Tarea 2 Gradiente Divergencia Y Rotacional PDF

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calculo vectorial Esime Zacatenco tarea...

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Capítulo 4

Gradiente, divergencia y rotacional 4.1

INTRODUCCIÓN

A continuación se deine el operador vectorial diferencial del, cuyo símbolo es =:

r¼

@ @ @ @ @ @ iþ jþ k ¼i þj þk @x @y @z @x @y @z

Este operador vectorial posee propiedades análogas a las de los vectores comunes. Es útil para deinir tres cantidades que aparecen en ciertas aplicaciones y que se conocen como gradiente, divergencia y rotacional. El operador = también se conoce como nabla.

4.2

GRADIENTE

Sea f(x, y , z) una función escalar deinida y diferenciable en cada punto (x, y , z) en cierta región del espacio [es decir, de, que se denota con =f o grad f, se deine f deine un campo escalar diferenciable]. Entonces, el gradiente f como sigue:   @ @f @f @f @ @ k rf ¼ iþ jþ iþ jþ k f ¼ @z @z @x @y @x @y Observe que =f deine un campo vectorial. EJEMPLO 4.1

Suponga que f (x, y, z) 5 3xy3 2 y2z2. Encuentre =f (o grad f ) en el punto P(1, 1, 2).   @ @ @ f r ¼ i þ j þ k (3xy3  y2 z2 ) @z @y @x ¼ 3y3 i þ (9xy2  2yz2 )j  2y2 zk

Entonces, =f(1, 1, 2) 5 3(1)3i 1 [9(1)(1)2 2 2(1)(2)2]j 2 2(1)2(2)k 5 3i 1 j 2 4k.

Derivadas direccionales f 5 f (x, y , z). Entonces, la derivada direccional de f en dirección de un vector A se Considere una función escalar denota con DA(f ). Si a 5 A/)A), el vector unitario en dirección de A,

DA(f) 5 =f ? a Se hace énfasis en que a debe ser un vector unitario.

70

CAPÍTULO 4 GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

f (x, y, z) 5 x2 1 y2 1 xz. Considere la función escalar f f a) Encuentre grad . b) Encuentre grad en el punto P 5 P(2, 21, 3). c) Determine la derivada direccionalfdeen el punto P en dirección de A 5 i 1 2j 1 k.

EJEMPLO 4.2



 @ @ @ 2 2 k j þ i þ a) grad f 5 @x @z (x 1 y 1 xz) 5 (2x 1 z)i 1 2yj 1 xk. @y

b) En P(2, 21, 3), gradf 5 7i 2 2j 1 3k. p ffiffiffi 6 en dirección de A. Después obtenemos la deric) Primero encontramos el vector unitario a ¼ A=jAj ¼ (i þ 2j þ k)= vada direccional def en el punto P(2, 21, 3) en dirección de A, como sigue:



rf a ¼ (7i  2j þ 3k)



h

pffiffiffi p ffiffiffi p ffiffiffii (i þ 2j þ k)= 6 ¼ 6= 6 ¼ 6=6:

Multiplicador de Lagrange Aquí deseamos encontrar los puntos (x, y ) que son los extremos (valores máximo o mínimo) de una función f (x, y ) sujeta a la restricción g(x, y ) 5 d, donde d es una constante [más en general, se trata de encontrar los puntos (x1, x2, …, xn) que dan los extremos (valores máximo o mínimo) de una función f (x1, x2, …, xn) sujeta a la restricción g(x1, x2, …, xn) 5 d, donde d es una constante]. Esto ocurrirá sólo cuando los gradientes =f y =g (derivadas direccionales) sean ortogonales a la curva [supericie] dada g(x, y ) 5 d. Entonces, =f y =g son paralelos y, por tanto, debe haber una constante l tal que =f 5 l =g. La letra griegal (lambda) se usa para denotar al multiplicador de Lagrange. La condición =f 5 l=g y la restricción original generan (n 1 1) ecuaciones, en este caso tres, con las incógnitas xl, :y y fx(x, y ) 5 lgx(x, y ), fy(x, y ) 5 l gy(x, y )

y g ( x, y ) 5 d

Las soluciones del sistema para x y y producen los candidatos para los extremos f (x, y ) sujetos a la restricción g ( x , y ) 5 d. EJEMPLO 4.3

Minimice la función f (x, y) 5 x2 1 2y2 sujeta a la restricción g(x, y) 5 2x 1 y 5 9.

Con el uso de la condición =f 5l=g y la restricción dada, obtenemos las tres ecuaciones siguientes: 2x 5 2l,

4y 5 l

y

2x 1 y 5 9

Al eliminarl de las dos primeras ecuaciones obtenemos x 5 4y, que con 2x 1 y 5 9 produce 9y 5 9. De este modo obtenemos la solución y 5 1 y x 5 4. Entonces, f (4, 1) 5 16 1 2 5 18 es el valor mínimo de f sujeto a la restricción 2x 1 y 5 9.

4.3

DIVERGENCIA

Suponga que V(x, y , z) 5 V1i 1 V2j 1 V3k está deinida y es diferenciable en cada punto (x, y , z) en una región del espacio (es decir, V deine un campo vectorial diferenciable). Entonces, la divergencia de V, que se denota con = ? V o div V, se deine como sigue:   @ @ @ r V¼ i þ j þ k (V 1 i þ V 2 j þ V 3 k) @z @x @y



¼

@V1 @V2 @V3 þ þ @x @y @z

Aun cuando V es un vector, = ? V es un escalar.



4.5 FÓRMULAS QUE INVOLUCRAN A = EJEMPLO 4.4

71

Suponga que A 5 x2z2i 2 2y2z2j 1 xy2zk. Encuentre = ? A (o div A) en el punto P(1, 21, 1).   @ @ @ (x2 z2 i  2y2 z2 j þ xy2 zk) k r A¼ iþ jþ @z @y @x @ @ @ ¼ (x2 z2 ) þ (2y2 z2 ) þ (xy2 z) ¼ 2xz2  4yz2 þ xy2 @y @x @z





En el punto P(1, 21, 1), = ? A 5 2(1)(1)2 2 4(21)(1)2 1 (1)(21)2 5 7

4.4

ROTACIONAL

Suponga que V(x, y , z) 5 V1i 1 V2 j 1 V3k es un campo vectorial diferenciable. Entonces, el rotacional o rotación de V, que se denota = × V, rotacional V o rot V, se deine como sigue:   @ @ @ rV¼ i þ j þ k  (V 1 i þ V 2 j þ V 3 k) @z @x @y    j k   i @  @ @  ¼    @x @y @z   V1 V2 V3          @  @   @ @   @ @ ¼  @y @z  i   @x @z  j þ  @x @y  k  V1 V2   V2 V3   V1 V3        @V3 @V2 @V1 @V3 @V2 @V1 ¼ iþ jþ k    @z @x @y @y @z @x

@ @ @ , deben preceder a V1, V2 y V3. Observe que en la expansión del determinante, los operadores , @x @y @z EJEMPLO 4.5

Suponga que A 5 x2z2i 2 2y2z2j 1 xy2zk. Encuentre = × A (o rot A) en el punto P (1, 21, 1).   @ @ @ k  (x2 z2 i  2y2 z2 j þ xy2 zk) rA¼ iþ jþ @z @y @x    i j k    @ @   @  ¼   @x @y @z    x2 z2 2y2 z2 xy2 z       @ @ @ @ @ @ ¼ (xy2 z)  (2y2 z2 ) i  (xy2 z)  (x2 z2 ) j þ (2y2 z2 )  (x2 z2 ) k @z @z @y @y @x @x ¼ (2xyz þ 4y2 z)i  (y2 z  2x2 z)j þ 0k

En el punto P(1, 21, 1), = × A 5 2i 1 j.

4.5

FÓRMULAS QUE INVOLUCRAN A =

Las proposiciones siguientes dan muchas de las propiedades del operador =. proposición 4.1:

Suponga que A y B son funciones vectoriales diferenciables, y que f y c son funciones escalares diferenciables de posición (x, y , z). Entonces, se cumplen las leyes siguientes: i ) =(f 1 c) 5 =f 1 =c ii ) = ? (A 1 B) 5 = ? A 1 = ? B

o bien o bien

grad(f 1 c) 5 grad f 1 grad c div(A 1 B) 5 divA 1 divB

72

CAPÍTULO 4 GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL iii) iv) v) vi) vii) viii)

proposición 4.2:

= × (A 1 B) 5 = × A 1 = × B o bien rot(A 1 B) 5 rot A 1 rot B = ? ( fA) 5 (=f) ? A 1f(= ? A) = × (fA) 5 (=f) × A 1 f(= × A) = ? (A × B) 5 B ? (= × A) 2 A ? (= × B) = × (A × B) 5 (B ? =)A 2 B(= ? A) 2 (A ? =)B 1 A(= ? B) =(A ? B) 5 (B ? =)A 1 (A ? =)B 1 B × (= × A) 1 A × (= × B)

Suponga que f y A son respectivamente funciones escalar y vectorial, diferenciables, y que ambas tienen segundas derivadas parciales continuas. Entonces, se cumplen las siguientes leyes: i) = ? (= f) 5 =2f 5 donde =2 5

@2f @2f @2f þ þ @x2 @y2 @z2

@2 @2 @2 þ 2 þ 2 se llama operador laplaciano. 2 @z @x @y

ii ) = × (= f) 5 0. El rotacional del gradiente def es igual a cero. iii) = ? (= × A) 5 0. La divergencia del rotacional de A es igual a cero. iv) = × (= × A) 5 =(= ? A)2=2A.

4.6

INVARIANCIA

Considere dos sistemas de coordenadas rectangulares o marcos de referencia xyz y x9y 9z9, que tengan el mismo origen O pero con ejes rotados con respecto al otro (vea la igura 4-1). z

k

i

O

j

y

x

Figura 4-1

Un punto P en el espacio tiene coordenadas (x, y , z) o (x9, y9, z9) relativas a estos sistemas coordenados. Las ecuaciones de transformación entre coordenadas de los dos sistemas, o transformación de coordenadas, son las siguientes: x9 5 l11x 1 l12y 1 l13z y9 5 l21x 1 l22y 1 l23z z9 5 l31x 1 l32y 1 l33z

(1)

Aquí, ljk, j, k 5 1, 2, 3 representan los cosenos directores de los ejes x9, y9 y z9 con respecto de los ejes x, y y z (vea el problema 4.38). En el caso en que los orígenes de los dos sistemas coordenados no coincidan, las ecuaciones de

PROBLEMAS RESUELTOS

73

transformación se convierten en las siguientes: x9 5 l11x 1 l12y 1 l13z 1 a91 y9 5 l21x 1 l22y 1 l23z 1 a92 z9 5 l31x 1 l32y 1 l33z 1 a93

(2)

donde el origen O del sistema de coordenadas xyz se localiza en 1(,a9a9 2, a93) en relación con el sistema coordenado x9y 9z9. Las ecuaciones de transformación (1) deinen una rotación pura, mientras que las ecuaciones (2) deinen una rotación con traslación. Cualquier movimiento de cuerpo rígido tiene el efecto de una traslación seguida de una rotación. La transformación (1) también se denomina transformación ortogonal. Una transformación lineal general se llama transformación afín. Físicamente, una función escalar puntual o campo escalar f(x, y, z) evaluada en un punto particular, debe ser independiente de las coordenadas del punto. Así, la temperatura en cierto punto no depende de si se utilizan coordenadas (x, y, z) o (x9, y 9, z9). Entonces, sif(x, y, z) es la temperatura en el punto P con coordenadas (x, y, z) yf9(x9, y9, z9) es la temperatura en el mismo punto P con coordenadas (x9, y9, z9), debe ocurrir que f(x, y, z) 5 f9(x9, y9, z9). Si f(x, y, z) 5 f9(x9, y9, z9), donde x, y, z y x9, y9, z9 están relacionadas por las ecuaciones de transformación (1) o (2), se llama a f (x, y , z) un invariante con respecto de la transformación. Por ejemplo, x2 1 y 2 1 z2 es invariante con la transformación de rotación (1), ya que x2 1 y 2 1 z2 5 x92 1 y92 1 z92. En forma similar, una función vectorial puntual o campo vectorial A(x, y , z) se llama invariante si A(x, y, z) 5 A9(x9, y 9, z9). Esto se cumple si A1(x, y , z)i 1 A2(x, y , z)j 1 A3(x, y , z)k 5 A9 1(x9, y 9, z9)i9 1 A9 2(x9, y 9, z9)j9 1 A93(x9, y 9, z9)k9 En los capítulos 7 y 8 se consideran transformaciones más generales y se amplían los conceptos anteriores. Es posible demostrar (vea el problema 4.41) que el gradiente de un campo escalar invariante es un campo vectorial invariante con respecto de las transformaciones (1) o (2). De manera similar, la divergencia y el rotacional de un campo vectorial invariante son invariantes con dichas transformaciones.

PROBLEMAS RESUELTOS 4.1.

Suponga que f (x, y , z) 5 3x2y 2 y 2z2. Encuentre =f (o grad f) en el punto (1, 22, 21).

Solución rf ¼



 @ @ @ i þ j þ k (3x2 y  y3 z2 ) @y @x @z

   @  2 @ 2 @ 3x y  y3 z2 þ j 3x y  y3 z2 þ k 3x2 y  y3 z2 @x @y @z   ¼ 6xyi þ 3x2  3y2 z2 j  2y3 zk   ¼ 6(1)(2)i þ 3(1)2  3(2)2 (1)2 j  2(2)3 (1)k

¼i

¼ 12i  9j  16k

74 4.2.

CAPÍTULO 4 GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL Suponga que F y G son funciones escalares diferenciables de x, y y z. Demuestre que a) =(F 1 G) 5 =F 1 =G y b) =(FG) 5 F=G 1 G=F.

Solución a)

r(F þ G) ¼



 @ @ @ i þ j þ k (F þ G) @y @x @z

¼i

@ @ @ (F þ G) þ j (F þ G) þ k (F þ G) @z @y @x

¼i

@F @G @F @G @F @G þj þk þk þj þi @z @z @y @y @x @x

@F @G @G @G @F @F þk þj þk þi þj @y @x @z @y @x @z     @ @ @ @ @ @ G ¼ rF þ rG Fþ i þj þk ¼ i þj þk @y @x @y @x @z @z ¼i

b)

4.3.

 @ @ @ @ @ @ i þ j þ k (FG) ¼ (FG)i þ (FG)j þ (FG)k @y @x @y @x @z @z       @G @G @G @F @F @F i þ F j þ F ¼ F k þG þG þG @x @y @z @x @y @z     @F @G @F @F @G @G ¼F k ¼ FrG þ GrF k þG iþ jþ jþ iþ @z @z @y @x @y @x

r(FG) ¼



1 Encuentre =f si a)f 5 ln )r), b) f 5 . r

Solución p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a) r 5 xi 1 yj 1 zk. Entonces )r) 5 x2 þ y2 þ z2 y f 5 ln )r) 5 21 ln (x2 1 y2 1 z2).

1 r ln (x2 þ y2 þ z2 ) 2   @ @ @ 1 i ln(x2 þ y2 þ z2 ) þ j ln(x2 þ y2 þ z2 ) þ k ln(x2 þ y2 þ z2 ) ¼ @z @y 2 @x   xi þ yj þ zk 1 2z 2y 2x r ¼ 2 ¼ þ k þ j i 2 ¼ x2 þ y2 þ z 2 2 x þ y2 þ z 2 x þ y2 þ z 2 r 2 x2 þ y 2 þ z 2

rf ¼

b)

!     1 1 rf ¼ r ¼ r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ r (x2 þ y2 þ z2 )1=2 2 2 2 r x þy þz

@ @ @ 2 (x þ y2 þ z2 )1=2 þ j (x2 þ y2 þ z2 )1=2 þ k (x2 þ y2 þ z2 )1=2 @y @x @z       1 2 1 1 ¼ i  (x þ y2 þ z2 )3=2 2x þ j  (x2 þ y2 þ z2 )3=2 2y þ k  (x2 þ y2 þ z2 )3=2 2z 2 2 2 ¼i

¼

xi  yj  zk r ¼ 3 r (x2 þ y2 þ z2 )3=2

PROBLEMAS RESUELTOS 4.4.

75

Demuestre que =rn 5 nrn22r.

Solución p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n rrn ¼ r x2 þ y2 þ z2 ¼ r(x2 þ y2 þ z2 )n=2 @ 2 @ @ f(x þ y2 þ z2 )n=2 g þ j f(x2 þ y2 þ z2 )n=2 g þ k f(x2 þ y2 þ z2 )n=2 g @z @y @x n o n o n o n n n ¼ i (x2 þ y2 þ z2 )n=21 2x þ j (x2 þ y2 þ z2 )n=21 2y þ k (x2 þ y2 þ z2 )n=21 2z 2 2 2 ¼i

¼ n(x2 þ y2 þ z2 )n=21 (xi þ yj þ zk) ¼ n(r2 )n=21 r ¼ nrn2 r

Observe que si r 5 r r1, donde r1 es un vector unitario en la dirección de r, entonces =r n 5 nrn21 r1.

4.5.

Demuestre que = f es un vector perpendicular a la supericie f (x, y, z) 5 c, donde c es una constante.

Solución Sea r 5 xi 1 yj 1 zk el vector de posición para cualquier punto P(x, y, z) sobre la supericie. Entonces, dr 5 dxi 1 dyj 1 dzk está en el plano tangente a la supericie en  P.  @f @f @f @f @f @f dx þ dy þ dz ¼ 0 o bien iþ j þ k ? (dxi 1 dy j 1 dzk) 5 0, es decir: Pero df ¼ @z @x @y @z @x @y = f ? dr 5 0, por lo que =fes perpendicular a dr y por tanto también a la supericie.

4.6.

Encuentre una normal unitaria a la supericie 2x2yz2 1 2xy 2z 5 1 en el punto P(1, 1, 1).

Solución Sea f 5 2x2yz2 1 2xy2z. Según el problema 4.5, =f(1, 1, 1) es normal a la supericie 2x2yz2 1 2xy2z 5 1 en el rf (1, 1, 1) punto P(1, 1, 1); entonces, bastará. jrf (1, 1, 1)j =f 5 (22xyz2)i 1 (2x2z2 1 4xyz)j 1 (22x2yz 1 2xy2)k. 3j Entonces, =f(1, 1, 1) 5 3j. )=f (1, 1, 1)) 5 )3j) 5 3)j) 5 3. Así, en el punto P(1, 1, 1) 3 5 j es una normal

unitaria a 2x2yz2 1 2xy2z 5 1.

4.7.

Encuentre una ecuación para el plano tangente a la supericie x2yz 2 4xyz2 5 26 en el punto P(1, 2, 1).

Solución =(x2yz 2 4xyz2) 5 (2xyz 2 4yz2)i 1 (x2z 2 4xz2)j 1 (x2y 2 8xyz)k. Al evaluar el gradiente en el punto P(1, 2, 1) obtenemos 24i 2 3j 2 14k. Entonces, 4i 1 3j 1 14k es normal a la supericie en P. Una ecuación del plano con normal N 5 ai 1 bj 1 ck tiene la forma ax 1 by 1 cz 5 k Por lo que la ecuación tiene la forma 4x 1 3y 1 14z 5 k. Al sustituir P en la ecuación obtenemos k 5 24. Entonces, la ecuación requerida es 4x 1 3y 1 14z 5 24.

4.8.

Sean f(x, y , z) y f (x 1 Dx, y 1 Dy , z 1 Dz) las temperaturas en dos puntos vecinos P(x, y , z) y Q(x 1 Dx, y 1 Dy , z 1 Dz) de cierta región.

D f(x þ Dx, y þ Dy, z þ Dz)  f(x, y, z) f , donde ∆s es la distancia ¼ Ds Ds

a) Interprete físicamente la cantidad entre los puntos P y Q.

76

CAPÍTULO 4 GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

Df df y haga la interpretación física. 5 Ds→0 Ds ds df dr c) Demuestre que . 5=f ds ds

b) Evalúe lím

Solución a) Como Df es el cambio de la temperatura entre los puntos P y Q, y Ds es la distancia entre dichos puntos, fyD Ds representa la tasa promedio de cambio de la temperatura por unidad de distancia en la dirección de P a Q. b) Del cálculo obtenemos: Df ¼

@f @f @f Dz 1 ininitésimos de orden mayor que Dx, Dy y Dz. Dx þ Dy þ @z @x @y

Entonces, lím

Ds→0

− f Dx − f Dy −f Dz Df 5 lím 1 1 Ds→0 −x Ds Ds −y Ds −z Ds

o bien d f @f dx @f dy @f dz þ þ ¼ ds @x ds @y ds @z ds df representa la tasa de cambio de la temperatura respecto de la distancia al punto P en la dirección ds hacia Q. Ésta también se denomina la derivada direccional de f.     @f @f @f df @ fdx @ f dy @f dz dx dr dz dy k : c) þ þ ¼ ¼ iþ jþ i þ j þ k ¼ rf @z ds ds @x ds @y ds @z ds ds @x @y ds ds

Donde





dr dr f Observe que como es un vector unitario, r es la componente de =f en la dirección de este vector ds ds unitario.



4.9.

Demuestre que la mayor tasa de cambio def , es decir: la máxima derivada direccional, tiene lugar en la dirección del vector f = y también tiene su magnitud.

Solución df ¼ rf ds

 drds

dr f en la dirección de . Esta proyección será un es la proyección de = ds dr fd máximo cuando = f y ds tengan la misma dirección. Entonces, el valor máximo de tiene lugar en la dirección ds de =f y su magnitud es )= f).

Según el problema 4.8c),

f en P(1, 3, 1) en la dirección de 2i 2 j 2 2k. 4.10. Sea f 5 x2yz 2 4xyz2. Encuentre la derivada direccional de

Solución En primer lugar se encuentra = f 5 (2xyz 2 4yz2)i 1 (x2z 2 4xz2)j 1 (x2y 2 8xyz)k. Entonces, =f(1, 3, 1) 5 26i 2 3j 2 21k. El vector unitario en la dirección de 2i 2 j 2 2k es 2i  j  2k a ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi¼ 32 i  31 j  23 k: 2 (2) þ (1)2 þ (2)2

Así, la derivada direccional requerida es

=f(1, 3, 1) ? a 5 (26i 2 3j 2 21k) ? (32 i 2 31 j 2 23 k) 5 24 1 1 1 14 5 11.

PROBLEMAS RESUELTOS

77

f de 4.11. Sea f 5 x2y3z6. a) ¿En qué dirección a partir del punto P(1, 1, 1) la derivada direccional es un máximo? b) ¿Cuál es la magnitud de este máximo?

Solución = f 5 =(x2y3z6) 5 2xy3z6i 1 3x2y2z6j 1 6x2y3z5k. Entonces, =f (1, 1, 1) 5 2i 1 3j 1 6k. Así, según el problema 4.9: 2i 1 3j 1 6k. a) La derivada direccional es un máximo en la dirección fde(1,=1, 1) 5 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi 2 2 2 b) La magnitud de este máximo es )= f(1, 1, 1)) 5 (2) þ (3) þ (6) ¼ 7. 2



2

4.12. Encuentre el ángulo entre las supericies z 5 x 1 y y z 5  pffiffiffi pffiffiffi  6 6 1 P¼ , . , 12 12 12

ffiffiffi 2  p  p ffiffiffi2 6 6 þ y  x en el punto 6 6

Solución El ángulo entre las supericies en el punto es el ángulo entre las normales a las supericies en éste. Sean f 1 5 x2 1 p ffiffiffi2 p ffiffiffi 2   6 6 þ y y 2 2 z y f2 5 x  6 2 z. 6 Una normal a z 5 x2 1 y2 es

=f 1 5 2xi 1 2yj 2 k

y

=f1(P) 5

p ffiffiffi2 p ffiffiffi 2   6 6 þ y Una normal a z 5 x  es 6 6

pffiffiffi 2 p ffiffiffi2   6 6 j2k = f2 5 2 x  iþ2 y 6 6

y

p ffiffiffi p ffiffiffi 6 6 j 2 k. iþ 6 6

pffiffiffi pffiffiffi 6 6 =f2(P) 5 2 j  k. i 6 6

Ahora, (=f1(P)) ? (=f 2(P)) 5 )=f1(P)))= f2(P)) cos u, donde u es el ángulo requerido. pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi   p ffiffiffi   p ffiffiffi p ffiffiffi   pffiffiffi   6  6 6 6 6 6 6 6  j  k cos u j  k ¼  jk i iþ j  k  i iþ 6 6 6 6 6 6 6 6 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffir ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 1 1 2=3 1 1 1   þ1¼ ¼ : þ þ 1cos u y cos u ¼ þ þ1 4=3 2 6 6 6 6 6 6   1 5 60º. Entonces, el ángulo agudo esu 5 arc cos 2



4.13. Sea R la distancia desde un punto ijo A(a, b, c) a cualquier punto P(x, y , z). Demuestre que =R es un vector unitario en la dirección AP 5 R.

Solución Si rA y rP son los vectores de posición ai 1 bj 1 ck y xi 1 yj 1 zk de A y P, respectivamente, entonces R 5 rP 2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 2 rA 5 (x 2 a)i 1 (y 2 b)j 1 (z 2 c)k, de modo que R 5 (x  a) þ ( y  b) þ (z  c) . Entonces, q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi R (x  a)i þ ( y  b)j þ (z  c)k r R ¼ r (x  a)2 þ ( y  b)2 þ (z  c)2 ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi¼ 2 2 2 R (x  a) þ ( y  b) þ (z  c)

es un vector unitario en la dirección R.

4.14. Sea P cualquier punto sobre una elipse cuyos focos son los puntos A y B, como se ilustra en la igura 4-2. Demuestre que las rectas AP y BP forman ángulo...