dad Dado o um cír círcul cul culo o de raio R, cal calcul cul cule e a ra razã zão entre o lado do quadrado iin nscrito e o lado do quadrad quadrado o circunscrito ao círcul círculo. o. (Dica: faça um desenho que ilustre a situação.) 39. Determine o perímetro de um hexágono regular circunscrito a uma circunferência de raio igual a 3√3 cm.

40. A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é 2√3 cm. Determine a medida do lado do hexágono. 41. Det Determ erm ermine ine o raio da circ ircunf unf unferên erên erência cia circunscrita ao triângulo equilátero de lado 15 cm. 42. Determine o lado do tr triângul iângulo equilátero cuja circu rcunf nf nferê erê erência ncia in inscrita scrita tem raio 6 ccm m. 43. A circunferência inscrita em um hexágono tem raio 9 cm. Determine o raio da circunferência circunscrita ao hexágono. 44. O raio d da a circu rcunferência nferência circ circunsc unsc unscrita rita a um hex hexágon ágon ágono o reg egular ular med ede e 5 cm. Det Determ erm ermine ine o

c) 90°. d) 120°. 49. Você quer construir uma roda que perco ercorra rra 1 m a cada volta. Q Qual ual deve ser o raio d da a roda roda?? 50. Um cic ciclista lista tem que p percorrer ercorrer uma distânci istância a de 10 km. Se a roda de sua bicicleta tem 66 cm de diâmetr iâmetro, o, e se cada pedalada faz a roda gi girar rar 5/6 de vol volta ta ta,, qu quant ant antas as peda edalladas o ciclista dará nesse per percurso curso curso?? 51. (Dolce/Pompeo) Determine o comprimento da circunferência abaixo.

comp comprriment imento o do lado do hexág exágono, ono, bem como o raio da circu circunferência nferência ins nscrita, crita, indi indicad cad cado o pela le letra tra r na fig igura ura a segui guir. r.

52. (Dolce/Pompeo) A curva abaixo é composta por três arcos de circunferência, com centros em ฀฀1 , ฀฀2 e ฀฀3 . Determine o comprimento da curva. 45. Usando régua e compasso, desenhe a circunferência inscrita e a circunferência circunscrita a um a) Quadrado de lado 5 cm. b) Hexágono de lado 3 cm. 46. (Dolce/Pompeo) Dado o raio R de uma circunferência, determine o lado e o apótema do octógono regular inscrito. 47. (Dolce/Pompeo) Determine as medidas das diagonais de um octógono regular de lado ℓ. 48. Dada u uma ma circunferê rcunferência ncia de raio igual a 10 cm, deter etermin min mine e o compr omprimen imen imento to d do o arco co corres rres rrespon pon ponden den dente te a um ângu ngulo lo cent central ral de a) 45°. b) 60°.

53. (Dolce/Pompeo) Uma circunferência tem 12,56 cm de comprimento. Calcule o raio usando ฀฀ ≈ 3,14. 54. (Dol (Dolce/P ce/P ce/Pompeo) ompeo)

Um

car carpint pint pinteir eir eiro o

vai

construi construirr uma mesa redon edonda da para aco acomoda moda modarr 6 pe pesso sso ssoas as senta entadas das ao seu redor edor.. Det Determ erm ermine ine o diâ iâmetro metro d da a mesa para que cada pes pessoa soa dispon disponha ha de um aarco rco de 50 cm. 55. Um fio de 48 cm de comprim comprimento ento é cortad ortado o em duas pa partes, rtes, para formar doi doiss quadrados, de modo que a área de um deles se seja ja quatro vezes a área do ou outro. tro.

a) Det Determ erm ermine ine o compr compriment iment imento o de cada uma das partes do fio. b) Calcule a área dos quad quadrados rados formados. 56. Três ro rolldanas de raio r = 2cm têm ce cen ntro nos vér vérttices de um tri triâng âng ângulo ulo equil equilát át áter ero cujo lado me mede de 6 cm. Det Determi ermi ermine ne o compr ompriment iment imento o da curva fechada que tan angencia gencia externa xternamente mente as três circun cunferências ferências ferências,, mostrada na figura abaixo.

62. Determine a áárrea d do o los losango ango cuja diag diagon on onal al maior é o dobro da menor e cujo perímetro é igu igual al a 2 m. 63. Determine o lado de um quadrado sabendo que, ao aumentarmos esse lado em 3 cm, a área do quadrado aumenta em 81 cm2. 64. Determine o per perímet ímet ímetro ro de u um m triângulo isósceles cuja base (que não é congruente a outro lado) mede 10 ccm m e cuja área é igual a 2 60 cm . 65. (Dolce/Pompeo) Determine a área do paralelogramo abaixo, usando o metro como unidade de medida.

57. Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular cujo lado mede 1,5 cm. Determine a) o comprimento de cada lado do triângulo.

66. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) De Deter ter termin min mine e a área do losango abaixo, usando o metro co como mo unidade de medida.

b) a razão entre as áreas do hexágono e do triângulo. 58. Duplicando o raio de uma circunferência, o que acontece com a) o comprimento da circunferência? b) a área do círculo a ela associado? 59. Supondo que a área média ocupada por uma

67. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) Determine a área do quadrado abaixo baixo,, usando o metro co como mo unidade de medida.

pessoa em um comício seja de 2.500 cm2, quantas pessoas poderão se reunir em uma praça retangular que mede 150 m de comprimento por 50 m de largura? 60. Determine as dimensões do ret retân ân ângulo gulo que 2 tem 15 cm de per perímetr ímetr ímetro o e 14 cm de área. 61. Em um retângulo com 128 cm2 de área, a base mede o dobro da altura. Determine as dimensões do retângulo.

68. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) Sabend Sabendo o q que ue a área d do o det et etermine ermine xx.. trapézio abaixo é 18 m2, d

74. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) De Deter ter termin min mine e a área do losango, usando o metro como unidade de medid medida. a.

69. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) Sabend Sabendo o q que ue a área d do o determine mine x. paralelogramo abaixo é 32 m2, deter 75. (Dolce/Pompeo) Determine a área do hexágono regular inscrito em um círculo de raio 4 m. 70. (Dolce/Pompeo) Determine a área do paralelogramo, usando o metro como unidade de medida.

71. (Dolce/Pompeo) Determine a área do triângulo, usando o metro como unidade de medida.

76. (Dolce/Pompeo) Determine a área do triângulo, usando o metro como unidade de medida.

77. (Dolce/Pompeo) Determine a área do círculo.

72. (D (Dolc olc olce/P e/P e/Pompeo) ompeo) De Deter ter termin min mine e a área do tr triân iân iângul gul gulo, o, usan sand do o metro com omo o uni unidade dade de medid medida. a.

78. (Do (Dolce lce lce/Pomp /Pomp /Pompeo) eo) Calcule a área da figura som sombrea brea breada da saben abendo do que o qua uadril dril drilát át áter ero in inter ter tern no é um quadrado.

73. Um losa osango ngo tem 100 cm de períme erímetro. tro. Sa Saben ben bend do que um uma a di diagon agon agonal al é o tri tripl plo da outra, calcule as medidas das diagona iagonaiis e a área do losango.

79. (Dolce/Pompeo) Determine a área da região sombreada sabendo que o triângulo é equilátero e tem 6 m de lado.

83. O papag apagaio aio (ta també mbém co conh nh nhecido ecido com como o pipa, pandorga ou arraia) é um brinquedo muito comu comum m no Brasil. A figura abaixo mo mostra stra as dimensões de um papagaio simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato d do o quadrilátero ABCD, duas 80. (Dolce/Pompeo) Determine a área de um círculo sabendo que o comprimento de sua circunferência é igual a 8฀฀ cm.

vareta varetass d de e ba bambu mbu (indica (indicada da dass eem m ci cinza nza nza)) e u um m pedaço de linha. Calcule a áárea rea do qu quadr adr adrilá ilá iláter tero de papel que form orma a o papa apaga ga gaio. io.

81. Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura.

84. Uma plan planttação de cana-de-açúc açúcar ar tem o a) Se cada metro quadrado desse terreno vale R$100,00, qual é o valor total do terreno? b) Divida o trapézio ABCD em quatro partes de mesma área, por meio de três segmentos paralelos ao lado BC. Faça

formato mostrado na figura abaixo. Para colher a cana, pode-s -se e re recorre corre correrr a trabalhadores especia especializados lizados ou a máquinas. Cada trabalhador é ccapaz apaz de colher 0,001 nquant anto uma col colhe he hedeir deir deira a km2 por dia, enqu mecâni mecânica ca col colhe, he, por dia, um uma a ár área ea correspondente a 0,09 km2.

uma figura para ilustrar sua resposta, indicando as dimensões das divisões no lado AB. 82. Em uma estrada de ferro, os dorm rmen en entes tes e os trilhos são asse ssen ntados sobre uma base com composta posta basica asicamen men mente te por brita. Essa base (ou lastro) tem uma seção trapezoida rapezoidall. A base me menor nor do tra trapézi pézio, que é isós sósceles celes, tem 2 m, a bas base e maior tem 2,8 m e as arestas la later ter terais ais têm 50 cm de compr omprimen imen imento, to, co confor nfor nforme me repr represen esen esenttado na fig igur ur ura a abaixo. Determine a área do trapé trapézio. zio.

a) Se a ca cana na precisa se serr colhi lhida da eem m4 40 0d dias, ias, quantos trabalhado trabalhadores res são neces ecessários sários par para a a col colhe he heit it ita, a, supon upond do que não haj haja a máq máquin uin uinas? as? b) Suponha, ago agora, ra, que a colheita da parte hachurada do des esenh enho ssó ó pos possa sa ser feit eita a

manualme manualmente, nte, e que o resto da cana seja colhido por quatro colhedeiras

ut util il iliza iza um retân etângul gul gulo o de pap apel el com are restas stas igua iguais is a c e 2 2c. c. As linhas rrep ep epresen resen resenta tam as

mecâni mecânicas. cas. Ne Neste ste ca caso, so, quanto uantoss trabalhadores são necessá ecessários rios para que a

dobras que dev deve em ser feitas. Quais devem ser as dimensõe mensões, s, em ce centímetr ntímetr ntímetros, os, do

colheita das duas partes tenha a me mesma sma duração Em se u s cá desco duração?? cálculos lculos lculos,, desconside nside nsidere re

retângulo de papel a ser usado para confeccio confeccionar nar um sapo cuja part arte e super uperior ior

os tr trabal abal abalha ha hador dor dores es máq máquin uin uinas. as.

tenh tenha a áre área a igual a 12cm2?

que

operam

as

85. A área plantada de uma fazenda é mostrada abaixo. Determine a área cultivada com soja e a área cultivada com milho.

86. Determine a área de um triângulo equilátero inscrito em um círculo de raio R. 87. A figura abaixo é a uma representação aproximada dos distritos de Campinas.

89. Dada uma circunferência de raio igual a 10 cm, determine área do setor circular correspondente a um ângulo central de Sabendo que os distritos norte, sul e

a) 45°.

noroeste da cidade têm, respectivamente, 175 km2, 120 km2 e 75 km2, calcule a área

b) 60°.

dos demais distritos e a área total do município de Campinas.

c) 90°. d) 120°.

88. A pr prime ime imeira ira fig igura ura abai baixxo mos mostr tr tra a um sapo de or origam igam igami,i, a arte japon apones es esa a das dobra obradur dur duras as de

90. Uma praça circular tem um cantei canteiro ro ce central ntral co com m raio igua uall a 15 m. O can cante te teir iro é

papel. A segund gunda a figu igurra most stra ra o dia diagrama grama usado para a confecção do sapo, na qual se

circunda circundado do por u uma ma calçad lçada a de 3 m de

largura. Determine a área ocupada pela calçada. 91. (Dolce/Pompeo) Os pontos A, B e C são centros dos três círculos tangentes exteriormente mostrados na figura abaixo. ���� , �฀฀฀฀ ��� e ฀฀฀฀ ���� Sendo as distâncias ฀฀฀฀ respectivamente iguais a 10 cm, 14 cm e 18

95. Determine a área da região ssombreada ombreada ombreada..

cm, determine as áreas desses três círculos.

92. Determine o lado de cada quadrado da figura abaixo e a área da região sombreada. Observe que o vé vértice rtice de um quad quadrad rado é o ponto médio do lado do quadrado externo.

96. Determine a área da região cinza mostrada na figura.

97. Calcule a área da região destacada na figura abaixo. 93. Calcule a área da região sombreada da figura abaixo. (Dica: calcule a área de 1/8 da região, subtraindo de um determinado setor circular a área interna ao triângulo tracejado.)

98. A figura abaixo mostra um quadrado, dentro do qual foram traçados arcos de circunferência com centro nos vértices A, B, C e D, e segmentos ligando os pontos médios dos lados. 94. Det Determ erm ermine ine o comp comprim rim riment ento da diag agonal onal mai maior or e área do losango mostrado na figura aabaixo. baixo.

a) Determine a área da região cinza. b) Determine o raio da circunferência mostrada no centro da figura.

103. Por no norma rma rma,, em ccômodo ômodos residenciai sidenciaiss com áre rea a sup superi er...