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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE NICARAGUA, MANAGUA RECINTO UNIVERSITARIO “RUBÉN DARÍO” FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE FÍSICA

GUÍA DE ESTUDIO Nº 2 I. DATOS GENERALES. Asignatura:

FÍSICA I

Carreras: Ing. Civil, Ing. Industrial, Ing. Electrónica, Ing. Geológica y Química Industrial. 1er semestre, 2015. Unidad II:

DINAMICA TRASLACIONAL Y ROTACIONAL.

Contenidos Conceptuales: Interacciones y fuerzas. Las Leyes fundamentales de la dinámica de Newton. Magnitudes que intervienen en la cantidad de movimiento de cuerpos en una y dos dimensiones. Teorema del impulso y la cantidad de movimiento. Magnitudes del movimiento rotacional de los cuerpos sólidos. Variables de la dinámica de rotación. Método:

Auto preparación y Trabajo Independiente.

II. OBJETIVOS CONCEPTUALES.  Analizar las interacciones entre los cuerpos como origen de la fuerza.  Reconocer las Leyes fundamentales de la dinámica de Newton.  Definir las magnitudes que interviene en la cantidad de movimiento de los cuerpos en una y dos dimensiones.  Enunciar el teorema de impulso y su relación con la cantidad de movimiento.  Reconocer las magnitudes que intervienen en el movimiento de rotación de los cuerpos sólidos.  Definir las variables de la dinámica de rotación III. CONTENIDOS PROCEDIMENTALES  Caracterización de las interacciones de la naturaleza por sus manifestaciones y fuerzas presentes en un sistema.  Aplicación de las Leyes de Newton en la solución de problemas reales.  Cálculo de la cantidad de movimiento en una y dos dimensiones.  Aplicación del Impulso y la cantidad de movimiento en la solución de problemas del entorno.  Resolución de problemas basados en Dinámica de Rotación e Inercia de Rotación de los cuerpos sólidos.  Aprendizaje de las técnicas para aplicar las leyes de Newton a los problemas. Se da una guía de operación que puede seguir en todos los casos. Debe resistirse a la tentación de tomar atajos con los problemas sencillos. De importancia fundamental es la técnica de dibujar un diagrama del cuerpo libre, marcando claramente, como se muestra en los ejemplos.  Aprendizaje de las propiedades de los dos tipos de fricciones: estática y cinética. Pondrá atención especial a los resultados de sus semejanzas y diferencias, junto con el aprendizaje de las dos sencillas ecuaciones que obedecen. Elaborada por: Prof. Humberto García Montano. Revisado por: MSc. Karla Ubieta, MSc. Ligia Areas, MSc. Jorge Flores, MSc. María Morales. Página 1

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IV. TEMÁTICA A RESOLVER: Conceptos y Ecuaciones. Las tres leyes de Newton del movimiento son leyes básicas para el estudio de la dinámica. La Primera ley de Newton (la ley de la inercia) establece que si la fuerza neta sobre un objeto es cero, entonces un objeto originalmente en reposo permanecerá en reposo, y un objeto originalmente en movimiento permanecerá en movimiento en línea recta con velocidad constante. La Segunda ley de Newton (causa-efecto) establece que la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa: ∑ 𝐹  = 𝑚𝑎 La segunda ley de Newton es una de las leyes más importantes y fundamentales en la física clásica. Unidades SI: Masa (kg), aceleración (m/s2), Newton (N) y esto es, 1 N = 1 kg·m·s-2 La Tercera ley de Newton (acción – reacción) establece que siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, el segundo objeto siempre ejerce una fuerza sobre el primer objeto, de la misma magnitud y dirección pero de sentido contrario: 𝐹𝐴𝐵 = −𝐹𝐵𝐴

donde 𝐹𝐴𝐵 es la fuerza que ejerce el objeto A sobre el objeto B. Esto es válido incluso si los objetos se están moviendo o acelerando, y/o si tienen masas diferentes. La tendencia de un objeto a resistir un cambio en su movimiento se llama inercia. La masa es una medida de la inercia de un objeto. El Peso, se refiere a la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre un objeto, y es igual al

producto de la masa m del objeto y la aceleración de la gravedad 𝑔: 𝑤 󰇍󰇍 = 𝑚𝑔

Unidades SI: Newton (N)

La fuerza, es un vector, puede considerarse como un empuje o como un jalón; o de acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza se define como una acción capaz de dar ó producir una aceleración. La fuerza neta sobre un objeto es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. Para resolver problemas que implican fuerzas sobre uno o más objetos, es esencial dibujar un diagrama de cuerpo libre, para cada objeto, que muestre todas las fuerzas que actúan sólo sobre ese objeto. La segunda ley de Newton puede aplicarse a las componentes vectoriales para cada objeto. Fuerza de Fricción Cuando dos objetos se deslizan uno sobre el otro (ó sobre una superficie), la fuerza de fricción que cada uno ejerce sobre el otro puede escribirse aproximadamente como 𝑓 = 󰇍󰇍 , donde 𝒩 󰇍  , es la fuerza normal (la fuerza 𝜇𝑘 𝒩 que cada objeto ejerce sobre el otro perpendicularmente a sus superficies de contacto), y 𝜇𝑘 es el coeficiente de fricción cinética (adimensional). Si los objetos están en reposo entre sí, aun cuando actúen fuerzas, entonces f es lo suficientemente grande para mantenerlos en reposo y se satisface la 󰇍 , donde 𝜇𝑠 es el desigualdad 𝑓 ≤ 𝜇𝑠 𝒩 coeficiente de fricción estática (adimensional).

Elaborada por: Prof. Humberto García Montano. Revisado por: MSc. Karla Ubieta, MSc. Ligia Areas, MSc. Jorge Flores, MSc. María Morales. Página 2

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE NICARAGUA, MANAGUA RECINTO UNIVERSITARIO “RUBÉN DARÍO” FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE FÍSICA Ley de Gravitación Universal: Una partícula en el 𝑝 = 𝑚 󰇍𝑣󰇍󰇍

universo atrae todas las demás con una fuerza directamente proporcional al producto de su masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. La dirección de la fuerza sigue la línea que une las partículas. Magnitud: 𝐹 = 𝐺

𝑚1 𝑚2 𝑟2

(𝑁)

Constante Universal, G = 6,67 x 10-11 (N m2/kg2) Centro de Masa: El vector de posición del centro

de masa de un sistema de partículas, 󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍, 𝑟𝑐𝑚 𝑟𝑐𝑚 =

∑ 𝑚𝑖󰇍󰇍󰇍 𝑟𝑖 𝑚1 𝑟1 + 𝑚2 𝑟2 + ⋯ = 𝑚1 + 𝑚1 + … ∑ 𝑚𝑖

Las Coordenadas en el espacio, están dadas por, cada una en metros (m): 𝑋𝑐𝑚 = 𝑌𝑐𝑚 = 𝑍𝑐𝑚

∑ 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑚1 𝑥1 + 𝑚2 𝑥2 + ⋯ = 𝑚1 + 𝑚1 + … ∑ 𝑚𝑖

∑ 𝑚𝑖 𝑦𝑖 𝑚1 𝑦1 + 𝑚2 𝑦2 + ⋯ = ∑ 𝑚𝑖 𝑚1 + 𝑚1 + …

∑ 𝑚𝑖 𝑧𝑖 𝑚1 𝑧1 + 𝑚2 𝑧2 + ⋯ = = 𝑚1 + 𝑚1 + … ∑ 𝑚𝑖

Velocidad del centro de masa 󰇍𝑉𝑐𝑚

∑ 𝑚𝑖 𝑣 󰇍 󰇍𝑖 𝑚 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 + ⋯ = = ( ) 𝑚1 + 𝑚1 + … ∑ 𝑚𝑖 𝑠

Aceleración del Centro de Masa 𝑎𝑐𝑚 =

∑ 𝑚𝑖󰇍𝑎󰇍𝑖 𝑚 𝑚1 𝑎1 + 𝑚2 𝑎2 + ⋯ = ( ) 𝑚1 + 𝑚1 + … ∑ 𝑚𝑖 𝑠 2

Segunda Ley de Newton en función de 𝑎𝑐𝑚 ∑ 𝐹 𝑒𝑥𝑡 = 𝑀𝑎𝑐𝑚 (𝑁)

Donde ∑ 𝑚𝑖 = 𝑀 = 𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑘𝑔) Momento Lineal de una partícula

El momento lineal (Cantidad de movimiento o Ímpetu lineal) 𝑝 de una partícula es una cantidad vectorial igual al producto de la masa m de la partícula y su velocidad 𝑣.

𝑚 ) 𝑠 El momento lineal total 𝑝 de un sistema es igual a su masa total M multiplicada por la 󰇍𝑐𝑚 de su centro de masa. El centro velocidad 𝑉 de masa de un sistema se mueve como si toda la masa M estuviera concentrada en ese punto. 𝑚 󰇍𝑐𝑚 (𝑘𝑔 ) 𝑝 = 𝑚1󰇍󰇍󰇍 𝑣󰇍1 + 𝑚2 𝑣 󰇍󰇍󰇍2 + ⋯ = 𝑀𝑉 𝑠 Si la fuerza externa neta que actúa sobre el sistema es cero, la velocidad del centro masa 󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍 𝑉 𝑐𝑚 es constante. Si la fuerza externa neta no es cero, el centro de masa se acelera como si fuera una partícula de masa M sobre la que actúa la misma fuerza externa neta. (𝑘𝑔

1 1

La segunda ley de Newton dice que la fuerza neta que actúa sobre una partícula es igual a la tasa de cambio del momento lineal de la partícula. ∑𝐹  =

󰇍󰇍󰇍󰇍 𝑑𝑝 (𝑁) 𝑑𝑡

Impulso y Momento Lineal

Si una fuerza neta constante 𝐹 actúa sobre una partícula durante un intervalo de tiempo ∆t de t1 a t2, el impulso 𝐽, de la fuerza neta, es el producto de la fuerza neta en el intervalo de tiempo ∆t. Si 𝐹 varía con el tiempo, 𝐽 es la integral (área bajo la curva) de la fuerza neta en el intervalo de tiempo. En cualquier caso, el cambio en el momento lineal de una partícula durante un intervalo de tiempo es igual al impulso de la fuerza neta que actúa sobre tal partícula. (unidades S.I: N·s). 𝐽 = ∑ 𝐹  (𝑡2 − 𝑡1 ) = ∑ 𝐹  Δ𝑡 𝑡2

𝐽 = ∫ ∑ 𝐹  𝑑𝑡 𝑡1

𝐽 = 󰇍󰇍𝑝󰇍󰇍2 − 𝑝󰇍󰇍󰇍1

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Momento Angular. El momento angular, 󰇍 𝐿, de

una partícula con respecto a un punto O es el producto vectorial del vector de posición 󰇍󰇍𝑟 de la partícula con respecto a O y a su momento lineal 𝑝 = 𝑚𝑣 . Si un cuerpo simétrico gira alrededor de un eje de simetría estacionario, su momento angular es el producto de su momento de inercia y su vector de velocidad angular ω. Si el cuerpo no es simétrico, o el eje de rotación (z) no es un eje de simetría, la componente del momento angular sobre el eje de rotación es Iωz. En general, 󰇍 = 𝑟 𝑥󰇍󰇍󰇍𝑝 𝐿  = 󰇍𝑟 𝑥 𝑚𝑣 = 𝐼𝜔 󰇍 (

La torca 𝜏 debida a una fuerza 𝐹 ejercida sobre un objeto rígido es igual a  (𝑁𝑚) 𝜏 = 𝑟 𝑥󰇍󰇍󰇍𝐹

y en su forma escalar,

𝜏 = 𝑟⊥ 𝐹 = 𝑟𝐹⊥ = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 (Nm)

Donde 𝑟⊥ , llamado el brazo de palanca, es la distancia perpendicular del eje de rotación a la línea a lo largo de la cual actúa la fuerza, y θ es el ángulo entre 𝐹 y la dirección radial r.

𝑘𝑔 𝑚2 ) 𝑠

Utilizando las ecuaciones del movimiento circular uniforme. 𝑎𝑅 =

𝑣2 𝑟

𝑣2 𝑟 [*Cuando la velocidad del movimiento circular no es constante, la aceleración tiene dos componentes: tangencial y radial, por lo tanto, la fuerza también tiene componentes tangencial y radial]. 𝐹=𝑚

[*Una fuerza de arrastre actúa sobre un objeto que se mueve a través de un fluido como aire o agua. La fuerza de arrastre FD a menudo puede aproximarse con 𝐹𝐷 = −𝑏𝑣 o 𝐹𝐷 ∝ 𝑣, donde v es la velocidad del objeto con respecto al fluido]. Cuando un objeto rígido gira con respecto a un eje fijo, cada punto del objeto se mueve en una trayectoria circular. Las líneas dibujadas perpendicularmente, desde el eje de rotación hasta diferentes puntos en el objeto, barren todas el mismo ángulo u en cualquier intervalo de tiempo dado.

La equivalente rotacional de la segunda ley de Newton es ∑ 𝜏 = 𝐼𝛼

Donde 𝐼 = ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 (kg m2) es el momento de inercia del objeto con respecto al eje de rotación. Esta relación es válida para un objeto rígido que gira alrededor de un eje fijo en un marco de referencia inercial, o cuando τ, I y α se calculan con respecto al centro de masa de un objeto, aún si el centro de masa se está moviendo. Teorema de ejes paralelo (Teorema de Steiner). El teorema de los ejes paralelos relaciona la inercia rotacional I de un cuerpo alrededor de cualquier eje a la del mismo cuerpo alrededor de un eje paralelo a través del centro de masa: 𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑚𝑟 2

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Aquí r es la distancia perpendicular entre los del eje de rotación real que se ha desplazado dos ejes, e ICM es la inercia de rotación del desde el eje de rotación a través del centro de cuerpo alrededor del eje a través del centro de masa. masa. Podemos describir r como la distancia Momentos de Inercia de diversos cuerpos rígidos de composición uniforme

V. AUTOEVALUACIÓN. 1) Definir los conceptos de fuerza, las leyes de Newton sin fricción, peso, las aplicaciones a las Leyes de Newton (con fricción y el movimiento circular uniforme). 2) Identificar el cuerpo cuyo movimiento se debe considerar. 3) Tener en cuenta las condiciones del problema, determinar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo como la magnitud, dirección y sentido. 4) Dibujar el diagramas de cuerpo libre del cuerpo con todas las fuerzas que actúan sobre el. 5) Resolver, comprobar y analizar las preguntas y ejercicios propuestos. La guía es un resumen de diferentes textos de física. Para comprender correctamente la guía de estudio, es necesario revisar y estudiar en cualquiera de los textos en la bibliografía. VI. BIBLIOGRAFÍA.  FÍSICA. Resnick-Holliday-Krane. Volumen I, 2002. 4ta y 5ta Ed.  FÍSICA UNIVERSITARIA. Sear-Zemansky-Young-Freedman. Volumen I, 2004. Ed 11ma  Física para Ciencias y la Ingenierías. Tipler Mosca. Volumen 1, 2007. Ed 5ta  FÍSICA PARA CIENCIA E INGENIERÍA. Serway R.A. Volumen I, 2004. Ed 6ta  FÍSICA GENERAL. Giancoli D. Ed 6ta. Elaborada por: Prof. Humberto García Montano. Revisado por: MSc. Karla Ubieta, MSc. Ligia Areas, MSc. Jorge Flores, MSc. María Morales. Página 5...